空间点直线平面之间的位置关系.docx
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空间点直线平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
、知识要点:
1.平面的基本性质:
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
AeItBeIf^AEaiBea^lCa
公理2:
过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
Pearyβ≡>ar∖β=It且PWl
2.空间中直线与直线之间的位置关系:
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
4t面盲气∫⅛交直线；同一平面內.有且只有一个公共点;彳（平行直线；同一平面内，没有公共点；
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点*
如图：
AB与BC相交于B点，AB与AB平行，AB与B'C异面
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内……有无数个公共点；
（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法.
4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点；
（2）两个平面相交……有一条公共直线
、例题讲解:
例1、根据图形，写岀图形中点、直线和平面之间的关系.
图1可以用几何符号表示为：
.
图2可以用几何符号表示为：
.
分析：
本题关键是找岀图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、
直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出.
解：
图1可以用几何符号表示为：
-■^'-_■♦一--丁?
--■:
即:
平面匚L与平面”相交于直线AB,直线a在平面I内，直线b在平面U内，直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.
图2可以用几何符号表示为：
二门「一∙-M，△ABC的三个顶点满足条件
A∈MN,BeβjBgMN,CgMNCl
即:
平面I与平面"相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上，点B在ι内但不在直线MN上，点C在平面U内但不在直线MN上.
例2、观察下面的三个图形，说岀它们有何异同.
MMM
分析：
图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直
线衬托，它们都是空间图形的直观图.
解：
图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间
图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.
点评：
（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.而
这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习.
（2）与本题类似的其它变形还有：
用虚线画岀图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形.
例3、正方体ABCD-AIBICIDI中，
（1）DDI和A1Bi的位置关系如何？
DIB和AC的位置关系如何？
A1C和D1B的位置关系如何？
（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？
（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？
（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对?
解析：
我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还
是异面及是否有公共点。
（1）异面直线；异面直线；相交直线；
（2）4条•分别是AiBi、BiB、C1D1、CiC;
（3）6条.分别是AAi、CCi、AiBi、BiCi、AD、CD;
（4）30对。
例4、已知：
如图，立体图形A—BCD的四个面分别是厶ABC、△ACD、△ABD和厶BCD
E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EFIlBC,FGIlCD•
求证：
△EFGBCD•
AEAF_
证明：
J在平面ABC中，EFHBC,•••三二=-ZJ
AF_AG
又在平面ACD中，FG//CD，•••_-_='二一•
AEAa
•三匸•
•EG//BD•
•∠EFG=∠BCD•
同理∠FGE=∠CDB，
•△EFGBCD•
与本例类似变形还有：
已知：
将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示,
连结AD、BC.
求证：
AD-BC,∠ADE=∠BCF•（证明略）
三、练习:
2.已知A、B表示点，b表示直线，_：
、"表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（
（A）—*「「：
'■（B）UI二-'汀八二
（C）T「「二-..'∙（D）'■l-->〔匸」KW-
4.“ab为异面直线"是指:
（1）"且a不平行于b；
（2）「'_且^'--J
（3）-；二:
一•且二…TP;
（4）「［山山
（5）不存在平面ILL,使H且UL匕成立.
上述结论中，正确的是（）•
（A）
（1）（4）（5）（B）
（1）（3）（4）
（C）
（2）（4）（D）
（1）（5）
5•一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）.
（A）平行或异面（B）异面（C）相交（D）相交或异面
6•如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和厶ACD的重心，若BD=m,则
MN
AF、BC、DE这三条线段
7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么
所在直线是异面直线的是,它们所成的角为度。
C
A
E
K
\
/
F1
四、练习答案:
1.提示：
根据平面的无限延展性及平面画法来判断.
答案：
（C）.
2.提示：
根据点与平面应用“”“”连接排除A;根据公理两个平面相交为一条直线，排除
B;再跟据图形可排除D,因为A有可能在平面上.
答案：
（C）.
3.提示：
熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、匸”等符号.
答案：
一「T.
4.提示：
根据异面直线定义不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”,
结合图形可排除
（2）、（3）、（4）.（∙∙∙
（2）中可能有a//b，（3）中可能有a//b，（4）可能有a与b相交或平行.）（5）是正确的，再由直线位置关系可得
（1）也是正确的.
答案：
（D）.
5.提示：
由公理可排除（A）,再结合图形可利用平移方法验证.
答案：
（D）.
6.提示：
重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2:
3•连结AM并延长交BC于E，
连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF,根据三角形重心性质得BE=EC，CF=FD.
21
∙∙∙MN二；EF，EF―•；BD.
]1
∙MNjBD∙MN=1m.
1.
答案：
2m.
7.解析：
展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或
BD），AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。
C（D）
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