尺寸链 计算方法.docx
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尺寸链计算方法
尺寸链
第十章装配精度与加工精度分析
任何机械产品及其零部件的设计，都必须满足使用要求所限定的设计指标，如传动关系、几何结构及承载能力等等。
此外，还必须进行几何精度设计。
几何精度设计就是在充分考虑产品的装配技术要求与零件加工工艺要求的前提下，合理地确定零件的几何量公差。
这样，产品才能获得尽可能高的性能价格比，创造出最佳的经济效益。
进行装配精度与加工精度分析以及它们之间关系的分析，可以运用尺寸链原理及计算方法。
我国业已发布这方面的国家标准GB5847—86《尺寸链计算方法》，供设计时参考使用。
第一节尺寸链的基本概念
一、有关尺寸链的术语及定义
1．尺寸链
在机器装配或零件加工过程中，由相互连接的尺寸形成的封闭尺寸组，称为尺寸链。
尺寸链分为装配尺寸链和工艺尺寸链两种形式。
（a）齿轮部件（b）尺寸链图（c）尺寸链图
图10-1装配尺寸链示例
图10-1a为某齿轮部件图。
齿轮3在位置固定的轴1上回转。
按装配技术规范，齿轮左右端面与挡环2和4之间应有间隙。
现将此间隙集中于齿轮右端面与挡环4左端面之间，用符号A表示。
装配后，由齿轮3的宽度A、挡环2的宽度10A、轴上轴肩到轴槽右侧面的距离A、弹簧卡环5的宽度A及挡环4的宽度A5234、间隙A依次相互连接，构成封闭尺寸组，形成一个尺寸链。
这个尺寸链可表示为0图10-1b与图10-1c两种形式。
上述尺寸链由不同零件的设计尺寸所形成，称为装配尺寸链。
图10-2a为某轴零件图（局部）。
该图上标注轴径B与键槽深度B。
键槽加工顺21序如图10-2b所示：
车削轴外圆到尺寸C，铣键槽深度到尺寸C，磨削轴外圆到21尺寸C（即图10-2a中的尺寸B），要求磨削后自然形成尺寸C（即图10-2a013
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尺寸链
中的键槽深度尺寸B）。
在这个过程中，加工尺寸C、C、C和完工后尺寸C02231构成封闭尺寸组，形成一个尺寸链。
该尺寸链由同一零件的几个工艺尺寸构成，称为工艺尺寸链。
（a）轴零件图局部（b）铣键槽工艺顺序图（c）尺寸链图
图10-2工艺尺寸链示例
2．环
列入尺寸链中的每一个尺寸，称为环。
环一般用大写英文字母表示。
如图10-1b、、、、、、、、C/2皆是环C/A2A。
ACAA图A，及10-2c中的C中的30115024233．封闭环
尺寸链中在装配过程或加工过程最后形成的一环称为封闭环。
封闭环一般用加下标阿拉伯数字“0”的英文大写字母表示。
如图10-1b、图10-1c中的A和图010-2c中的C皆是封闭环。
一个尺寸链只有一个封闭环。
04．组成环
尺寸链中对封闭环有影响的全部环称为组成环。
这些环中任一环变动必然引起封闭环的变动。
组成环一般用加下标阿拉伯数字（除数字“0”外）的英文大写字、、、、、/2C中的，的A及A图A10-2cAA图母表示。
如图10-1b与10-1c中131452、C/2皆是组成环C。
32根据对封闭环的影响的不同，组成环分为增环与减环。
（1）增环
尺寸链中某组成环变动引起封闭环同向变动，则该组成环称为增环。
同向变动指该环增大时封闭环也增大，该环减小时封闭环也减小。
如图10-1b与图10-1c中、C/2皆是增环。
10-2的A，图c中的C332
（2）减环
尺寸链中某组成环变动引起封闭环反向变动，则该组成环称为减环。
反向变动指该环增大时封闭环减小，该环减小时封闭环增大。
如图10-1b与图10-1c中的、、、A，及图10-2c中的C/2皆是减环。
AAA114255．传递系数
表示各组成环对封闭环影响大小的系数。
用符号?
表示。
二、尺寸链的形式
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尺寸链
按形成尺寸链的各环在空间所处位置，尺寸链可分为以下三种形式：
1．直线尺寸链
全部组成环皆平行于封闭环的尺寸链，称为直线尺寸链。
直线尺寸链中增环的传递系数?
=+1，减环的传递系数?
=-1。
以上两例皆属于直线尺寸链。
2．平面尺寸链
全部组成环位于一个或几个平行平面内，但某些组成环不平行于封闭环的尺寸链，称为平面尺寸链，如图10-3所示。
图寸链平面尺（b）体（a）箱
图10—3箱体的平面尺寸链
3．空间尺寸链
组成环位于几个不平行平面内的尺寸链，称为空间尺寸链。
必须指出，直线尺寸链是最常见的尺寸链，而平面尺寸链和空间尺寸链通常可以用空间坐标
而平面尺寸链和空间尺寸链通常可以用空间坐标投影的方法转换为直线尺寸链，然后采用直线尺寸链的计算方法来计算。
故本章只阐述直线尺寸链
三、尺寸链的建立
根据产品的装配技术要求或零件的加工过程所要求保证的某个尺寸精度，分析产品装配图上零件、部件之间的尺寸和位置关系，或分析零件加工过程中形成的各个尺寸，来建立尺寸链。
正确建立尺寸链是十分重要的。
尺寸链的建立可按以下步骤进行：
1．确立封闭环
装配尺寸链中的封闭环，是产品装配图上注明的装配技术要求所限定的那个尺寸。
它是在装配过程中最后自然形成的。
工艺尺寸链中的封闭环和组成环，都是在加工顺序确定后才能加以确定的。
其封闭环是加工过程中最后自然形成的。
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尺寸链
2．查明组成环
对于装配尺寸链：
从与封闭环一侧相毗连的零件开始，依次找出与封闭环有直接影响直到与封闭环另一侧相毗连零件的有关尺寸为止，其中每个尺寸皆是组成环。
对于工艺尺寸链：
从封闭环一侧开始，按加工先后顺序，依次地找出与封闭环有直接影响的有关尺寸，一直到与封闭环的另一侧相连接为止，其中每个尺寸皆是组成环。
3．画尺寸链图
尺寸链可以画在结构简单的产品示意装配图上，如图10-1b所示。
也可以用简单的尺寸关系表示，用带双箭头的线段表示尺寸链的各环。
例如图10-1c、图10-2c所示。
必须指出，当尺寸链中某环是对称尺寸时，有时按原尺寸取半值画在图上。
例如，图10-2c中的C/2及C/2。
31四、尺寸链的计算
尺寸链的计算是指计算封闭环与组成环的基本尺寸和极限偏差。
尺寸链的计算可分为设计计算与校核计算两类。
1．设计计算
设计计算是指已知封闭环的基本尺寸与极限偏差，以及各组成环的基本尺寸，计算各组成环的极限偏差。
通常由设计人员在产品设计过程中，决定零件尺寸公差与形位公差时进行这种计算，它属于公差分配问题。
2．校核计算
校核计算是指已知所有组成环的基本尺寸和极限偏差，计算封闭环的基本尺寸和极限偏差。
通常由设计者在审图时或者由工艺人员在产品投产前，根据工艺条件与现场获得的统计数据进行这种计算，它属于公差控制问题。
五、封闭环与组成环基本尺寸的关系
参看图10-4，多环直线尺寸链封闭环的基本尺寸等于各组成环基本尺寸中，所有增环尺寸之和与所有减环基本尺寸之和的差值。
用（10—1）式表示如下：
ml?
?
LLL=－（10—1）
j
0Z1?
Z1?
j?
l式中L——封闭环基本尺寸；0L——增环基本尺寸；zL——减环基本尺寸；jm——组成环环数；
l——增环环数。
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尺寸链
图10-4多环直线尺寸链图
为保证封闭环的公差要求，可以采用完全互换法或大数互换法进行尺寸链计算。
第二节用完全互换法计算尺寸链
完全互换法是指在全部产品中，装配时各组成环不需挑选或者改变其大小或位置，装入后即能达到封闭环的公差要求，以实现产品互换的尺寸链计算方法。
该方法采用极值公差公式计算。
一、完全互换法的计算公式
1．封闭环与组成环极限尺寸的关系
参看图10-4，当全部增环皆为其最大极限尺寸且全部减环皆为其最小极限尺寸时，则封闭环为其最大极限尺寸L；而在全部增环皆为其最小极限尺寸且全0max部减环皆为其最大极限尺寸时，则封闭环为其最小极限尺寸L。
这种关系，可0min用下式表示：
ml?
?
L=LL－（10-2）min0maxmaxjZ1z?
1?
j?
lml?
?
L=L－（10-3）LxmaZmin0minj1?
z1?
?
jl式中，z和j分别表示增环和减环，m和l分别表示组成环和增环的数目，Lmax
和L分别表示最大、最小极限尺寸。
min相应地，封闭环的上、下偏差ES、EI与组成环上、下偏差的关系如下：
00ml?
?
EIES=ES-（10-4）0jz1?
zj?
l?
1ml?
?
ES－EI=EI（10-5）jZ01?
z1?
jl?
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尺寸链
即：
封闭环上偏差ES，等于所有增环上偏差ES之和减去所有减环下偏差EI之j0z和所得的代数差；封闭环下偏差EI，等于所有增环下偏差EI之和减去所有减环z0上偏差ES之和所得的代数差。
j2．封闭环与组成环公差的关系
将式（10-2）减去式（10-3），得出封闭环公差T与各组成环公差T的关系如i0下：
T=L-L0min00maxmml?
?
?
TTT=+=（10—6）
jiZz?
1i?
11l?
j?
式中，m表示组成环数目；T表示增环公差；T表示减环公差。
jz由式（10-6）知：
尺寸链中封闭环公差等于所有组成环公差之和。
该公式称为
极值公差公式。
由式（10-6）可知：
尺寸链各环公差中封闭环的公差最大，所以，封闭环是尺寸链中精度最低的环。
在当封闭环公差一定的条件下，组成环的环数越多，则各组成环的公差就越小。
因此，在进行产品设计或零件加工工艺设计时，应尽量减少相关零件数或加工环节，即应尽量减少组成环的环数。
这一原则叫“最短尺寸链”原则。
一、设计计算
已知封闭环的基本尺寸与极限偏差及组成环的基本尺寸，求各组成环的极限偏差。
计算步骤如下：
1．确定各组成环的公差
…=T=T（TT即=T=为各组设各组成环的公差都相等，先首，假，，Lavav2m1L成环的平均公差）。
由式（10-6）得：
T=mT，Lav0因此，各组成环的平均公差用下式计算：
T=T/m（10-7），0Lav然后，在此基础上调整各组成环的公差。
如按组成环基本尺寸的大小来调整，则对于处于同一尺寸分段的组成环，取相同的公差值；也可按加工难易程度来调整，则对于加工容易的组成环，公差应减小，对于加工困难的组成环，公差应增大。
调整后各组成环公差之和不得大于封闭环公差。
2．确定组成环的极限偏差
由封闭环公差确定各组成环公差后，可以按“偏差入体原则”或按“偏差对称”原则确定各组成环的极限偏差。
对于内尺寸按H配置，对于外尺寸按h配置。
对于一般长度尺寸按js配置。
然后，按式（10-4）和式（10-5）确定剩下一个组Page6of15
尺寸链
成环的极限偏差。
参看图10-1所示的齿轮部件及其尺寸链图。
已知：
各组成环的基本尺寸A=30mm，10A=A=5mm，A=43mm，组成环A是标准件，A=3mm。
要求装配后齿轮右4532405?
0.端的间隙在0.1～0.35mm之间，试用完全互换法计算尺寸链，确定各组成环的极限偏差。
解：
本例中的装配技术要求（间隙应在0.1～0.35mm范围内）可用封闭环尺寸0.35?
、、A和A均A为减环m=5，A为增环，AA=0。
封mm表示。
组成环环数52430110.?
0闭环公差T=（0+0.35）-（0+0.10）=0.25mm。
?
0首先，按式（10-7）确定各组成环的平均公差为
T=T/m=0.25/5=0.05mm
，0avL、A应分环A配给大较、加工较难的组成然后调整各组成环的公差。
对尺寸31、A分配较小的公差值。
按各组成A；对尺寸较小的组成环环公差之和较大公差52不得大于封闭环公差的原则，调整后得T=0.062mm，T=T=0.030mm，521T=0.078mm和T=0.05mm。
43、、AA确定A差入体”原则组成环的极限偏差。
先按“偏确最后，定各51200和A的极限偏差，这四个组成环的尺寸为：
A=30mm，A=A=5mm，524103?
0.0620.?
0A=3mm。
再由式（10-4）和（10-5）计算剩下一个组成环A的极限偏差，得：
3405.?
00.178?
mm。
A=433100?
0.将所确定的五个组成环的极限尺寸，用式（10-2）和（10-3）核算封闭环极限尺寸，
A=A–（A+A+A+A）5min3max2min1min0max4min=43.178-29.938-4.97-2.95-4.97=+0.35mm
A=A–（A+A+A+A）5max2max0min4max3min1max=4.1-30-5-3-5=+0.1mm
能够满足设计要求。
例2参看图10-2b所示的轴及其键槽加?
寸和设计尺寸，图10-2c所示的尺
00?
?
70mm，寸C=完70.5mm，磨削加工尺削寸链图，已知：
车加工尺寸C=3106?
0.?
0.10工后键槽深度C=62mm，试确定铣削键槽的深度C。
2030.?
、C和C尺寸后，自然形成C，故C为工中本例，依次加C尺寸链的封01302闭环。
本例的计算为，已知封闭环极限尺寸与尺寸链中部分组成环的极限尺寸，Page7of15
尺寸链
求解剩下那个组成环的极限尺寸。
解：
分析图10-2c所示的尺寸链图，判断C和C/2为增环，C/2为减环。
123首先,由式（10-1）计算组成环C的基本尺寸，得：
2C=C-C+C=62-70/2+70.5/2=62.25mm
1/223/20然后计算组成环C的极限偏差。
因尺寸链中C和C取半值，故其极限偏差321在尺寸链计算中应取半值。
由式（10-4）、（10-5）计算得：
ES=ES-ES/2+EI/2=0-0+（-0.1/2）=-0.05mm1230EI=EI-EI/2+ES/2=-0.3-（-0.06/2）+0=-0.27mm1203因此，铣削键槽的深度为：
0.05?
=62.25mm
C227.?
0三、校核计算
已知全部组成环的基本尺寸和极限偏差，求封闭环的基本尺寸和极限偏差。
用式（10-1）、（10-2）和式（10-3）进行计算。
例3图10-5a为T形导轨与滑块的配合图和零件尺寸、对称度公差标注图。
0.28?
0.140?
mm、A=30mm、A=23块的尺寸分别为A=24mm和轨已知导和滑32128-0.00
0.04?
mm，导轨小端中心平面相对于大端中心平面A=30和滑块小端中心平面相对408.?
0于大端中心平面的对称度公差分别为0.14mm和0.10mm。
试计算当滑块与导轨大端在右侧接触时，滑块与导轨小端右侧和左侧之间的间隙A和A的变动范围。
0201由图10-5a可知：
间隙A和A是在导轨与滑块装配后自然形成的，所以它0201们都是封闭环。
、A寸，尺与图10-5c中图称性，因此在尺寸链10-5b和由于滑块导轨都具有对1、A和A皆取半值。
此外，导轨和滑块各自的A小端中心平面相对于大端中心平423面的对称度误差对间隙A和A的大小均有影响。
所以当它们的对称度公差如图020110-5a按独立原则标注时，应作为长度尺寸的组成环纳入尺寸链，并用A和A表65示。
写成极限尺寸形式为A=0?
0.07mm和A=0?
0.05mm。
65
（a）T形槽导轨与滑块
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尺寸链
（b）滑块与导轨小端右侧间隙的尺寸链图（c）滑块与导轨小端左侧间隙的尺寸链图
图10-5导轨与滑块尺寸链
⑴滑块与导轨小端右侧的间隙A的计算01解：
计算步骤如下：
①建立尺寸链
图10-5b的尺寸链图是这样画出的，从封闭环A的左端开始，经滑块小端01尺寸A/2、A，再经滑块大端尺寸A/2至滑块与导轨大端接触处，然后经导轨大436端尺寸A/2、A和导轨小端尺寸A/2与封闭环A的右端相接而成。
01215分析该图知，A/2和A/2为增环，A/2、A/2、A和A为减环。
应当指出，624351类似对称度这种基本尺寸为零且极限偏差对称配置的组成环，取为增环或减环皆可，效果相同。
②计算封闭环A的基本尺寸：
010.14?
0.070?
mm、A/2=15mm、A当A/2=12/2=11.5mm、312140?
0.0
-0.02?
?
AA0.05时按式（10-10.07、）=0，得：
A/2=15mm、=0-0.04654）（A/2+A/2+A+A/2+A-）2A=（A/64101532=（12+15）-（15+11.5+0+0）
=0.5mm
③计算封闭环A的极限尺寸：
01A=（A/2+A/2）-（A/2+A/2+A+A）6min4max01max3min2min1max5min=（12.14+14.98）-（15+11.36-0.07-0.05）
=0.88mm
A=（A/2+A/2）-（A/2+A/2-A-A）x6ma5ma01min3max2ma1minx4minx=（12+14.96）-（15.07+11.5+0.07+0.05）
=0.27mm
0.38?
mm，间隙的变动范围=0.5可侧轨，滑因此块与导小端右的间隙写成A0123?
.0为0.27～0.88mm。
⑵滑块与导轨左侧的间隙A的计算02Page9of15
尺寸链
与。
采用为减环A/2、A和A，A/2和A/2为增环，A/2、c分析图10-5知621345得：
并计算骤建立尺寸链
（1）同样的步寸尺小极限尺寸A=1.01mm，最大闭环基本尺寸A=0.5mm，最极限封x0202ma=0.4mm
Amin02?
510.为围变动范mm，间隙小端左侧的间隙可写成A=0.5因此，滑块与导轨0210?
0.。
0.40～1.01mm间的侧之间端左侧和右侧接触时，滑块与导轨小当滑块与导轨大端在左。
果相同本例计算结隙的变动范围与用大数互换法计算尺寸链第三节
大其改变需挑选或者中，装配时各组成环不是大数互换法指在绝大多数产品目换数互信概率下大差要求，实现一定置，小或位置装入后即能达到封闭环的公。
计算公差公式法。
该方法采用统计的的尺寸链计算方式算公换法的计一、大数互系的关成环公差1．封闭环与组随独立际尺寸为认为各组成环的实尺数理统计的方法来分析寸链时，可以用变随机数，亦为是各组成环的函概各种不同的率分布特征。
而封闭环机变量，有征。
分布特概，也有一定的率量接分布尺寸的，各组成环实际大批量生产且稳定的工艺过程中实践证明，在的寸实际尺布时，封闭环分环实际尺寸的分布服从正态当近于正态分布。
各组成环成，随组律的分布时布环实际尺寸的分为其它规正分布必为态分布；当各组成。
分布亦趋向正态封闭环实际尺寸的分布，数环的增加（当环数等于或大于5时），分布服从正态环实际尺寸的分布皆设采用大数互换法时，可以假各组成带公差中心与其成环实际尺寸分布必闭环实际尺寸的分布为正态分布；各组则封相同带范围分布范围与公差概重合；取置信率为P=99.97%，则尺寸中心）。
（图10-6见
；本尺寸度；L—基φ—尺寸，（x）—概率密x
尺寸限、最小极L、L—最大minmax关系差T的间与中偏差△、公下图10-6上、偏差ES、EI偏准的标与各组成环准寸尺链中封闭环的标偏差?
于设在这种假下，对直线0下：
的?
关系如差im?
2?
=σ（10-7）0i1i?
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环数。
——组成环的式中m下：
偏差的关系如环公差T分别与各自的标准差封闭环公T和各组成i0=6σT00σT=6ii），则得：
将上两式代入式（10-7m2?
T（10-8）T=0i1i?
再之和公差的平方公差等于所有组成环封由公式（10-8）知：
尺寸链中闭环式。
统计公差公开平方。
该式称为关系间偏差的．封闭环与组成环中2平EI的与下偏差偏差Δ为上偏差ES尺参看图10-6，尺寸链中每个寸的中间即：
均值，/2（ES+EI）?
=
：
的关系为中间偏差、公差T上、下偏差与/2
TES=Δ+
）（10-9EI=Δ-T/2
差间偏、减环中增环中环闭的中间偏差Δ间偏差Δ与对于直线尺寸链，封z0：
式如下Δ的关系jml?
?
（10-10）
=Δ-ΔΔjz01?
zl?
j?
1二、设计算计同。
换法大致相全步设大数互换法计计算骤与完互环TT=T成各组环的公差相等，即=T…==T（成各组为，假首先设Qavm1Q2av，，得（10-8）：
式差平均公）。
由2mTT=0Q,av：
式计算均公差用下因此，各组成环的平mT=T/（10-11）0QaV.然后，在此基础上调整各组成环的公差，并确定各组成环极限偏差。
例4用大数互换法求解例1。
假设例1中各组成环实际尺寸的分布皆服从正态分布，各组成环实际尺寸分布中心分别与各自公差带中心重合，且实际尺寸分布范围与公差带范围重合。
解：
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?
0.35）计算=0.25mm。
按式（=010-11mm，封闭环公差T封闭环A0010?
0.公差：
公差的平均各组成环m=0.25//=0.111mm
T=T50av,Q然后，在满足（10-8）的条件下，按各组成环的尺寸大小和加工难易程度，调整他们的公差，得：
T=T=0.16mm，T=T=0.06mm，T=0.05mm（标准件，45132
0A=3mm）
4050.?
、A环组成则，确定先按“偏差入体”原的最后，确定各组成环极限偏差。
1、A和A的极限偏差，这四个组成环的基A本尺寸和极限偏差分别为：
452000A=30mm,A=A=5mm，A=3mm。
由封闭环和上述四个组成环的极限42150500?
?
0.16.06.?
偏差分别计算它们的中间偏差，得：
?
=+0.225mm，?
=-0.08mm，?
=?
=-0.03mm，?
=-0.025mm41205由式（10-10）计算剩下一个组成环A的中间偏差，得：
3?
=?
+（?
+?
+?
+?
）=0.225-0.08-0.03-0.025-0.03=0.06mm520314再由式（10-9）计算组成环A的极限偏差，得：
3ES=?
+T/2=0.06+0.16/2=+0.14mm333
EI=?
-T/2=0.06-0.16/2=-0.02mm
333
0.14?
mm
=43：
A极限偏差为因此，组成环A的33020.?
比较本例与例1，在封闭环公差一定的条件下，T/T=0.111/0.05=2.22倍，av,Lav,Q这对加工是有利的，但可能有0.27%的产品装配时超差。
三、校核计算
校核计算用式（10-1）、式（10-8）、式（10-10）和式（10-9）进行。
例5用大数互换法求解例3。
假设，本例中各组成环实际尺寸的分布皆服从正态，且分布中心与公差带中心重合，分布范围与公差带范围相同。
解：
⑴滑块与导轨小端右侧的间隙A的计算010.14?
0.02?
mm和A/2=15环中A/2=12mm为组10-5参看图b及例3，已知成41040.0?
0.070?
mm、A/2=11.5mm、A=0?
0.07mm和A=0?
0.05mm，增环A/2=15为减6235140.0?
环。
①计算封闭环A的中间偏差01?
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