旅游景点最优化模型含代码.docx
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旅游景点最优化模型含代码
张家界景区空中缆车模型
摘要
本文将张家界景区各景点铺设索道路线抽象为图论最短路模型，采用最小生成树进行表述。
根据张家界景区管理部门的需求，利用Floyd算法——聚类分析法进行模型的建立和求解，得到问题的最优解。
第一问，本文根据Google地图定位出张家界景区51个旅游景点的经、纬度；通过计算机处理，以国家森林公园为原点，东、北为X,Y轴，建立张家界景区直角坐标系〔表1.1、图1.1〕。
第二问，假设在每个景点上都建造缆车站，采用图论中的最小生成树法，得出铺设索道的最优路径〔图〕和最小费用S=454655.0万元。
观察到许多景点的距离比拟近，可以用一个缆车站来接送这些景点的游客，这个站台就是这些景点的聚点，即可优化传统的聚类分析法，使其满足所给定的约束条件〔旅客所能容忍步行最小距离为500m〕，在这些聚点建造缆车站，采用最小生成树法，得出铺设索道的最优路径〔图2.2.2〕和最小费用S=445050.6万元。
针对上述Floyd算法——聚类分析法模型的优缺点，本文给出了具体的改良，使得更符合实际情况以及节省最多的钱。
关键词Floyd算法聚类分析法Google地图
一、问题重述
随着人们的生活不断提高，旅游已成为提高人们生活质量的重要活动。
但时间往往是限制人们旅游一个难题，为了满足旅游者的需要，张家界景区打算造高空浏览缆车，让人们可以在最短的时间内游览更多的景点，现定游览车的起点在张家界国家森林公园，造价为每米10万元，请解决以下问题：
1、针对张家界景点地图，自建坐标系，标出各个景点坐标
2、设计最正确的缆车运行路线
二、问题分析
现在的旅游业日益兴旺，但因时间紧迫，很多人希望找到最正确旅游线路。
而旅游线路遇到的最直接的问题是：
景点的具体位置。
比方张家界景区，里面的景点多达五十个，怎样才能准确找到自己要去景点的位置，已经成为了亟待解决的关键问题。
为此，张家界景区决定铺设空中缆车索道，以解决广阔游客的时间问题。
1、问题一的分析：
对于张家界景区里景点的做标问题，首先定位出各景点在地图上的经、纬度；然后运用计算机技术对经、纬度进行处理，再以张家界国家森林公园为新建坐标系原点，以东、北方向为新建坐标系的X、Y轴，新建张家界平面坐标系；经计算机处理，最后给出各景点在新建坐标系中的具体坐标。
2、问题二的分析：
对于问题二，本文先考虑张家界各景点建空中缆车站的理想化情况，即在张家界景区的51个景点都建一个可供游客来回坐的缆车旅游站台，考虑到雷电，狂风等地理环境因素，使得某些旅游景点是不能能够只考虑空中缆车距离最小等等，建立理想模型；但实际上需要考虑费用、路径、空中缆车站的最正确位置等等各方面因素，在理想状态的根底上，考虑运用最小生成树法及聚类分析等方法，建立实际模型；再对本文建立的模型二进行检验分析。
三、模型假设
1、假设所有景区的海拔是一样的，不考虑景点间的高度差。
2、假设总缆车站台的费用相对于总缆车索道的费用很低，可以不计入张家界建造空中缆车系统的总费用。
3、假设Google地图所查询的经纬度是可信的。
4、假设景区地理环境对缆车索道不产生影响，即所有景区间都能够建立笔直的缆车索道。
5、假设旅客所能容忍步行的距离为500m。
四、符号约定
G：
连通网络
T：
连通网络中的一个支撑树
E：
连通网络中的点
W：
支撑树的权重
d：
地图上的最优路径
D：
实际距离
S：
最小费用
五、模型建立于求解
1、问题一的模型建立与求解：
旅游已成为现今人们减轻压力的最直接有效的方法，旅游景点线路的选择,是旅游行业的一项根底性工作，也是旅游爱好者比拟关心的问题，那么如何在最短的时间内游览到最多的景点呢？
本文以张家界景区为例，建立相应的数学模型，以解决上面提到的问题。
根据在网上查找的资料，可以得到张家界景区各景点的经、纬度〔附录表1〕。
运用计算机知识，将附录表1的数据进行处理，可以得到以张家界国家森林公园为原点的平面坐标系〔表〕。
表张家界各景点以国家森林公园为原点的坐标系表
序号
旅游点
X轴
Y轴
序号
旅游点
X轴
Y轴
1
张家界九天洞
-18
115
27
张家界天书宝匣
-9
27
2
张家界天子山镇
3
114
28
张家界南天门
-8
28
3
张家界将军岩
11
95
29
张家界劈山救母
-2
26
4
张家界天子峰
21
86
30
张家界定海神针
-1
28
5
张家界龙泉飞瀑
-9
75
31
张家界天桥
12
28
6
张家界鸳鸯瀑布
21
68
32
张家界花果山
5
25
7
张家界空中田园
27
64
33
张家界护鞭神鹰
3
22
8
张家界观光电梯
24
55
34
张家界金鞭岩
2
21
9
张家界天波府
-19
63
35
张家界闺门岩
-2
16
10
张家界天悬白练
0
57
36
张家界夫妻岩
-9
12
11
张家界空中走廊
-16
50
37
张家界国家森林公园
0
0
12
张家界天下第一桥
-1
50
38
张家界张良墓
29
47
13
张家界迷魂台
-2
47
39
张家界水绕四门
35
45
14
张家界五女拜师
-2
44
40
张家界神兵聚会
31
53
15
张家界后花园
9
45
41
张家界老屋场
31
62
16
张家界重欢树
16
41
42
张家界采药老人
42
68
17
张家界跳鱼潭
18
40
43
张家界仙人桥
30
77
18
张家界紫草潭
9
40
44
张家界雄狮回首
56
71
19
张家界天桥遗墩
-11
40
45
张家界天台1
46
89
20
张家界黑枞脑
-9
38
46
张家界天台2
53
83
21
张家界千里相会
11
39
47
张家界仙女献花
64
88
22
张家界九重仙阁
-24
28
48
张家界御笔峰
55
90
23
张家界黄狮寨
-5
34
49
张家界西海
50
86
24
张家界鸳鸯泉
-16
26
50
张家界贺龙公园
56
92
25
张家界双龟探溪
57
36
51
张家界鹰窝寨
109
22
26
张家界南天一柱
-6
29
为了更加清楚明白的表示各景点的具体位置，本文运用Matlab技术对表1.1的数据进行处理，可以得到图1.1。
图张家界各景点以国家森林公园为原点的坐标系图
图的位置所构成的直角坐标系图形。
2、问题二的模型建立与求解：
2.1、模型一
是一个理想化的模型，即每个景点都有一个空中缆车站。
那么根据模型2.1的要求，可以将张家界景区内的51个景点都有空中缆车站问题，转化为求51个景点的最小生成树问题，也就是在一个连通图的赋权网络中，寻找最小权数的支撑树。
现给定网络
设
为
的一个支撑树，令
表示
的权，那么
中权最小的支撑树即为
的最小生成树。
表示51个景点之间的最短距离。
因为单位长度的建造费用是确定的，所以要求空中缆车各景点的总费用最小，也就是求各景点距离最小的最小生成树，即连通所有景点的权最小的支撑树。
根据以上信息，考虑运用Floyd算法，并可用Matlab程序将其实现。
Floyd算法根本思想：
令
表示一个N×N矩阵，它的（i,j）元素是
。
如果图中每条线段的长度，那么可以确定矩阵
，最终希望得到最短路长度的矩阵
。
Floyd算法从
开始，由
计算
，然后Floyd算法再由
计算
。
将这个过程重复进行下去，直至由
求得
为止。
计算思路如下，设：
1）、顶点i到顶点m的最短路，其中只容许前m-1个顶点即1，2，⋯，m-1作为中间顶点。
2）、从顶点m到顶点j的最短路，其中只容许前m-1个顶点即1，2，⋯，m-1作为中间顶点。
3）、从顶点i到顶点j的最短路，其中只容许前m-1个顶点即1，2，⋯，m-1作为中间顶点。
因为不存在有负长度的回路，所以4）项与5）项中给出的2条路中较短的1条一定是从i到j的最短路，其中只容许前m个顶点即顶点1，2，⋯，m作为中间顶点。
4）、1）项和2）项2条路的并。
5）、3）项的路。
因此，
从以上方程可以看出，只需要
矩阵的各个元素，就可以计算出矩阵
的各个元素；而且，无需参看根本图就可以进行计算。
现在，求图中每一对顶点之间最短路的Floyd算法。
Floyd算法根本步骤：
第1步：
将图中各顶点编为1，2，⋯，N。
确定矩阵
，其中（i,j）元素等于从顶点i到顶点j最短线段的长度（如果有最短线段的话）。
如果没有这样的线段，那么令
，对于i，令
，
第2步：
对m=1，2，⋯，N，依次由
的元素确定
的元素,应用以下递归公式
每当确定一个元素时，就记下它所表示的路。
在算法终止时，矩阵
的元素（i,j）元素就表示从顶点i到顶点j最短路的长度。
注意：
对所有的i和m，
，矩阵
的对角线元素都无需计算，而且，对所有的i=1，2，⋯，n，
和
。
这是因为不存在有负长度的回路，所以在顶点m处起始的任一最短路中，顶点m不是中间点的缘故。
因此，在矩阵
的计算中，第m行和m列都不需计算。
在每一个矩阵
中，不在对角线上，也不在第m行和第m列的（N–1）（N-2）个元素需要计算。
由以上信息，加上Matlab技术，对模型1.1的51个景点坐标进行处理。
第一步：
由51个景点的坐标，用Matlab实现任意两点之间的的距离。
〔程序见附录程序〕
第二步：
根据51个景点之间的权重，运用Floyd算法找到缆车索道建构最优路径〔程序见附录程序〕，其距离d=mm，实际距离D=45465.50m所需最小费用为S=445050.6万元。
图50个景点的最小生成树
这一步，将51个空中缆车站坐标进行了处理，得到图的权最小的支撑树；因而我们可以得到铺设缆车索道的路线图，即
第三步:
画出其路线图：
图50个景点最小生成树的大致走向
根据图做出其最优路线表，以便游客查找最正确旅游路线及铺设索道的最优路线。
起点国家森林公园37
37—36—35—34—3—32—31
37—36—35—34—33—29—30
37—36—35—34—33—29—26—28—27—24—22
37—36—35—34—33—29—26—23—20—19—11—9—5
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—13—12—10
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—15—18—21—16—17—38—40—8
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—15—18—21—16—17—38—39—25—51
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—15—18—21—16—17—38—40—41—7—6—43—4—3—2—1
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—15—18—21—16—17—38—40—41—42—44—46—49—45
37—36—35—34—33—29—26—23—20—14—15—18—21—16—17—38—40—41—42—44—46—49—48—50—47
图标示出了建造理想状态下缆车索道的大致走向，在此状态下铺设缆车索道的最短距离，所用费用最小。
2.2、模型二
在模型2.1中，本文建立的是一个理想化的模型，但这种理想化模型不适用于实际。
因而，在考虑建造空中缆车索道费用最小这个大前提下，本文给出了一个符合实际要求的模型，即模型2.2。
模型2.1中，运用了Floyd算法，在这个模型中，仍然考虑运用Floyd算法，但考虑到其他因素，本文还加上了经典算法：
聚类分析法。
将景区内经典比拟密集的景点进行分类，以节省建造空中缆车索道的费用。
聚类分析的根本思想：
研究的样品〔网点〕或指标〔变量〕之间存在程度不同的相似性〔亲疏关系——以样品间距离衡量〕。
于是根据一批样品的多个观测指标，具体找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，以这些统计量为划分类型的依据。
把一些相似程度较大的样品〔或指标〕聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样品〔或指标〕又聚合为另一类，直到把所有的样品〔或指标〕聚合完毕，这就是分类的根本思想。
聚类分析法可分三种：
直接聚类法、最短距离聚类法和最长距离聚类法，本文所需的是第二中聚类算法思想，并根据所添加的约束条件〔景点到搜索点的距离不大于500m〕进行适当的改良。
聚类分析的根本步骤：
（1）计算n个样本两两间的距离{dij}，记D；
（2）计算出这n个样板是所在长方形最小区域；
（3）搜索出景区满足约束条件的最密集的区域所表示的坐标〔i,j〕和包含点数k；
（4）如果k等于1，转到〔5〕，否者剔除〔3〕所搜索的区域所包含的点，回〔3〕；
（5）将搜索的〔i,j〕和未剔除的点看作m个类；
（6）画出这m类的位置。
由聚类分析根本步骤，得到其算法流程图〔图〕
图聚类分析算法流程图
根据上述聚类算法步骤，利用最小生成树法中的Floyd算法可得到最正确缆车索道线。
具体的操作可如下：
由于以国家森林公园为旅游的出发点，可以从所有景点中剔除出去，利用聚类分析法对剩余的50个景点进行处理，得到替代两个或两个以上聚点的坐标〔表2.2.1〕。
表51个景点聚类后得到的数据
五点聚点〔29，30，32，33，34〕
26
25
四级聚点〔23，26，27，28〕
18
31
四点聚〔15，16，18，21〕
37
43
三点聚〔12，13，14〕
22
47
三点聚〔38，39，40〕
58
50
三点聚〔46，48，49〕
78
87
两点聚〔35，36〕
20
14
两点聚〔22，24〕
5
27
两点聚〔19，20〕
12
37
两点聚〔7，41〕
52
61
两点聚〔47，50〕
85
91
由聚类后得到的景点与未被搜索到的18个景点坐标相组合，构出30个新的空中缆车站坐标。
运用Matlab技术对表的数据进行处理，用图片的形式展现，可以得到图2.2.2。
图2.2.230个新的空中缆车站坐标
聚类后，将得到的30个空中缆车站坐标，运用Floyd算法，找出缆车索道建构最优路径〔图、程序见附录程序〕其距离：
d=mm，实际距离D=，所需最小费用为S=445050.6万元。
图2.2.330个空中缆车站形成的最小生成树
这一步，将新得到的30个空中缆车站坐标进行了处理，得到图的权最小的支撑树；因而我们可以得到铺设缆车索道的路线图，即
第三步：
画出其线路图；
图2.2.430个新缆车站的大致走向
表聚类后的缆车站坐标
序号
地名名
坐标x
坐标y
序号
地名名
坐标x
坐标y
1
1
-18
115
16
43
30
77
2
2
3
114
17
44
56
71
3
3
11
95
18
45
46
89
4
4
21
86
19
51
109
22
5
5
-9
75
20
五点聚点〔29，30，32，33，34〕
26
25
6
6
21
68
21
四级聚点〔23，26，27，28〕
18
31
7
8
24
55
22
四点聚〔15，16，18，21〕
37
43
8
9
-19
63
23
三点聚〔12，13，14〕
22
47
9
10
0
57
24
三点聚〔38，39，40〕
58
50
10
11
-16
50
25
三点聚〔46，48，49〕
78
87
11
17
18
40
26
两点聚〔35，36〕
20
14
12
25
57
36
27
两点聚〔22，24〕
5
27
13
31
12
28
28
两点聚〔19，20〕
12
37
14
37
0
0
29
两点聚〔7，41〕
52
61
15
42
42
68
30
两点聚〔47，50〕
85
91
根据图及表2.2.2做出其最优路线表，以便游客查找最正确旅游路线及铺设索道的最优路线。
起点国家森林公园14
14—26—20—21—13—27
14—26—20—21—28—9—10—8—5
14—26—20—21—28—11—23—22
14—26—20—21—28—11—23—7—6—16—18
14—26—20—21—28—11—23—7—6—16—4—3—2—1
14—26—20—21—28—11—23—7—6—16—15—29—17—25—30
14—26—20—21—28—11—23—7—6—16—15—29—24—12—19
图标示出了实际建造缆车索道的大致走向，这个走向是在考虑实际因素的条件下，铺设缆车索道的最短距离，所用费用最小的走向，即为本文所构建的张家界旅游最正确路线。
六、模型评价
问题一：
利用Google地图对张家界51个景点进行定位搜索，可以精确的定位出各个点的经、纬度；但由于各点的经、纬度相差不大，对所给经、纬度标准化处理，得到的景点的相对平面坐标有着较大的系统误差。
计算机对这些景点坐标进行数据处理和作图与原图比拟，存在细微的差异。
问题二：
由于建设缆车索道所要考虑的因素有很多，而这些因素有些是难以数据化，譬如地理环境和每个景点的客流量等。
本文只能忽略这些因素对张家界旅游管理部门建造缆车索道的影响，相应的构建比拟理想的模型环境。
在构建最正确路线模型，本文是假设所有景点的海拔时相同的，实际上张家界旅游景点有高山、平地以及湖泊等，它们在二维图上缆车索道建造的长度是不相同的。
根据景点坐标运用聚类分析——最小生成树法作出缆车索道图形，聚类分析法可以精确、清晰的分析51个旅游景点的密集程度，保证聚合得每一类聚点都是唯一确定的且满足约束条件。
本文的创新点在于对密集程度比拟高的景点进行新型聚类处理。
一般的聚类分析法对的所有点中两个最近点合并一类，看作一个新点，反复查找，层层聚类，直到类数只有一个停止。
而本文的聚类相对于一般聚类法多出一个约束条件，也就是旅客所能接受步行距离的最大值为500m。
本文对所有可能设置缆站进行迭代搜索，搜寻最密集的区域，进行聚类，看作一类，去除这类所有的缆站，对剩余的缆站再进行迭代搜索，反复迭代，直到搜索到一点归为一类停止，将剩下的一点为一类，通过这种算法可节省张家界旅游管理部门对缆车索道的投资近1亿人民币。
七、模型改良
针对模型评价的某些缺点与缺乏，我们可以进行适当的改良，具体方法如下：
张家界的所有风景区的人流量和地势是不同的。
因此，人步行到各个风景区的最大距离，如到高山、平地以及湖泊可以赋予不同的权重；人流量比拟高或地势较平的景区可以赋予相对小点的权重，而比拟冷僻或地势比拟高的景区可以赋予相对大点的权重。
对于实际的景区环境进行实地考察，将一些不适合建缆车的景区当作异常点剔除，一些景区间有着比拟大的屏障，可以设它们的距离为无穷大，也就是说它们间不能建缆车索道。
人们对张家界旅各游景区的选择：
旅游景点的风景好坏对旅客的吸引力有着重要的影响，不同的季节的人流量也略有不同，所以我们可以对每个景点的步行距离的最大值的权重赋屡次值进行模拟。
具体操作过程为：
〔1〕到各个景区进行实地考察，找出每个景区中的地理异常，并大致比照下每个景区的人流情况。
对异常的地理环境进行分析是否能建缆车索道以及对人流量的多少进行。
〔2〕对不能实现缆车索道铺建的景点进行剔除和路线的删减，根据人流量的多少和地势上下赋于不同权重。
〔3〕通过新型的聚类法，聚类合并出满足约束条件的假设干个缆站，通过最小生成树法找到需要铺造缆车索道的路线。
〔4〕改变各点权重，反复运算，得到最省钱且满足实用的路线。
根据以上步骤，得到改良后的聚类分析流程图〔图〕
图改良后的聚类算法流程图
八、模型的推广与应用
最小生成树法和聚类分析法，就是要在一个连通网络中，寻找最枝数的支撑树，即找到最优解。
最小生成树法和聚类分析法不仅仅能够在旅游业中可以用到，在许多效劳各地的公司中，如燃气公司、送电公司、有多个分公司的大型公司等的作用尤其明显。
聚类分析的主要作用是：
1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。
2、根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主要变量进行聚类分析。
九、参考文献
①、谷歌地图
②、张威主编，Matlab根底与编程入门【M】,西安电子科技大学出版社，2021年
③、刘承平，数学建模方法【M】，北京：
高等教育出版社，2002年
④、李祥会、张红，基于模糊动态聚类分析的教学质量评估方法研究【M】，四川师范大学学报〔自然科学版〕，2004年1月
⑤、叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材【M】，湖南教育出版社，2001年
⑥、姜启源、谢金星、叶俊，数学建模〔第三版〕【M】，北京：
高等教育出版社，2003年
十、附录
表1张家界各景点经纬、度表
旅游点
经度
纬度
旅游点
经度
纬度
张家界九天洞
张家界天书宝匣
张家界天子山镇
张家界南天门
张家界将军岩
张家界劈山救母
张家界天子峰
张家界定海神针
张家界龙泉飞瀑
张家界天桥
张家界鸳鸯瀑布
张家界花果山
张家界空中田园
张家界护鞭神鹰
张家界观光电梯
张家界金鞭岩
张家界天波府
张家界闺门岩
张家界天悬白练
张家界夫妻岩
张家界空中走廊
张家界国家森林公园
张家界天下第一桥
张家界张良墓
张家界迷魂台
张家界水绕四门
张家界五女拜师
张家界神兵聚会
张家界后花园
张家界老屋场
张家界重欢树
张家界采药老人
张家界跳鱼潭
张家界仙人桥
张家界紫草潭
张家界雄狮回首
张家界天桥遗墩
张家界天台1
张家界黑枞脑
张家界天台2
张家界千里相会
张家界仙女献花
张家界九重仙阁
张家界御笔峰
张家界黄狮寨
张家界西海
张家界鸳鸯泉
张家界贺龙公园
张家界双龟探溪
张家界鹰窝寨
张家界南天一柱
程序
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