高三复习正态分布.docx
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高三复习正态分布
正态分布
知识点
1正态曲线及性质
2.正态分布
教学目标
知识与技能:
掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法:
结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观:
通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。
教学过程
1.课程导入:
复习导入:
总体密度曲线:
样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积.
三、知识讲解
考点1、正态曲线的性质
解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系,掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.
考点2、服从正态分布的概率计算
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助正态曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上.
考点3、正态分布的应用
服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上,正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积,根据正态密度曲线的对称性,当P(ξ>x1)=P(ξ<x2)时必然有
=μ,这是解决正态分布类试题的一个重要结论.
【题干】设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=
e-
,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ).
A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10
【答案】B
【解析】由
e-
=
e-
,可知σ=2,μ=10.
【题干】已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( ).
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
【答案】C
【解析】由P(ξ<4)=0.8知P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2,
故P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)等于( ).
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【解析】由正态曲线性质知,其图象关于直线x=3对称,∴P(X>4)=0.5-
P(2≤X≤4)=0.5-
×0.6826=0.1587.故选B.
2.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)等于( ).
A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977
【解析】P(-2≤X≤2)=1-2P(X>2)=0.954.
3.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(XA.1B.2C.3D.4
【解析】∵μ=2,由正态分布的定义知其函数图象关于x=2对称,于是
=2,∴c=2.
1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为
.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;
(2)求正态总体在(-4,4]的概率.
【答案】
(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由
=
,得σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ,σ(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞).
(2)P(-4=P(μ-σ
【解析】
(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由
=
,得σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ,σ(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞).
(2)P(-4=P(μ-σ
2.设X~N(1,22),试求
(1)P(-1(2)P(3(3)P(X≥5).
【答案】∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1=P(μ-σ(2)∵P(3∴P(3[P(-3=
[P(1-4=
[P(μ-2σ=
×(0.9544-0.6826)
=0.1359.
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=
[1-P(-3=
[1-P(1-4=
[1-P(μ-2σ=
×(1-0.9544)=0.0228.
【解析】∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1=P(μ-σ(2)∵P(3∴P(3[P(-3=
[P(1-4=
[P(μ-2σ=
×(0.9544-0.6826)
=0.1359.
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=
[1-P(-3=
[1-P(1-4=
[1-P(μ-2σ=
×(1-0.9544)=0.0228.
3.2011年中国汽车销售量达到1700万辆,汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共抽查了1200名车主,据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升,并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8,σ2),已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7,那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆.
【答案】由题意可知ξ~N(8,σ2),故正态分布曲线以μ=8为对称轴,又因为P(7≤ξ≤9)=0.7,故P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以P(8≤ξ≤9)=0.35,而P(ξ≥8)=0.5,所以P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15=180辆.
【解析】由题意可知ξ~N(8,σ2),故正态分布曲线以μ=8为对称轴,又因为P(7≤ξ≤9)=0.7,故P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以P(8≤ξ≤9)=0.35,而P(ξ≥8)=0.5,所以P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15=180辆.
1.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),已知P(ξ<0)=0.3,则P(ξ<2)=________.
【答案】0.7
【解析】由题意可知,正态分布的图象关于直线x=1对称,所以P(ξ>2)=P(ξ<0)=0.3,P(ξ<2)=1-0.3=0.7.
2.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N
,问在一次正常的试验中,取1000个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个?
【解析】∵X~N
,∴μ=4,σ=
.
∴不属于区间(3,5]的概率为
P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5)
=1-P(4-1<X≤4+1)
=1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ)
=1-0.9974=0.0026≈0.003,
∴1000×0.003=3(个),
即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.