正十七边形尺规作图与详细讲解.docx

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正十七边形尺规作图与详细讲解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法

一、高斯的传奇故事

高斯（CarlFriedrichGauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。

有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。

父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。

可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：

“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。

这时的高斯只有3岁！

高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒（Buttner）是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。

有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？

的总和，并且威胁说：

“谁算不出来，就不准回家吃饭！

”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。

小朋友们开始计算：

“1+2＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。

但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。

高斯说：

“老师，我做完了，你看对不对？

“做完了？

这么快就做完了？

肯定是胡乱做的！

”布德勒连头都没抬，挥挥手说：

“错了，错了！

回去再算！

”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：

“我这个答案是对的。

”

　　布德勒抬头一看，大吃一惊。

小石板上写着5050，一点也没有错！

高斯的算法是

1＋2＋3＋……＋98＋99＋100

100＋99＋98＋……＋3＋2＋1

101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100

10100÷2＝5050

高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！

1796年的一天，德国哥廷根大学。

高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。

前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。

第三道题写在另一张小纸条上：

要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。

时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。

他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。

当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。

当他把作业交给导师时，感到很惭愧。

他对导师说：

“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师看完作业后，激动地对他说：

“你知不知道？

你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！

阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。

你是一个真正的天才！

”原来，导师也一直想解开这道难题。

那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

在这件事情发生后，高斯曾回忆说：

“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。

”

1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。

他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。

然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：

“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。

”

1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。

上面刻着：

“汉诺威王乔治V.献给数学王子高斯（GeorgiusV.rexHannoverageMathematicorumprincipi）”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。

二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）

作正十七边形的关键是作出cos

，为此要建立求解cos

的方程。

　　设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α

　　故sin16α＝－sinα，而

sin16α

＝2sin8αcos8α

＝4sin4αcos4αcos8α

＝8sin2αcos2αcos4αcos8α

＝16sinαcosαcos2αcos4αcos8α

　　因sinα≠0，两边除以sinα，有

16cosαcos2αcos4αcos8α＝－1

由积化和差公式，得

4（cosα＋cos3α）（cos4α＋cos12α）＝－1

展开，得

4（cosαcos4α＋cosαcos12α＋cos3αcos4α＋cos3αcos12α）＝－1

再由积化和差公式，得

2[（cos3α＋cos5α）＋（cos11＋cos13α）＋（cosα＋cos7α）＋（cos9α＋cos15α）]＝－1

注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有

2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）＝－1

设a＝2（cosα+cos2α+cos4α+cos8α），b＝2（cos3α+cos5α+cos6α+cos7α），则a＋b＝－1

　　又ab＝2（cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α）·2（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）

　　＝4cosα（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）＋4cos2α（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）＋4cos4α（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）＋4cos8α（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）

再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：

ab＝2[（cos2α＋cos4α）＋（cos4α＋cos6α）＋（cos5α＋cos7α）＋（cos6α＋cos8α）＋（cosα＋cos5α）＋（cos3α＋cos7α）＋（cos4α＋cos8α）＋（cos5α＋cos9α）＋（cosα＋cos7α）＋（cosα＋cos9α）＋（cos2α＋cos10α）＋（cos3α＋cos11α）＋（cos5α＋cos11α）＋（cos3α＋cos13α）＋（cos2α＋cos14α）＋（cosα＋cos15α）]

注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有

ab＝2×4（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）＝－4

因为cosα＋cos2α＋cos8α＝（cos

＋cos

）＋cos

＝2cos

cos

－cos

＝2cos

（cos

－

）

又0<

<

<

所以cos

>

即cosα＋cos2α＋cos8α>0

又因为cos4α＝cos

>0

所以a＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α>0

又ab＝-4<0

所以有a>0，b<0

可解得

a＝

，b＝

再设c＝2（cosα＋cos4α），d＝2（cos2α＋cos8α），

则c+d＝a

cd＝2（cosα+cos4α）·2（cos2α+cos8α）

＝4（cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α）

＝2[（cosα＋cos3α）＋（cos7α＋cos9α）＋（cos2α＋cos6α）＋（cos4α＋cos12α）]

注意到cos9α＝cos8α，cos12α＝cos5α，有

cd＝2[（cosα＋cos3α）＋（cos7α＋cos8α）＋（cos2α＋cos6α）＋（cos4α＋cos5α）]

＝2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）

＝-1

因为0<α<2α<4α<8α<π

所以cosα>cos2α，cos4α>cos8α

两式相加得cosα＋cos4α>cos2α＋cos8α

或2（cosα＋cos4α）>2（cos2α＋cos8α）

即c>d，又cd＝-1<0

所以有c>0，d<0

可解得

c＝

，【d＝

】

类似地，设e＝2（cos3α＋cos5α），f＝2（cos6α＋cos7α）

则e+f＝b

ef＝2（cos3α＋cos5α）·2（cos6α＋cos7α）

＝4（cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α）

＝2[（cos3α＋cos9α）＋（cos4α＋cos10α）＋（cosα＋cos11α）＋（cos2α＋cos12α）]

注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos12α＝cos5α，有

ef＝2[（cos3α＋cos8α）＋（cos4α＋cos7α）＋（cosα＋cos6α）＋（cos2α＋cos5α）]

＝2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）

＝-1

因为0<3α<5α<6α<7α<π

所以有cos3α>cos6α，cos5α>cos7α

两式相加得cos3α＋cos5α>cos6α＋cos7α

2（cos3α＋cos5α）>2（cos6α＋cos7α）

即e>f，又ef＝-1<0

所以有e>0，f<0

可解得

e＝

，【f＝

】

由c＝2（cosα＋cos4α），得cosα＋cos4α＝

，即cos

＋cos

＝

e＝2（cos3α＋cos5α），应用积化和差公式，得cosαcos4α＝

，即cos

cos

＝

因为0<

<

<

，所以cos

>cos

>0

所以cos

＝

，【cos

＝

】

于是，我们得到一系列的等式：

a＝

，b＝

，c＝

，e＝

，

cos

＝

有了这些等式，只要依次作出a、b、c、e，便可作出cos

。

　步骤一：

　　给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，

　　作C点使OC＝1/4OB，

　　作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，

　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

　　步骤二：

　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，

　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

　　步骤三：

　　过G4作OA垂直线交圆O于P4，

　　过G6作OA垂直线交圆O于P6，

　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

　　连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

历史

　　最早的十七边形画法创造人为高斯。

高斯（1777~1855年），德国数学家、物理学家和天文学家。

在童年时代就表现出非凡的数学天才。

三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。

1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。

高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。

同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。

　　1801年，高斯证明：

如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。

高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。

　　道理

　　当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。

这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。

正十七边形的证明方法

　　正十七边形的尺规作图存在之证明:

　　设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

　　故sin16a=-sina,而

　　sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

　　因sina不等于0,两边除之有:

　　16cosacos2acos4acos8a=-1

　　又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有

　　2（cosa+cos2a+…+cos8a）=-1

　　注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令

　　x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a

　　y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

　　有:

　　x+y=-1/2

　　又xy=（cosa+cos2a+cos4a+cos8a）（cos3a+cos5a+cos6a+cos7a）

　　=1/2（cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a）

　　经计算知xy=-1

　　又有

　　x=（-1+根号17）/4,y=（-1-根号17）/4

　　其次再设:

x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

　　y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

　　故有x1+x2=（-1+根号17）/4

　　y1+y2=（-1-根号17）/4

　　最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=（y1）/2

　　可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出