定积分的应用教案.docx

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定积分的应用教案

第六章定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§61定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf（x）0（x[ab]）如果说积分

是以[ab]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数

就是以[ax]为底的曲边梯形的面积而微分dA（x）f（x）dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af（x）dxf（x）dx称为曲边梯形的面积元素

以[ab]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f（x）dx为被积表达式以

[ab]为积分区间的定积分

一般情况下为求某一量U先将此量分布在某一区间[ab]上分布在[ax]上的量用函数U（x）表示再求这一量的元素dU（x）设dU（x）u（x）dx然后以u（x）dx为被积表达式以[ab]为积分区间求定积分即得

用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法）

§62定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上（x）与yf下（x）及左右两条直线xa与xb所围成则面积元素为[f上（x）f下（x）]dx于是平面图形的面积为

类似地由左右两条曲线x左（y）与x右（y）及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

解

（1）画图

（2）确定在x轴上的投影区间:

[01]

（3）确定上下曲线

（4）计算积分

例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解

（1）画图

（2）确定在y轴上的投影区间:

[24]

（3）确定左右曲线

（4）计算积分

例3求椭圆所围成的图形的面积

解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0a]因为面积元素为ydx所以

椭圆的参数方程为:

xacostybsint

于是

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线（）及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为

曲边扇形的面积为

例4.计算阿基米德螺线a（a>0）上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积

解:

例5.计算心形线a（1cos）（a>0）所围成的图形的面积

解:

二、体积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴

常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf（x）、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[ab]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V（x）当平面左右平移dx后体积的增量近似为V[f（x）]2dx于是体积元素为

dV[f（x）]2dx

旋转体的体积为

例1连接坐标原点O及点P（hr）的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形将它绕

x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体计算这圆锥体的体积

解:

直角三角形斜边的直线方程为

所求圆锥体的体积为

例2计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体）的体积

解:

这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积元素为

dVy2dx

于是所求旋转椭球体的体积为

例3计算由摆线xa（tsint）ya（1cost）的一拱直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

52a3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差设曲线左半边为x=x1（y）、右半边为x=x2（y）则

63a3

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[ab]过点x且垂直于x轴的平面与立体相截截面面积为A（x）则体积元素为A（x）dx立体的体积为

例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积

解取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x2y2R2立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为及因而截面积为

于是所求的立体体积为

例5求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解:

取底圆所在的平面为xOy平面圆心为原点并使x轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为x2y2R2过x轴上的点x（R

于是所求正劈锥体的体积为

三、平面曲线的弧长

设AB是曲线弧上的两个端点在弧AB上任取分点AM0M1M2Mi1MiMn1MnB并依次连接相邻的分点得一内接折线当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时如果此折线的长的极限存在则称此极限为曲线弧AB的弧长并称此曲线弧AB是可求长的

定理光滑曲线弧是可求长的

1．直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

yf（x）（axb）

给出其中f（x）在区间[ab]上具有一阶连续导数现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量它的变化区间为[ab]曲线yf（x）上相应于[ab]上任一小区间[xxdx]的一段弧的长度可以用该曲线在点（xf（x））处的切线上相应的一小段的长度来近似代替而切线上这相应的小段的长度为

从而得弧长元素（即弧微分）

以为被积表达式在闭区间[ab]上作定积分便得所求的弧长为

在曲率一节中我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素因此

例1计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度

解从而弧长元素

因此所求弧长为

例2计算悬链线上介于xb与xb之间一段弧的长度

解从而弧长元素为

因此所求弧长为

2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x（t）、y（t）（t）给出其中（t）、（t）在[]上具有连续导数

因为dx（t）dt所以弧长元素为

所求弧长为

例3计算摆线xa（sin）ya（1cos）的一拱（02）的长度

解弧长元素为

所求弧长为

8a

3．极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

（）（）

给出其中r（）在[]上具有连续导数由直角坐标与极坐标的关系可得

x（）cosy（）sin（）

于是得弧长元素为

从而所求弧长为

例14求阿基米德螺线a（a>0）相应于从0到2一段的弧长

解弧长元素为

于是所求弧长为

§63功水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方那么电场对它的作用力的大小为

（k是常数）

当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb（a

例1¢电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b（a

提示:

由物理学知道在电量为+q的点电荷所产生的电场中距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为（k是常数）

解:

在r轴上当单位正电荷从r移动到r+dr时

电场力对它所作的功近似为

即功元素为

于是所求的功为

例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体在等温条件下由于气体的膨胀把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到点b处计算在移动过程中气体压力所作的功

解取坐标系如图活塞的位置可以用坐标x来表示由物理学知道一定量的气体在等温条件下压强p与体积V的乘积是常数k即

pVk或

解:

在点x处因为VxS所以作在活塞上的力为

当活塞从x移动到xdx时变力所作的功近似为

即功元素为

于是所求的功为

例3一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3m桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解作x轴如图取深度x为积分变量它的变化区间为[05]相应于[05]上任小区间[xxdx]的一薄层水的高度为dx水的比重为98kN/m3因此如x的单位为m这薄层水的重力为98×32dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

dW882×x×dx

此即功元素于是所求的功为

（kj）

二、水压力

从物理学知道在水深为h处的压强为ph这里是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处那么平板一侧所受的水压力为

Pp×A

如果这个平板铅直放置在水中那么由于水深不同的点处压强p不相等所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4一个横放着的圆柱形水桶桶内盛有半桶水设桶的底半径为R水的比重为

计算桶的一个端面上所受的压力

解桶的一个端面是圆片与水接触的是下半圆取坐标系如图

在水深x处于圆片上取一窄条其宽为dx得压力元素为

所求压力为

三、引力

从物理学知道质量分别为m1、m2相距为r的两质点间的引力的大小为

其中G为引力系数引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对