届四川省成都市高三第一次诊断适应性考试理科数学试题及答案.docx
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届四川省成都市高三第一次诊断适应性考试理科数学试题及答案
2017届成都市第一次诊断适应性考试
数学（理）
一、选择题：
（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合
，
，则
=（）
A、
B、
C、
D、
2、下列有关命题的说法正确的是（）
A、命题“若
，则
”的否命题为：
“若
，则
”．
B、“
”是“
”的必要不充分条件.
C、命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.
D、命题“
R使得
”的否定是：
“
R均有
”．
3、方程
的根存在的大致区间是（）
A、
B、
C、
D、
4、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A、
B、
C、
D、
5、设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面,下列命题中错误的是（）
A、若
则
B、若
则
C、若
则
D、若
则
6、二项式
展开式中的常数项是（）
A、180B、90C、45D、360
7、设
、
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
成立的是（）
A、
B、
C、
D、
8、已知
是坐标原点，点
，若
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是（）
A、
B、
C、
D、
9、已知抛物线C：
x2=4y的焦点为F，直线x-2y+4=0与C交于A、B两点，则sin∠AFB=（）
A、
B、
C、
D、
10、已知函数
是定义在R上的偶函数，对于任意
都
成立；当
，且
时，都有
．给出下列四个命题：
①
；②直线
是函数
图象的一条对称轴；③函数
在
上为增函数；④函数
在
上有335个零点．其中正确命题的个数为（）
A．１ B．２ C．３ D．４
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11、若复数
满足
，则
的虚部为；
12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.
若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为；
13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
个专业中，选择
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有种。
14、若实数a、b、c成等差数列，点P（–1,0）在动直线l：
ax+by+c=0上的射影为M，点
N（0,3），则线段MN长度的最小值是；
15、给出下列命题：
①函数y=cos（2x﹣
）图象的一条对称轴是x=
；②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=
成立；
其中正确的命题为；（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：
（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
0
0
0
0
（1）请写出上表的
、
、
，并直接写出函数的解析式；
（2）将
的图象沿
轴向右平移
个单位得到函数
的图象，
、
分别为函数
图象的最高点和最低点（如图），求
的大小.
17、（本小题满分12分）
每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：
选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.
（1）求某两人选择同一套餐的概率；
（2）若用随机变量
表示某两人所获优惠金额的总和，求
的分布列和数学期望.
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱柱
中，侧面
⊥底面
，
，底面
为直角梯形，其中
，
，
为
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求锐二面角
的余弦值．
19、（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列
的前
项和为
且
.
（1）求
（2）求数列
的通项；
（3）若
，求证：
＜
20、（本题满分13分）
已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
及
，设线段
，
的中点分别为
．求证：
直线
恒过一个定点．
21、（本题满分14分）
已知函数
.
（1）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；
（2）在
（1）的条件下，且
，
，
，求
的极小值；
（3）设
（
），若函数
存在两个零点
，且满足
，问：
函数
在
处的切线能否平行于
轴？
若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.
2017届成都市第一次诊断适应性考试
数学（理）
一、选择题：
（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、C；2、C；3、B；4、C；5、D；6、A；7、C；8、A；9、B；10、B；
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11、
；12、
；13、180；14、
；15、①②
三、解答题：
（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（本小题满分12分）
解：
（1）
，
，
，
…………………6分
（2）将
的图像沿
轴向右平移
个单位得到函数
……………7分
因为
、
分别为该图像的最高点和最低点，所以
……………8分
所以
……………………………………………10分
，所以
……………………12分
法2：
法3：
利用数量积公式
，
。
17、（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.
解：
（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为
.…………4分
（2）由题意知某两人可获得优惠金额
的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
，
，
，
…………8分
综上可得
的分布列为：
400
500
600
700
800
1000
………10分
.
即
的数学期望为775.…………12分
18、（本小题满分12分）
（1）证明：
如图，连接
，则四边形
为正方形，
所以
，且
，
故四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.……………5分
（2）因为
为
的中点，所以
，
又侧面
⊥底面
，交线为
，故
⊥底面
。
………6分
以
为原点，所
在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的坐标系，则
，
，……7分
设
为平面
的一个法向量，由
，得
，
令
，则
．……9分
又设
为平面
的一个法向量，
由
，得
，令
，
则
，…………11分
则
，故所求锐二面角
的余弦值为
．……12分
注：
第2问用几何法做的酌情给分．
19、（本小题满分12分）
解：
（1）令
，得
，
………2分
（2）又
………①有
………… ②…………………3分
②-①得
，
∴
……………………6分
∴
…………………………7分
（3）n=1时
=1＜
符合………………………8分
时，因为
………………………………10分
所以
∴
＜
…………………………12分
第二问方法不唯一，请酌情给分
20、（本题满分13分）
解：
（1）由
，得
，即
，即
．…1分
由椭圆过点
知，
．……2分
联立
（1）、
（2）式解得
。
故椭圆的方程是
．……4分
（2）直线
恒过一个定点
．……5分
证明椭圆的右焦点为
，分两种情况．
1°当直线
的斜率不存在时，
:
，则
:
．由椭圆的通径易得
，又
，此时直线
恒过一个定点
；……6分
2°当直线
的斜率存在时，设
:
，则
：
．
又设点
．联立方程组
消去
并化简得
，
所以
．
．
．
由题知，直线
的斜率为
，同理可得点
．…………8分
．
，………11分
即
．令
，解得
．
故直线
恒过一个定点
；综上可知，直线
恒过一个定点
．…13分
21、（本题满分14分）
解：
（1）
由题意，知
恒成立，即
.…………2分
又
，当且仅当
时等号成立.
故
，所以
.…………4分
（2）由（Ⅰ）知，
令
，则
，则
…………5分
由
，得
或
（舍去），
，
①若
，则
单调递减；
在
也单调递减；
②若
，则
单调递增.
在
也单调递增；
故
的极小值为
.…………8分
（3）法一：
设
在
的切线平行于
轴，其中
结合题意，
相减得
，即
.……9分
又
所以
设
，
…………11分
设
，
所以函数
在
上单调递增，
因此，
，即
也就是，
，……13分
所以
无解.所以
在
处的切线不能平行于
轴.…14分
法二：
分析：
即证是否存在
使
，因为
时
单调递减，且
，所以即证是否存在
使
。
即证否存在
使
。
证明：
.
的变化如下：
0
↗
↘
即
在
单调递增，在
单调递减。
又
且
所以
。
…………10分
构造函数
，其中
即
，当且仅当
时
，
故
在
单调增，所以
。
…………12分
所以
时，
。
又
，所以
，
所以
。
…………13分
因为
，所以根据
的单调性知
，即
。
又
在
单调递减，所以
.
即函数
在
处的切线不能平行于
轴。
…………14分
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