专训一三角形中的五种常见证明类型.docx
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专训一三角形中的五种常见证明类型
专训一：
三角形中的五种常见证明类型
名师点金：
学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：
证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等.
证明数量关系
题型1证明线段相等
1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：
DE=DF.
题型2证明角相等
2.如图，在厶ABC中，AB=AC，/BAC=90°D为AC的中点，AE丄BD于F交BC于E.
求证：
』
/ADB=/CDE.
证明位置关系
3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D，E，F分别在边BC，AB，AC上,且BD=CF，BE=CD，点G是EF的中点，求证：
DG丄EF.
（第3题）
4.
如图，在△ABC中，AB=AC,AD,BE是厶ABC的咼，AD,BE相交
（第4题）
证明和、差关系
5.如图，在△ABC中，/ABC=2/C，AD平分/BAC.求证：
AB+BD=
证明不等关系
6.如图，AD是厶ABC中/BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB>AC,求证：
AB—AC>PB-PC.
专训二：
构造全等三角形的六种常用方法
名师点金：
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，
辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决•常见的辅助线作法有：
构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形.
构造基本图形法
1.如图，在RtAABC中，/ACB=90°AC=BC,点D为BC的中点，
CE丄AD于点E，其延长线交AB于点F,连接DF.
求证：
/ADC=/BDF.
（第1题）
翻折法
2.如图，在△ABC中，BE是/ABC的平分线，AD丄BE，垂足为D.求证:
/2=/1+ZC.
旋转法
3.如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求/EAF的度数.
H£
平移法
4.在△ABC中，/BAC=60°/C=40°AP平分/BAC交BC于点P,BQ平分/ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点0.
求证：
AB+BP=BQ+AQ.
加倍折半法
5.如图，在△ABC中，/BAC=120°AD丄BC于D，且AB+BD=DC,求/C的度数.
截长补短法
6.如图所示，AB//CD,BE、CE分别为/ABC、/BCD的平分线，点E在AD上.
专训三：
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
名师点金：
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会
遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为：
先分类，再画图,后计算.
j应-屢L当顶角和底角不确定时，分类讨论
1•若等腰三角形中有一个角等于40°则这个等腰三角形的顶角度数为
（）
A.40°B.100°C.40°或70°D.40°或100°
1
2.已知等腰三角形ABC中，AD丄BC于D，且AD=qBC,则等腰三角形ABC的底角的度数为（）
A.45°B.75°C.45°或75°D.65°
3.若等腰三角形的一个外角为64°则底角的度数为.
当底和腰不确定时，分类讨论
4.（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为（）
A.8或10B.8C.10D.6或12
5.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为.
6.若实数x，y满足|x—5|+（10-y）2=0,则以x，y的值为边长的等腰三角
形的周长为.
当高的位置关系不确定时，分类讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°求这个三角形的各个内
角的度数.
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8.在三角形ABC中，AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°求/B的度数.
由腰上的中线引起的分类讨论
9.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,—腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分.求腰长.
魂离也点的位置不确定引起的分类讨论
10.如图，在RtAABC中，/ACB=90°AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A.7个B.6个C.5个D.4个
11.如图，已知△ABC中，BC>AB>AC,/ACB=40°如果D,E是直线AB上的两点，且AD=AC，BE=BC,求/DCE的度数.
专训四：
三角形中常见的热门考点
名师点金：
本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定.本
章的考点较多，也是中考的重点考查内容.
互逆命题、基本事实、互逆定理
1.下列命题是真命题的是（）
A.无限小数是无理数
B.相反数等于它本身的数是0和1
C.对顶角相等
D.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
2.下列命题及其逆命题是互逆定理的是（）
A.全等三角形的对应角相等
B.若两个角都是直角，则它们相等
C.同位角相等，两直线平行
D.若a=b,则|a|=|b|
懑Q吉一粗一全等三角形的性质与判定
3.如图所示，AB//EF//CD，/ABC=90°AB=DC，那么图中的全等三角形有（）
A.3对B.2对C.1对D.0对
4.如图，在△ABC中，AC=5，F是高AD和BE的交点，AD=BD，则
D.4
在厶ABC中，已知AB=AC,AD平分/BAC，点M,
AM=2MB,AN=2NC，求证：
等腰三角形的判定与性质
6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分/BAC,DE丄AB,DF丄AC,E,F分别为垂足，则下列四个结论：
（1）ZDEF=ZDFE;
（2）AE=AF;（3）DA平分/EDF;（4）AD垂直平分EF.其中正确的有（）
7.
如图，AD是厶ABC的中线，/ADC=60°BC=6,把厶ABC沿直线
AD折叠，点C落在C处，连接BC,则BC的长为.
8.如图所示，在△ABC中，/ABC与/ACB的平分线相交于点0,过点
0作MN//BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB=6cm,AC=9cm,则厶AMN的周长为.
9.（中考淄博）如图，AD//BC,BD平分/ABC.求证：
AB=AD.
墨口鑒乩尺规作图
10.如图，已知线段a,h,作等腰三角形ABC，使AB=AC,且BC=a,
BC边上的高AD=h.张红的作法如下：
（1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;
（3）在直线MN上截取线段h;
（4）连接AB,AC.
△ABC即为所要求作的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（）
A.
（1）B.
（2）C.（3）D.（4）
线段垂直平分线与角平分线
11.如图，在△ABC中，AB=AC,/A=36°AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是（）
A.BD平分/ABC
B.ABCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点
12.如图，已知在厶ABC中，AB=AC，/BAC和/ACB的平分线相交于点D，/ADC=130°,那么/CAB的大小是（）
A.80°B.50°C.40°D.20°
13.
如图，已知C是/MAN的平分线上一点，CE丄AB于E,点B，D分
a.分类讨论思想
14.等腰三角形的一个外角等于110°则这个三角形的顶角度数为.
15.（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a，b,且a，b满足
2a-3b+5+（2a+3b—佝2=0,则此等腰三角形的周长为（）
A.7或8B.6或10
C.6或7D.7或10
b.方程思想
16.
如图，在△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求/A的度数.
（第16题）
c.转化思想
17.如图，已知在△ABC中，/ABC=3/C,AD是/BAC的平分线，BE丄AD
1
于E,求证：
BE=2（AC—AB）
（第17题）
答案
专训一
1•证明：
连接AD.tAB=AC,D是BC的中点，
•••/EAD=/FAD.
AE=AF,
在厶AED和厶AFD中，/EAD=/FAD,
AD=AD,
•••△AED◎△AFD（S.AS）.
•••DE=DF.
2.证明：
过点C作CG±AC交AE的延长线于G,贝UCG//AB,
•••/BAF=/G.
又•••AF丄BD,AC丄CG,
•••/BAF+ZABF=90°/CAG+ZG=90°
•••/ABF=/CAG.
/ABF=/CAG,
在厶ABD和厶CAG中，AB=AC,
/BAD=/ACG=90°
•••△ABD◎△CAG（A.SA）.
•••AD=CG,/ADB=/G
又tD为AC的中点，二AD=CD，二CD=CG.
tAB=AC,•••/ABC=/ACB.
又•••AB//CG,•••/ABC=/GCE.
•••/ACB=/GCE.又tCE=CE,•••△CDECGE（S.A.S.）.
•••/G=ZCDE.
•••/ADB=/CDE.
3.证明：
如图，连接ED,FD.tAB=AC,
•••/B=Z0在厶BDE和厶CFD中，
BD=CF,
/B=/C,
BE=CD,
•••△BDE^ACFD（SAS）.
•••DE=DF.
又•••点G是EF的中点，二DG丄EF.
4.证明：
tAD,BE是厶ABC的高，•―ADB=/AEB=90°又•••/BHD=/AHE，•/EBC=ZEAH.
/EBC=/EAH,
在厶BCE和厶AHE中，BE=AE,
/BEC=/AEH=90°,
•△BCE^AAHE（A.SA）.
•AH=BC.
又tAB=AC,AD丄BC,•BC=2BD,
•AH=2BD.
5.证明：
如图,延长CB至E,使BE=BA,则/BAE=/E.
tZABC=2/C=2/E,E=ZC,•AE=AC.
tAD平分ZBAC,BAD=ZDAC.
tZBAE=ZE,ZE=ZC,BAE=ZC.
又tZEAD=ZBAE+ZBAD,ZEDA=ZC+ZDAC,
•ZEAD=ZEDA.
•AE=DE.
•AC=DE=BE+BD=AB+BD.
6.证明：
如图，在AB上截取AE，使AE=AC,连接PE.•••AD是/BAC的平分线，•••/BAD=/CAD.
AE=AC,
在厶AEP和厶ACP中，/BAD二/CAD,
AP=AP，
•••△AEP^AACP（SAS）,；PE=PC.
在厶PBE中，BE>PB—PE，aAB—AC>PB—PC.
专训二
1.证明：
如图，过点B作BG丄BC交CF的延长线于点G.
vZACB=90°•••/2+ZACF=90°
•••CE丄AD,•••/AEC=90°/-Z1+ZACF=180°—ZAEC=180°—90°=
90°
/•Z1=Z2.
Z1=Z2,
在厶ACD和厶CBG中，AC=CB,
ZACD=ZCBG=90°
/•△ACDCBG（A.SA）.
/•ZADC=ZG,CD=BG.
v点D为BC的中点，•/CD=BD.•/BD=BG.
又vZDBG=90°ZDBF=45°,
/•ZGBF=ZDBG—ZDBF=90°—45°=45°/・ZDBF=ZGBF.
BD=BG,
在厶BDF和厶BGF中，/DBF=ZGBF,
BF=BF,
•••△BDF^ABGF（SA.S.）.
•••/BDF=/G.•••/ADC=/BDF.
点拨：
本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG、ABGF是
2.证明：
如图，延长AD交BC于点F.（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）
•••BE平分/ABC,•••/ABE=/CBE.
•••BD丄AD,•••/ADB=/BDF=90°
/ABD=/FBD，
在厶ABD和厶FBD中，BD=BD，
/ADB=/FDB=90°
•••△ABD◎△FBD（A.SA）.
•••/2=ZDFB.
又•••/DFB=Z1+ZC，aZ2=Z1+ZC.
（第3题）
3.解：
如图，延长CB到点H，使得BH=DF，连接AH.
vZABE=90°/D=90°/-ZABH=/D=90°
在厶ABH和厶ADF中，
AB=AD,
/ABH=/D=90°
BH=DF,
•••△ABH◎△ADF.二AH=AF，/BAH=/DAF.
•••/BAH+ZBAF=/DAF+ZBAF，即/HAF=/BAD=90°.
•••BE+DF=EF,「.BE+BH=EF,即卩HE=EF.
AH=AF,
在厶AEH和厶AEF中，AE=AE,
EH=EF,
•••△AEH◎△AEF.a/EAH=/EAF.
1
a/EAF=2/HAF=45°
点拨：
图中所作辅助线，相当于将厶ADF绕点A顺时针旋转90°使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4.证明：
过点O作OD//BC交AB于点D,a/ADO=/ABC.
•••/BAC=60°/C=40°a/ABC=80°.
a/ADO=80°.
•••BQ平分/ABC,a/QBC=40°.
a/AQB=/C+/QBC=80°.
a/ADO=/AQB.
易知/DAO=/QAO,OA=OA,/•△ADOAQO.
aOD=OQ,AD=AQ.
vOD/BP,a/PBO=/DOB,
又•••/PBO=/DBO,a/dbo=/DOB.
aBD=OD.aBD=OQ.
v/BAC=60°,/ABC=80°,BQ平分/ABC,AP平分/BAC,
a/BAP=30°,/ABQ=40°°a/BOP=70°.
v/BAP=30°,/ABC=80°°a/APB=70°.
a/BOP=/APB,aBO=BP.
aAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=BQ+AQ.
5.解:
在DC上截取DE=BD,连接AE,vAD丄BC,BD=DE,aAD是线段BE的垂直平分线,aAB=AE,/B=/AEB.vAB+BD=CD,DE=BD,aAB+DE=CD.而CD=DE+EC,aAB=EC,aAE=EC.故设/EAC=/C=x,v/AEBAEC的外角，a/AEB=/EAC+/C=2x,a/B=2x,/BAE=180°—2x—2x=180°—4x.v/BAC=120°,a/BAE+/EAC=120°,即180°
—4x+x=120°,解得x=20°则/C=20°
6.证法一：
用截长法，如图①所示，在BC上截取BF=AB，连接EF.
因为BE平分/ABC,CE平分/BCD,所以/ABE=/FBE,ZFCE=ZDCE.
在厶ABE和厶FBE中，
AB=FB，
因为/ABE=/FBE，
BE=BE，
所以△ABEFBE.
所以/A=/EFB.
因为AB//CD，
所以/A+ZD=180°.
因为/BFE+ZEFC=180°,
所以/EFC=ZD.
在厶EFC和厶EDC中，
/FCE=ZDCE,
因为/EFC=ZD,
EC=EC,
所以△EFC^AEDC.
所以FC=DC.
所以BC=BF+FC=AB+CD.
证法二：
用补短法，如图②所示，延长BE交CD的延长线于点G因为AB//CD,
所以/ABE=/G.
因为BE平分/ABC,
所以/ABE=/CBE.
所以/CBE=ZG.
因为CE平分/BCD,
所以/BCE=ZGCE.
在厶BEC和厶GEC中，
/CBE=/G,因为/BCE=ZGCE,
CE=CE,
所以△BEC^AGEC.所以BC=GC,BE=GE.在厶ABE和厶DGE中，
/ABE=/G,因为/AEB=/DEG,
BE=GE,
所以△ABEDGE.
所以AB=DG.
所以BC=CG=GD+DC=AB+CD.
专训三
1.D2.C3.32°
4.C5.23或256.25
7.解：
设等腰三角形ABC中，AB=AC,BD丄AC于D.
⑴当高与底边的夹角为25时，高一定在△ABC的内部，如图①，vZDBC=25°,•••/C=90°—ZDBC=90°—25°=65°,二/ABC=ZC=65°,ZA=180°—2X65°=50°.
（2）当高与另一腰的夹角为25°时，
如图②，高在△ABC的内部时，
vZABD=25°•••/A=90°—ZABD=65°
•••ZC=ZABC=（180—ZA）吃=57.5°
如图③，高在△ABC的外部时，vZABD=25°,
•ZBAD=90°—ZABD=90°—25°=65°°
:
丄BAC=180°—65°=115°
•••/ABC=ZC=（1800—115°）-2=32.5°
故三角形各内角的度数为：
65°65°50°或65°,57.5°57.5或115°32.5°,32.5:
点拨：
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须
进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外.
8•解：
此题分两种情况：
（1）如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，/ADE=40°则/A=50°
•••AB=AC,•••/B=（1800—50°）-=65°.
（2）如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，/ADE=40°则/DAE=50°•••/BAC=130°.
•••AB=AC,•••/B=（1800—130°）-=25°.
故/B的大小为65°或25°.
9.解：
tBD为AC边上的中线，二AD=CD.
（1）当（AB+AD）—（BC+CD）=3cm时，贝UAB—BC=3cm,：
BC=5cm，：
AB=8cm；
（2）当（BC+CD）—（AB+AD）=3cm时，则BC—AB=3cm,
■/BC=5cm，：
AB=2cm；
但是当AB=2cm时，三边长为2cm，2cm,5cm,而2+2v5,不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8cm.
10.B
11.解：
（1）当点D,E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①,
•••BE=BC,：
/BEC=（180°—ZABC—2,
tAD=AC,:
/ADC=（180—/DAC—2=/BAG2,
vZDCE=/BEC-ZADC,
•••/DCE=（180—ZABC戸2-ZBAO2=（180—ZABC-ZBAC戸2=
ZACBh2=40°吃=20°
（2）当点D,E在点A的同侧，且点D在D'的位置，点E在E的位置时，如图②，
与
（1）类似地可以求得ZDCE=ZACBh2=20°
（3）当点D，E在点A的两侧，且点E在E'的位置时，如图③，
vBE'=BC，aZBEC=（180°—ZCBE）TZABO2，
vAD=AC,•••/ADC=（180—ZDAC）^2=ZBAO2，
又vZDCE=180°—（ZBECZADC），
•••ZDCE=180°—（ZABC+ZBAC戸2=180°—（180—ZACB戸2=90°+ZACBh2=90°+40°^2=110°.
（4）当点D，E在点A的两侧，且点D在D'的位置时，如图④，
vAD=AC,•••/ADC=（180—ZBAC戸2，
vBE=BC,：
Z
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