教学大纲数学分析I.docx
《教学大纲数学分析I.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教学大纲数学分析I.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
教学大纲数学分析I
《数学分析Ⅰ》教学大纲
课程编号：
120127A
课程类型：
通识教育必修课□通识教育选修课
□专业必修课□专业选修课
□学科基础课
总学时：
112讲课学时：
96实验（上机）学时：
16
学 分：
7
适用对象：
数学专业学生、统计学专业学生
先修课程：
无
毕业要求:
1.扎实的数学基础和完整的统计知识体系
2.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法
3.建立数学、统计等模型解决金融实际问题
4.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流
一、课程的教学目标
《数学分析》是大学数学专业与统计学专业最重要的一门基础课程，是几乎所有后继课程的必备基础，对培养学生的数学素养至关重要。
通过本课程的教学，引导学生领会极限的思想和方法，掌握数学分析的基本理论和论证方法，培养学生严瑾的逻辑思维能力和推理论证能力、演算技能和应用能力等数学素质，为学习后继课程打下扎实的基础。
《数学分析I》是其第一部分。
二、教学基本要求
（一）教学内容及要求
《数学分析I》主要教学内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分及其应用、反常积分等。
在教学过程中要细讲极限理论，为本课程学习打下扎实的理论基础；精讲极限、导数、微分、不定积分和定积分等基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架；对于难点，如极限理论、微分中值定理和实数完备理论，需要讲透理论，并且结合实例加深理解。
（二）教学方法和教学手段
在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。
课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。
（三）实践教学环节
本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。
（四）学习要求
学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。
（五）考核方式
本课程采用闭卷考试的方式进行考核。
考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩。
平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。
三、各教学环节学时分配
以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：
教学课时分配（单位：
课时）
序号
章节内容
讲课
实验
其它
合计
1
第一章实数集与函数第一节实数第二节数集、确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
6
0
6
2
第二章数列极限
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
7
1
8
3
第三章函数极限
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要的极限
第五节无穷小量与无穷大量
12
2
14
4
第四章函数的连续性
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
6
2
8
5
第五章导数与微分
第一节导数的概念
第二节求导法则
第三节参变量函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
10
2
12
6
第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图像的讨论
14
2
16
7
第七章实数的完备性
第一节基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
6
0
6
8
第八章不定积分第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分
第八章习题课
10
2
12
9
第九章定积分第一节定积分概念
第二节可积条件
第三节定积分的性质
第四节微积分学基本定理、
牛顿-莱布尼茨公式
第五节定积分计算
12
2
14
10
第十章定积分的应用
第一节平面图形的面积
第二节由平行截面面积求体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理中的某些应用
第六节定积分的近似计算
6
2
8
11
第十一章反常积分
第一节反常积分概念
第二节无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
7
1
8
12
总复习
2
0
2
合计
96
112
四、教学内容
第一章实数集与函数
第一节实数
1、实数的概念
2、实数的性质
3、绝对值与不等式
第二节数集确界理论
1、区间与邻域
2、有界集与无界集
3、上确界与下确界
4、确界原理
第三节函数概念
1、函数的定义
2、函数的表示法
3、分段函数
4、函数的四则运算
5、复合函数
6、反函数
7、初等函数
第四节具有某些特性的函数
1、有界函数
2、单调函数
3、奇函数与偶函数
4、周期函数
教学重点、难点：
确界概念、确界原理和函数概念
课程的考核要求：
了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念,理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。
复习思考题：
1.如何证明函数在某集合上无界？
2.如何用定义验证某数集的上确界和下确界？
并举例说明。
3.常见的非初等函数有哪些？
第二章数列极限
第一节数列极限的概念
1、数列的定义
2、数列极限的概念
3、无穷小数列
第二节收敛数列的性质
1、唯一性
2、有界性
3、保号性
4、单调性
5、四则运算法则
6、数列收敛与子列收敛的关系
第三节数列极限存在的条件
1、单调有界准则
2、迫敛性法则
3、柯西收敛准则
教学重点、难点：
数列极限概念与性质，单调有界定理、柯西收敛准则
课程的考核要求：
逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件（单调有界函数和迫敛性定理），并能灵活运用；理解数列极限的柯西收敛准则,理解子列的概念及其与数列极限的关系；理解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系；掌握数列极限的求解方法。
复习思考题：
1.在数列极限的
定义中，
和
的作用是什么？
二者有什么关系？
用该定义验证数列极限的方法是什么？
2.若两个数列的收敛性不确定，讨论二者的和、差、积、商的收敛性。
3.用柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并举例说明。
第三章函数极限
第一节函数极限概念
1、函数极限的概念
2、单侧极限的概念
第二节函数极限的性质
1、唯一性
2、局部有界性
3、局部保号性
4、不等式性
5、迫敛性
第三节函数极限存在的条件
1、归结原则（Heine定理）
2、柯西准则
第四节两个重要的极限
第五节无穷小量与无穷大量
1、无穷小量
2、无穷小量阶的比较
3、无穷大量
教学重点、难点：
函数极限概念及其性质，两个重要极限，等价无穷小量，归结原则
课程的考核要求：
理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-,-X语言处理函数极限问题；理解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限和等价无穷小量来处理极限问题。
复习思考题：
1.在函数极限的
定义中，
和
的作用是什么？
二者有什么关系？
用该定义验证函数极限的方法是什么？
2.根据函数极限的柯西收敛准则，叙述函数极限不存在的充要条件，并举例说明。
3.讨论无穷大量与无界变量的关系。
第四章函数的连续性
第一节连续性概念
1、一点连续的定义
2、区间连续的定义
3、单侧连续的定义
4、间断点及其分类；
第二节连续函数的性质
1、局部性质及运算性质
2、闭区间上连续函数的性质
3、反函数的连续性
4、一致连续性
第三节初等函数的连续性
教学重点、难点：
连续性的定义，间断点的分类，闭区间上连续函数的性质，一致连续性
课程的考核要求：
理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。
复习思考题：
1.在定义区间上每一点处均不连续的函数存在吗？
2.连续与一致连续的区别与关系是什么？
第五章导数和微分
第一节导数的概念
1、导数的定义
2、单侧导数
3、导函数
4、导数的几何意义；
第二节求导法则
1、导数的四则运算
2、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则）
3、导数公式
第三节参变量函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
1、微分的定义
2、微分的运算法则
3、高阶微分
4、微分的应用
教学重点、难点：
导数定义，复合函数的导数，高阶导数，微分的定义
课程的考核要求：
理解和掌握导数与微分概念，了解它们的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。
复习思考题：
1.导数的实质是什么？
如何用定义判断分段函数在分段点的可导性？
2.微分的实质是什么？
微分与导数的关系是什么？
3.一阶微分形式的不变性是什么？
高阶微分为什么不具有形式不变性？
并举例说明。
第六章微分中值定理及其应用
第一节拉格朗日中值定理和函数的单调性
1、罗尔定理
2、拉格朗日中值定理
3、拉格朗日中值定理
第二节柯西中值定理和不定式极限
1、柯西中值定理
2、不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最值
1、函数的极值
2、函数的最值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图像的讨论
教学重点、难点：
中值定理，洛必达法则，函数极值与凸性，泰勒公式
课程的考核要求：
掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用洛必达法则求不定式的极限；了解和掌握函数的某些特性（单调性、极值与最值、凹凸性、拐点）及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。
复习思考题：
1.罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理四个中值定理的条件和结论是什么？
如何证明？
主要应用是什么？
2.七种未定式极限用洛必达法则来求解的方法一般有哪些？
3.如何应用泰勒公式求极限和近似计算？
第七章实数的完备性
第一节关于实数完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数整体性质的证明
教学重点、难点：
实数完备性的六个基本定理及应用
课程的考核要求：
了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明
复习思考题：
1.实数完备性的六个定理的内容是什么？
如何证明其相互等价性？
2.如何应用实数完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质？
第八章不定积分
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分
教学重点、难点：
原函数与不定积分概念，换元积分法与分部积分法，有理函数积分法
课程的考核要求：
理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。
复习思考题：
1.不定积分的实质是什么？
2.换元积分法和分部积分法的基本类型有哪些？
3.有理函数积分的主要步骤是什么？
第九章定积分
第一节定积分概念
1、概念的引入
2、黎曼积分定义
3、定积分的几何意义
第二节可积条件
1、可积的必要条件和充要条件
2、达布上和与达布下和
3、可积函数类
第三节定积分的性质
1、定积分的基本性质
2、积分中值定理
第四节微积分学基本定理
1、变限积分
2、原函数存在定理（微积分学基本定理）
3、牛顿-莱布尼兹公式
4、积分第二中值定理
第五节定积分的计算
1、换元积分法
2、分部积分法
教学重点、难点：
定积分的定义，变限积分，牛顿—莱布尼茨公式，微积分学基本定理，定积分的计算
课程的考核要求：
理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。
复习思考题：
1.定积分的概念是什么？
2.可积的条件是什么？
常见的可积函数类有哪些？
3.微积分基本定理是什么？
变限积分的导数如何求？
4.比较定积分和不定积分的换元积分法和分部积分法的异同。
第十章定积分的应用
第一节平面图形的面积
第二节由平面截面面积求体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理中的某些应用
第六节定积分的近似计算
教学重点、难点：
定积分的几何应用，微元法
课程的考核要求：
重点掌握定积分的几何应用；理解定积分在物理上的应用；理解并掌握"微元法"。
复习思考题：
1.微元法的思想和应用步骤是什么？
2.举例说明定积分的几何应用。
第十一章反常积分
第一节反常积分的概念
第二节无穷积分的性质和收敛判别
第三节瑕积分的性质和收敛判别
教学重点、难点：
无穷积分与瑕积分敛散性的判别
课程的考核要求：
掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
复习思考题：
1.反常积分的定义是什么？
2.无穷积分与瑕积分敛散性的主要判别方法。
五、其它
由于课时很紧并且课程衔接紧密，为保证教学质量，本教学大纲将根据学生的学习水平和教学实际课时稍作调整。
六、主要参考书（黑体，小四号字）
教材
华东师范大学数学系编著.数学分析（第四版）上册.北京:
高等教育出版社.2010年。
教学参考书
[1]WalterRudin著，赵慈庚，蒋铎译.《数学分析原理》（原书第三版）.北京：
机械工业出版社.2005年1月.
[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著.《微积分学教程》（共三卷第八版）.北京：
高等教育出版社.2006年1月.
[3]裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）.北京：
高等教育出版社.2006年4月.
[4]吉米多维奇（著）,费定晖、周学圣（译）.《数学分析习题集题解》（共六册第三版）.济南：
山东科学技术出版社.2005年1月.
执笔人：
陶桂平教研室主任：
系教学主任审核签名：
升级会员 