数学知识的学术形态与教育形态的转化.docx

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数学知识的学术形态与教育形态的转化

数学知识的学术形态与教育形态的转化

——论新课程标准理念下数学教师有效的教学行为

近年来，我区广大中学数学教师认真学习教育理论，积极投身教学改革，中学数学教学质量整体上有了较大提高。

2002年我区初中升高中、高考的数学成绩有明显进步。

与此同时，我们还应十分清醒的看到：

我区还有很多中学生（至少20%）对数学学习缺乏兴趣，甚至有不少学生十分讨厌数学。

从近几年中考、高考及每学期的期末考试成绩可以看出，每次数学考试成绩低分人数，明显高于其它学科。

面对如此多的学生对数学学习丧失信心的现状，笔者深入我区中学进行调查，和教师、同学交谈了解到造成这一现象的原因复杂，但几乎所有被调查的学生都有一个共同的原因：

即认为数学尽是公式、符号等形式化的东西、学起来枯燥乏味，脱离现实生活。

很多学生认为除了考试外，数学不再有什么用，他们对学习数学缺乏兴趣。

还有一部分学生虽有学习的欲望，对自己学不好数学而着急，但总不能真正的“爱”上数学，造成这一现象的原因固然十分复杂，作为数学教师没有理由不反思我们的教学行为，是否真正履行了数学课程标准所说的数学教师的一个重大职责，即将数学知识的学术形态适当地转化为学生感兴趣、乐于探索、易于接受的数学知识的教育形态。

下面对这一重大课题，谈谈自己的实践与认识。

一、数学知识的学术形态和教育形态的特征

现行教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的。

准确的定义、逻辑的演义、抽象的符号、严密的推理，割舍了数学知识的背景描述和探索猜想的思维过程的交代,这是数学知识的学术形态，对这种高度形式化，严密的逻辑推理等内容学生读起来比较难懂，有的学生虽能看懂字面上的意思，甚至可以做后面的习题，只是机械的模仿，不懂得数学知识产生的背景，不知道学这些数学干什么？

意义何在？

价值怎样？

有的教师“照本宣科”，将书中的内容重复一遍，学生当然不会有兴趣，自然就不能取得好成绩。

数学知识的学术形态注意知识的严谨性、系统性.具体说数学知识的学术形态具有如下特征：

（1）按定义——定理——证明的顺序和演绎推理的要求呈现，十分严谨。

（2）用精炼的数学语言（包括抽象的数学符号系统）表述，显得简洁、标准、规范，体现数学的简洁美。

（3）省去了数学知识的背景描述和探索猜想思维过程，显得十分纯粹。

（4）省去了数学知识隐含在内的数学思想方法的揭示。

显得十分形式化，数学知

识丰富的内涵展示不够。

当然数学教材，特别是根据《国家数学课程标准》编写的教材，为了使学生容易理解，已尽可能简述一些数学知识背景，展示一点数学“过程”，增加一些探究性，但囿于篇幅的限制，它们还是在相当大的程度凸现了数学知识的学术形态，作为教育的数学还要教师作加工、改造，充分展示数学知识“有血有肉”、鲜活的一面。

数学知识的教育形态具有下面的特征：

（1）按问题——探索——猜想——证明的顺序和归纳——演绎的要求，用多样化的方法呈现，具有一定的建构性，返璞归真性。

（2）具有必要的背景（包括人文、历史、理论和实际背景）描述和情景创设；

（3）注意方法论因素的揭示、渗透和使用，力求为学习者创造亲历知识生长过程和作出发现（再发现）的机会。

（4）在保持内容科学性的条件下，采用通俗、形象的日常用语，仅使用最必要的符号来表述；对原始或难度大的概念，采用“淡化形式，注重实质”从运用中掌握的策略。

对一些艰深命题的证明可采用“扩大公理系统”或代之以恰当地解释（正如《高中数学课程标准》的框架设想一文所指出的“数学课程既要讲推理，更要讲道理”）。

（5）问题的设计密切联系学生的生活实际，具有一定的开放性和探索性。

（6）数学知识的教育形态不仅仅只是教师的一种教学设计或一种设想，要将这种理念真正体现在课堂教学上，切实唤起学生对数学学习的兴趣，引导学生生动活泼的学习，让每个学生的数学潜能得到充分的发展。

这才是数学知识的教育形态的最终目标。

二、数学知识的学术形态向教育形态的转化

数学教师很重要的一个职责是将数学知识的学术形态转化教育形态，让学生生动活泼的学习数学。

根据新的课程标准的理念，教师有效的教学行为应处理好以下问题：

（一）、尽量展示过程

数学学习是一个动态的过程。

《义务教育数学课程标准》在关于课程目标的阐述中，首次大量使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了数学学习对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。

具体而言，就是在数学学习的过程中，要让学生经历知识与技能形成与巩固过程，经历数学思维的发展过程，经历应用数学能力解决问题的过程，从而形成积极的数学情感与态度。

数学知识的形成是一个漫长的过程，其间包含着人们丰富的创造性发挥。

学生学习数学知识，就是掌握前人的经验，进而转化为自己的精神财富，经历着复杂的认识过程。

在数学教学中教师要有意识的创设一些情景让学生体验数学知识的形成过程。

1、经历数学概念的形成过程

《标准》指出：

抽象数学概念的教学要关注概念实际背景与形成过程。

教师在概念教学时，切忌直截了当地就定义讲定义，应更多地从概念的产生和发展过程中为学生提供思维情景，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象，这样才能保证学生理解和掌握新概念，而且也能使他们的抽象思维得到发展。

如初中学习数轴概念的教学，由于该概念涉及数形结合的思想，初一的学生要掌握这个概念有些难度，教师先出示下列问题：

小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。

若规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？

走到少年宫记作什么？

温度计显示零上20

C，零下3

C，你如何用有理数表示。

教师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描述它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：

①能用图线表示事物的数量特征（可用同一直线上的线段来刻划）②度量的起点（0

C和小张家）③度量的单位（温度计每格表示1

C）④有表示相反意义的方向（向东为正，向西为负；零上为正，零下为负）

这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向”用箭头“”表示正方向，从而引进“数轴”的概念。

这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维能力的培养和素质的提高。

近两年来，由于工作性质，笔者深入学校听课调查发现不少课特别是数学概念课往往省去知识的发生和形成过程，为此，笔者在初中各年级教研活动中要求教师重视数学概念形成过程的教学，并对如何创设情景专门写了一篇《数学概念形成的问题情景创设》的文章供教师们参考讨论，教师感到有较强的操作性。

后来该文发表《教学与管理》杂志上，并入选广州市第二阶段教学设计成果《学科课型与模式研究》（数学分册）一书中，详见参考文献[5]

2、感受数学公式、定理、法则的发现过程

数学公式、定理、法则是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的。

教师在向学生讲授某个定理、公式，一般不要一开始便直接把定理、公式“塞给”学生，而应尽量通过创设一定的情景引导学生对具体的事物（数学现实模型）进行观察、测量、计算等实践活动，来猜测定理、公式的具体内容。

如“积的乘方”法则的教学可设计为：

先计算

与

，比较它们的结果是否相等？

再计算

与

，比较它们的结果是否相等？

根据上面的算式，猜想

与

是否相等？

并作出说明。

类似的提出：

计算

与

，比较它们的结果是否相等？

再计算

与

，比较它们的结果是否相等？

根据上面的算式，猜想

与

是否相等？

并作出说明。

有了上述问题引导学生猜想

的结果（n是正整数）。

这样，通过回忆复习旧知识，了解新旧知识之间的联系，亲身体验到知识的产生和发展过程，加深了学生对定理本质的理解，也促进了学生认知结构的优化与发展。

3、体验数学问题解法的探索过程

著名数学教育家玻利亚的解题表强调解题的四个步骤，其中解题方法的探索和解题后的反思这两个步骤往往为我们的教师所忽略，很多教师缺乏解题方法的探索过程，使学生对题目的解法感到突然，觉得老师的方法妙，但就是不知道是如何想出来的？

因此教师要重视引导学生探索、发现问题的解决方法，切忌“掐头去尾，烧中段”的解题教学模式。

（具体例子略）

4、重视过程教学应注意的问题

教师加强过程教学时必须力求把数学知识蕴含的最重要的思想方法揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，使学生对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握，并领悟数学思想方法的运用。

充分展示数学知识的探索、发现过程是必需的，但教师还必须考虑学生的年龄特征和已有的知识水平，在度的把握上应使绝大部分学生能接受能掌握，以提高学生的学习兴趣为前提，不要为展示过程将内容搞得太难而挫伤学生的学习积极性；也并不是每个数学概念、定理、公式、法则都要来展示其过程，但教师要有“过程数学”的意识，在相关内容采用适当方法引导学生去探索。

（二）践行“现实数学”的理念

《课程标准》指出：

“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”。

如果过于强调数学的抽象形式，忽视生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断与外部现实的密切联系，失掉了产生兴趣与刺激动机的最重要的源泉，必然给数学教学带来极大的伤害，使一部分学生丧失学习的信心。

这里所说的“现实”本人的理解包括两个方面的含义：

其一是与现实（生活、生产实际、科技等方面）密切联系的数学；其二是学生自己的数学现实。

在教学中，教师要把握好几个问题：

1、在学习新的数学知识时，尽可能以一些实际例子导入新课。

比如，用探照灯、

手电筒的光束可以作为射线的现实原型，一段铁路上两条笔直的铁轨可以作为平行线现实原型，平静的湖面可以作为平面的原型，人字形房架可以作为等腰三角形的现实原型，横放的温度计可以作为数轴的现实原型，现实生活、生产、科技中很多问题需要列方程唤起学生对方程等有关数学知识的渴求等等，通过联系现实原型，有利于学生理解数学知识的实际内容，认识到数学知识来源于社会生产实践。

2、运用数学知识解决实际问题。

数学的显著特点之一就是应用的广泛性。

正如著

名数学家华罗庚教授所言：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。

在每学习一个数学知识后，教师都应设计一些应用问题让学生思考。

如在学习了解方程的一些知识后可以要求学生根据生活中的数据编几道列方程解应用题的题目；又如在学习了一次函数后可给出问题：

某校组织学生到距离学校6km的科技馆参观，学生王敏因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去科技馆，出租车的收费如下：

里程

收费（元）

3km以下（含2km）

7.00

3km以上，每增加1km

2.60

（1）写出出租车行驶的里程数

（km）与费用

（元）之间的函数关系式。

（2）王敏身上仅有15元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？

请说明理由？

通过对这些实际问题的解决，使学生感受到数学的应用，也可以培养用数学的眼光看问题，加深对数学的认识。

3、倡导数学实验，提高观察猜想能力

数学虽然不是实验科学，它蕴含着很多理性的思维成分，通过对数量关系和几何体的演绎、推理揭示其本质属性，但实验和观察同样可以来说明所研究的对象的某一数学性质，可以用来说明所研究的对象的某一数学性质，可以用来判断所研究的性质是否正确，尤其是通过实验和观察可以提高学生学习数学的兴趣，培养学生观察、猜想、验证的思维方法。

所谓数学实验是利用有关工具（如纸、拼图和使用一些测量工具以及计算机软件如几何画板、图形计算器等）进行折纸、作图等实验，通过观察、猜想、验证数学的某一性质或通过实验找到解题的突破口。

数学实验包括引入型实验、猜想型实验、探究型实验、验证型实验和拓展型实验等。

初中几何很多定理性质都可以通过实验的方法来发现，如角平分线性质定理可以引导学生对折三角形纸片（边与边对齐），然后在折痕上任取一点向两边作垂线，用直尺测量垂线段的长度来发现；还有很多问题可以通过几何画板来动态变化，将特殊情况推出一般情形；高中解析几何中曲线的有关性质可以通过几何画板来发现并推导一般情况，如指数函数

和对数函数

的图象交点问题，我们仅通过画草图容易得出错误结论：

当

时，两图象无交点，当

时两图象只有一个交点。

但通过几何画板的动态实验，我们可以很快发现当

时两图象有时只有一个交点，有时还有三个交点。

学生会感觉到数学实验对发现或否定一些结论是多么的方便。

当然，上述问题还需要严密的证明。

数学实验过程是发现的过程、调整认知结构的过程，也是动手实践的过程。

实验激发了学生的兴趣，促进了学生的主动参与、主动探究、主动发展。

（三）、寓开放性、探索性、应用性于数学教学中

《课程标准》指出：

“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、合作交流的氛围中学习知识。

由于学生的思维活动是开放的，数学地思考的过程是多样的，因此，数学教学必须以学生的发展为本，发扬教学民主，尊重学生的思维，使我们的教学走向开放。

而数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔的空间，为培养解题者的创造能力提供了良好的载体。

倍受全世界数学教育界的高度重视。

课堂教学引入开放性、探索性和应用性问题能使数学教学充满活力：

（1）能激发学生的好奇心和求知欲

（2）有助于学生形成积极探索的态度和思考问题的策略（3）能营造一种学生广泛参与、提出质疑、探讨问题的学习氛围（4）能鼓励学生开展相互讨论,学会数学交流（5）这种教学方式既能面向全体学生,又能有效地提高学生的思维品质和创造性意识。

（6）教师难以用注入式进行教学,在解题过程中教师的角色是鼓励者、合作者和指导者。

在数学教学中加强开放性、探索性和应用性对防止“满堂灌”式的教学，构建开放、民主的课堂有着十分积极的促进作用。

我们从2000年开始向全区数学教师作《数学开放题及其教学》的讲座，要求教师在教学中予以渗透，并在期末考试题内设计一些开放性、探索性和应用性的问题引起广大数学教师的重视。

两年来，我们组织一些骨干教师初中将教材内容适当改编成开放性、探索性和应用性的问题（具体见后附），要求教师结合本校学生实际，于平时教学中加强开放性、探索性和应用性以促进教学模式的变化，更加有利于学生生动活泼的学习。

（四）、面向全体学生体现“差异发展”

《标准》指出：

义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

数学教学要真正面向全体，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能，尊重学生已有的经验，将丰富的现实情境引入课堂，鼓励学生发展自己的解题策略，促进同伴间的交流与合作。

在教学策略上可以采取：

（1）设计有一定梯度“的问题链”，引导学生尝试解决。

教师要结合教材内容创设问题情景，努力使各类学生在尝试过程中都能分别找到理解新内容的合适途径或方法。

如后进生通过对实例的尝试，算一算，画一画等可以用不完全归纳的方式获得对结论的直观理解；中等生则能在此基础上从已有的理论出发进行尝试，而优等生从不同角度发现抽象结论新的推理思路等。

如勾股定理的教学可设计以下问题链：

①已知正方形ABCD，AE=BH=CG=DF,判断EFGH的形状?

②设三角形DEF的两直角边分别为a,b,求出ABCD的面积.

③给出a,b的具体数字,计算正方形EFGH的面积

（设EF=c）

a

b

ab

1

2

1

3

2

3

3

4

…

…

…

④从上表,你能发现a,b,c间的关系吗?

⑤你能用面积关系证明

+

=

吗?

⑥你还能有其他构图方法来证明吗?

（2）合作交流，共同提高在数学教学中，展开讨论、实现互助共进是较为普遍使用的方法。

面向全体学生提出的问题，在学生的思维得到较为充分展开后，再组织讨论交流，以实现认识上的互相启发和补充。

（3）加强反馈，及时补救。

对于同一个数学问题，不同的学生往往有不同的认知表现，教师要察觉学生的认知进展情况，给不同的学生以相应的帮助指导。

对后进生教师要多指导，多鼓励。

既从学习上帮助，又从心理上激励，唤起他们对数学的兴趣。

我国基础教育课程改革的步伐正在加快，2001年7月国家颁布了《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿），2001年秋季全国有38个实验区，分别按北京师范大学出版社和华东师范大学出版社按新的数学课程标准编写的教材开始实验，今年秋季又有更多省市加入实验。

与此相衔接的，高中数学课程标准的制订正在紧锣密鼓的进行着，2002年3月《国家高中数学课程标准》制订组公布了《高中数学课程标准》的框架设想（详见文[1]）。

新一轮的数学课程与教学改革对教师提出了新的任务和挑战，我们数学教师应与时俱进，积极投身于改革的浪潮中，不断学习新的教育理论，更新教育观念，努力开创数学课堂教学的新局面。

参考文献

[1]《国家高中数学课程标准》制订组《高中数学课程标准》的框架设想《数学通报》2002.4

[2]张奠宙《关于数学知识的教育形态》《数学通报》2001.4

[3]张奠宙、王振辉《关于数学知识的教育形态》《数学教育学报》2002.2

[4]徐献卿、杨世明《数学知识的两种形态与数学教学》《数学教育学报》2002.2

[5]严运华《数学概念形成的问题情景创设》《教学与管理》2001年第6期

[6]严运华问题链的设计与教学《广东教育》2000年第12期

附：

番禺区初中数学教研专题

寓“开放性、探索性、应用性”于数学教学中

课题组

以下的一些问题都是根据课本中的例题、练习、习题和复习题改编而成的。

每题后面的括号里的文字是改编的原型在课本中的页码的说明，教师可根据学生实际，选取其中一部分或另外挖掘一些“开放性、探索性、应用性”问题在平时的教学中予以渗透。

代数第十二章《一元二次方程》

一、一元二次方程

1．（P26想一想）是否存在K的值，使到关于x的二次方程2x2-（4K+1）x+2K2-1=0两个根的和为-4？

如果存在，求出Ｋ的值。

如果不存在，说明理由。

2．（P42习题A、7）有一面积为150米2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为a米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。

（1）求鸡场的长与宽各为多少米？

（2）这里的a值对本题的解起什么作用？

请加以说明。

二、可化为一元二次方程的分式方程和无理方程

（P51B组1.

（1）、

（2））

（1）观察并解方程：

①x+

=2+

的根是。

②x+

=C+

的根是。

（2）找规律写结果

方程x+

=a+

可以化为它的根是。

三、简单的二元二次方程组

1、（P56，例2）试写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是

2.（P69.复习题B3

（1））已知方程组有两个实数解和且x1x2

0,x1

x2,设m=

+

求n的取值范围

试用关于n的代数式表示m

n是否存在这样的值，使m的值等于1。

若存在，求出这样的所有n的值；若不存在，请说明理由。

代数第十三章《函数及其图象》

1．（P80、习题B组3（3））写出一个点的坐标，使到横坐标与纵坐标的和是5。

2．（P102练习2）写出一个一次函数，使到它的图象经过点（-2，-1），且不经过第一

象限。

3．（P125,5

（1））已知点A（1，3）和B（2，6），试写出二个二次函数，使它的图象都经过A、B两点。

4．（P122，例4）写出一个二次函数使到它符合以下的三个条件。

函数图象的开口向上。

函数图象过点（1，4）。

当自变量x<0时，函数值y>0.

5．（P96，例2）拖拉机的油箱中有油40升，该拖拉机上坡每升柴油可行驶a千米，下坡每升柴油可行驶b千米。

若拖拉机上坡行驶s千米后，按原路返回原地（中途不加柴油），s的最大值是多少？

6．（P97，A组4）有一水库在单位时间内有一定量的水流进，同时也向外放水。

按现在的水量，水库中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水库的水量增加20%。

如果放水量增加10%，则仍可使用40天。

如果按原来的放水量放水，可便用多少天？

几何第七章《圆》

一、圆的有关性质

1．（P66练习1）水平放置的圆柱形的油槽内装入一些油后，油面宽大于AB=600mm，已知圆柱形油槽的截面直径为650mm，求油的最大深度的范围。

2．（P69习题B、1）已知：

A、B两点和直线l，是否可以作出圆，使它经过A、B两点，并且圆心在直线l上，为什么？

3．（P79，例2）AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，请你根据上述的条件，写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其它字母），并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）。

二、直线和圆的位置关系

1、（P92，练习2）AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=300，试判断DC和⊙O的位置关系并证明。

2．（P93，例2）AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，试判断四边形AOCD的形状并证明。

3．（P103，例1）PA是⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O于D，AC⊥OP，垂足为C。

求证：

AC2=OC•PC（也可以另写一个结论，并证明，所写的结论不能自行添加新的线段及标注其它字母，证明时允许自行添加辅助线）

三、圆与圆的位置关系

（P129，例4）已知半径分别为r1和r2的⊙O1和⊙O2外切于点P，

（1）若O1A切⊙O2于点A，O2B切⊙O1于点B，试指出O1A和O2B的大小关系

（2）若直线CD切⊙O1于点C，切⊙O2于点D，直线CF交⊙O2于点E，且直线EF∥DC，试判断直线EF与⊙O2的位置关系，并证明你的结论。

参考答案

《一元二次方程》

一、1、不存在

2、

（2）当0

时,本题无解；当

≤a<10时，只有一解；当a≥10时，有两解。

二、可化为一元二次方程的分式方程和无理方程。

（1）、

2、

C、

（2）、x-1+

=a-1+

a,

三、单的二元二次方程组

2、

n<

且n≠0

m=

使m=1的n值存在，n=-2-2

《函数及其图象》

5．

（千米）6．50（天）

《圆》

一、圆的有关性质

1、大于200mm或小于450mm

2、分三种情况讨论

3、AD•AE=AB•AC或∠BAE=∠CAD或∠BAD=∠CAE等

二、直线和圆的位置关系

1、DC和⊙O相切

2、正方形或直角梯形

3、PA2=PC•PO或PC•OP=PD（PD+2•OD）等

三、圆与圆的位置关系

（1）分类讨论

（2）EF与⊙O2相切