小学奥数几何篇五大模型等积变换和共角定理附答案.docx
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小学奥数几何篇五大模型等积变换和共角定理附答案
等积变换与共角定理
我们的目标：
掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题
三角形等积变换模型
（1）等底等高的两个三角形面积相等：
（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比：
如左图12:
:
SSab
（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比：
在一组平行线之间的等积变形，如右图；
SaamFSabCD；
共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如下两图
□△abc•S△宓e=（，隹xAC）.（AZ）xAE）
例1.如图三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？
例2.如图，三角形ABC的面积是24,D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角M0\的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△
OAB.AABC>ABCD>ACDE、ADEF的面积都等于L则4DCF的面积等于
例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5,BC=7,AE=5,EB=3.求阴影部分的面积
例5.如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分是65,那么三角形ADG的面积是
例6.如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是
AD
RFC
例7.已知正方形的边长为10,EC=3,BF=2,则S冈边形abcd=
例8.如图，平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2BC,DG=3DC,HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9.已知4DEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积
等积变换与共角定理习
L如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面积
2.如图，点D、E、F在线段CG上,已知CD=2厘米，DE=8厘米,EF=20厘米,FG=4厘米,AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米,则三角形ADG的面积是多少平方厘米？
3.如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？
4.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB,CB=BF,DOCG,HD=DA,求四边形ABCD的面积。
5.如图，在△ABC中，延长AB至D,是BD=AB,延长BC至E,使CE=1BC,F是AC的中点,2
若△ABC的面积是2,则4DEF的面积是多少？
6.如图，SAABc=bBO5BD,AO4EC,DG=GS=SE,AF=FG,求S&gs
7.如图，正方形ABCD的边长为6,AE=1.5,CF=2,长方形EFG和的面积为
8.如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使CE=2BC：
延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。
D
B
连接也，有出3”所以况=2/区
又因为8双2旷
A必C的面积是△伤C面枳的一半，即24+2=12,
AJffi又是A1X面积的一半，即12+2=6.
ME0的面积是A4田面积的一半，所以MED的面积=6C=3,
M3]
因为
所以
4
妙_lc_1_3444
连接小、DE.
讥｝、3,ME彼此平行，所以⑦pP是梯号，且ME与该梯杉的两个底平行，所以三角形QME与DEM、三角超PXE与皿的面积分别相等,
所以PQM的面枳与UDE的面积相等.
由于/切（刀为直角梯形，JUD=5,£C=7,JF=5,£3=3,所以三的形CDE的
面积的面积为：
（5十7,（5十3）x；—5*5二—3x7x1=25,即
222
三角杉P0M的面积为25.
[ft5]
连接至，的.
根据题意可知,CF=5+7+15=27；/X7=7+15+6=28；
所以»=^.VBF,»-\tsrr"~^.VTIF>
，/工/
QAVIs
%1电・云玉07，Jgm"京，
于是：
-^W；+-^F=^；-A±WfJ+=38；
可得加叩=40.故三角形4X7的面积是40.
如图所示,设布上的两个点分别为，叽N,连接CV.
根据三角形面积比龈型，与AOF面积相明
那么ACMF与此卬面积和二AGVF与MAT面积和，即等于MCW的面积.
而MCM的面积为正方形四C0面积的一半，为lO'^SO.
ACW与M而的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EWH的面
乱
所以阴影部分的面积为：
50-5x2=0.
[«17]
如图,作即1优于M,GV_L邮于AL
则四边形加⑦分为4个直角三角形和中间的一个长方形,
其中的4个直角三角形分别与四边形血g周围的4个三角形相等,所以它们的面积和相等,
耐间的小长方形的酬为3x2=6,
ji
连接篦、劭.根据共角定理
在△如C和则中，4K与㈤^互补,S△必./曲K」xl」豆］嬴而"而=1'
又因为％阳=1,所以电樨=3.
同理可得5kg=8,%的=15,5“叫=8.
而出、仔GM=、£U£H+X（K+‘ALWG+、AaF+'4取。
=8+8+15+3+2=36
所啥品
【例9】
S4小5a4w=（BDxBE）;（朋x8。
=（1x1）:
（2x3）=1:
6
f
Satef:
Sa胸=（C£xCF）:
（CBxCA）=（lx3）:
（2x4）=3:
8
S公仆:
Samc="Dx，尸）:
（[B*/C）=（2xl）[3x4）=1:
6
设取/*=24份，则取自蹉=4份，%叱=4份，品6=9份，548=24-4-4-9=7
份，恰好是7平方厘米，
所以治欧=24平方厘米
他丈我装专
1、是的的中点iz是。
y的中点,9加斗旌*又；/8Q）是长方物，*方=为。
尸［/S"»=24（平方厘表）.
2、
连接"设从用的面积是I油于庄:
用：
田=20：
4：
8=5：
匚2所以4庄的面积是5工&I田的面积是绘由于上半部分的面积是依平方厘米所以廿卵的面积是。
仔-5m166-&）平方陞米，因为下半部分的面积是67平方厘米所以9长的面积是（67-2q平方厘米，因为硬是EC的2倍所以可以列方程为：
l（）6-6.Y-2（67-2r）jg^.t-j6△JDG的面积为x+5nZy&=8xl6=l28平方厘米
3、
DGC
AEB
如图所示t分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形月狎中I易知长方形MVH?
的面积为4x2=8平方陞米.
从图中可以看出原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于相阳、胪ME、CGQF.DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形那「力的面积加上长方形力仙印的面积।为12x12+8=152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152+2=76平方厘米，那么阴影四边形厅的面积为144-76=68平方厘米.
连接M.由共角定理得如e：
*"力V。
"⑶：
（CGxS=l立即显由=6皿同理3MM）：
'&枪=上2,即％UKE=2S&M>
所以'△必任+S^CGF=2（%£加+、2疏）=2%山^D
连接/,同理可以得到，吗+§△的=2%哂“
5,
「在ZUB「和AC压中，ZJCS与NFCE互补
，加JC•改二2x2二4
"S^~FC-CE~\x\-T'
又'abc=2,所以S雁~（上5.
同理可得名皿=2，S®=3.
所以=Lac+S&cef+§£ldeb-.=2+0.54-3-2=3.5
A
本题题目本身很简单「但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况.
7、
连接DE,则长方形EFG〃的面积是三角形0E”面积的二倍.
三角形OE"的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
5a班=6乂6-1.5乂6*2-2乂6+2-4.5乂4+2=16.5，所以长方形上”6〃面积为33.
最后求得心的面积为1.
D
（法】）本题是性质的反复使用.
连接4aCD.
SI
■-1C-1
aS_［，力丽_1.
3Djbc
・‘・5。
玩=1•
同理可得其它，最后三角形Q瓦•的面积=18.
（法2）用共角定理「在口4国7和BE中,乙（8与"（苫互补，
S皿.AC・BC1x1_1
sne一厂r・c'E-777-R
又S3=1,所以$内*=8.
同理可褥5加=6,5.^=3.
所以£nCF-SABC'+SFCT+、,4DF।3।•
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