小升初数学总复习专题讲解及训练4.docx
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小升初数学总复习专题讲解及训练4
小升初数学总复习专题讲解及训练4
小学数学总复习专题讲解及训练
主要内容
正比例和反比例
学习目标
使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。
考点分析
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
=。
用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。
对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=。
两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。
典型例题
例1、一列火车行驶的时间和路程如下表。
这两种量有什么关系？
时间/时123456……
路程/千米120240360480600720……
分析与解：
从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。
从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。
所以它们是两种相关联的量。
路程和时间的比值始终不变，=120，=120，=120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：
点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值是一定的，有这样的关系：
=速度。
具备了这两个条件，我们就可以得到结论：
行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程和时间成正比例的量。
点评：
判断两种量是不是成正比例，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
=。
例2、
练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？
为什么？
分析与解：
根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系：
=练习本的单价
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3、磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分1234567……
路程/千米7142128354249……
图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
连接各点，它们在一条直线上吗？
根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？
行驶30千米大约需要几分钟？
路程/千米
2
1
●A
0
34567时间/分
分析与解：
根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。
路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。
对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。
描点、连线如图。
路程/千米
2●
●
●
1●
●
●A
0
34567时间/分
在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。
根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4、圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？
分析与解：
圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。
可列表判断。
半径/c123456……
直径/c24681012……
周长/c6.2812.5618.8425.1231.437.68……
面积/c²3.1412.5628.2650.2478.5113.04……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。
而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。
例5、
下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。
这两种量有什么关系？
每小时加工零件的个数/个2030406080……
加工的时间/时128643……
分析与解：
从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。
所以它们是两种相关联的量。
每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20×12=240，30×8=240，40×6=240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算，我们发现：
每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：
每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
点评：
判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：
一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。
不要省去任何一步。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
ｘｙ=。
例6、
总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？
为什么？
分析与解：
根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量×公顷数=总产量
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例7、和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解：
判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。
很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。
因为它们的积不一定。
点评：
有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。
像这样的还有：
人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。
例8、
长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？
为什么？
分析与解：
判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
因为长方形的长×宽=长方形的面积，所以长和宽成反比例。
长方形的周长=×2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。
例9、
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。
分析与解：
在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。
可以根据数量关系式来判断。
因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数，所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
因为=每天吃的千克数，所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。
因为=天数，所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。
小学数学总复习专题讲解及训练
模拟试题
仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？
有什么关系？
为什么？
表格1
数量/本13681020……
总价/元41224324080……
表格2
单价/元1.523456……
总价/元6812162024……
表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元1.523456……
数量/本4030XX1210……
用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。
如果要装订500本，每本有X页。
题中量一定，关系式：
○＝，和成比例。
一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。
如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要y块。
题中量一定，关系式：
○＝，和成比例。
在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，与成比例；
当高一定时，与成比例；
当侧面积一定时，与成比例。
在被除数、除数、商这三种量中，
当一定时，与成正比例；
当一定时，与成反比例；
当a×b＝c。
一定，与成比例；
一定，与成比例；
一定，与成比例；
判断。
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。
图上距离和实际距离成正比例。
X和y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7y＝0，X和y不成比例。
分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。
在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。
两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。
订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。
在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。
工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。
正方体的棱长和体积成正比例。
被除数一定，除数和商成反比例。
圆的周长和它的直径成正比例。
判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数。
正方形的边长和周长。
水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间。
房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数。
在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数。
在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数。
思考：
明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。
于是小张就说：
“明明的体重和身高成正比例。
”你认为小张的说法对吗？
为什么？
0、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
把下表填写完整。
造纸时间/时1234……
造纸吨数/吨1.5……
根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数/吨
0
34567时间/时
造纸吨数与造纸时间成正比例吗？
为什么？
根据
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