新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习分知识点总结题型讲解.docx
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新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习分知识点总结题型讲解
新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习
（分知识点总结题型讲解）
知识结构
（二）学习目标
1•理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
x（k为常数，上壬°）,能判断一个给定函数是否为反比例函数.
2•能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理
解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
k
严二—
3•能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数盂（k为常数，七疋0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.
4•对于实际问题，能找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
5•进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法.[
（三）重点难点
1•重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.
2•难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.
二、基础知识
（一）反比例函数的概念
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数上H°这一限制条件；
k
卩二—
2.X心0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式
中的k,从而得到反比例函数的解析式；
k
3•反比例函数
7=-
r
的自变量
兀工0
，故函数图象与x轴、y轴无交点.
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数*兀的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对
称取点（关于原点对称）.
（三）反比例函数及其图象的性质
卩二一
1.函数解析式：
尢（上壬°）
2•自变量的取值范围：
启疋°
3.图象:
（1）图象的形状：
双曲线.
用越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当上>0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小;
当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.
（3）对称性：
图象关于原点对称，即若（a,b）在双曲线的一支上y（一虫，一乃）
在双曲线的另一支上.
图象关于直线厂垃对称，即若（a,b）在双曲线的一支上，贝严）和（7，一曲）在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义
卜占I
如图1,设点P（a,b）是双曲线畫上任意一点，作PUx轴于A点，PB丄y轴于B
Jr
1
Jc
点，则矩形PBOA勺面积是
（三角形PAO和三角形PBO勺面积都是
2
）.
如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上,
图1图2
5•说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨
论，不能一概而论.
当俎E吒°时，两图象没有交点；当俎•焜二°时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
（3）反比例函数与一次函数的联系.
（四）实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；
（2）根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.
（五）充分利用数形结合的思想解决问题.
第一部分：
基础知识
k
考点1:
反比例函数概念（A）y=（k工0）,（B）xy=k（k丰0）（C）
x
-1
y=kx（kz0）
例题1、判断下列各式哪些是反比例函数？
_11x1x
①y:
②y:
③y:
④y1:
⑤y
x2x23x3
例题2、已知函数y2m6xm7m11，当m取何值时，它是反比例函数，
当堂巩固
k
1、反比例函数yk0的图象经过点（2,5），若点（1,n）在反比例函数的图象上,
x
则n等于（）（A）10.（B）5.（C）2.（D）0.1.
2、卜列关系式中，
哪个等式表示
y是x的反比例函数（
）
A3
Ay—
x
B:
x
yC:
2
y-2
x
D
1
:
y一
x
3、某工厂先有原料100吨，这些原材料能用的天数
y与每天平均用的吨数x之间的函数关
系为
4、某奶粉生产厂要制造一种容积为2升（1升=1立方分米）的圆柱形桶，桶的底面面积S与桶
高h有怎样的函数关系式
5、下列问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）
A小明完成100m赛跑，所用时间t（s）与他跑步的平均v（m/s）之间的关系
B菱形的面积为48平方厘米，它的两条对角线的长为y（厘米）与x（厘米）的关系
C一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系
6、如果函数y（k2）xk5是反比例函数，那么k=
7、已知反比例函数的图象经过点（m,2）和（-2，3）贝9m的值为
4
&若y与一3x成反比例，x与成正比例，则y是z的（）
z
A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定
9、如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）
A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D反比例或正比例
考点2:
反比例函数图像
例题1、若反比列函数y（2k1）x3k2k1的图像经过二、四象限，则k的值为多少?
当堂巩固
1
1、反比例函数y的图象位于（）
x
A.第一、三象限B•第二、四象限C•第一、四象限D•第二、三象限
k
2、如果反比例函数y—的图象经过点（3,—1）,那么函数的图象应在（）
x
A.第一、三象限B•第二、四象限C•第一、二象限D•第三、四象限
k
3、如果反比例函数y—的图像经过点（一3,—4）,那么函数的图像应在（）
x
A、第一、三象限B、第一、二象限C、第二、四象限D、第三、四象限
k2
4、已知反比例函数y=匚二的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）•
x
（A）k>2（B）k>2（C）k<2（D）kv2
5、已知反比例函数y=^2的图象在第二、四象限，贝Ua的取值范围是•
x
k2
6、已知反比例函数y=匚二，其函数图象在第一、第三象限内，则k的值可为（任
x
写一个值即可）。
m1
7、反比例函数y的图象经过点（2,1）,则m的值是•
x
m22
8、若反比例函数y（2m1）x的图像在第二、四象限，贝Um的值是（
1
A、—1或1B、小于的任意实数C、—1D、不能确定
2
9、如图是三个反比例函数y=k1,y=k2,y=k3在x轴上方的图象，由此观察得到匕、k2、
XXX
k3?
的大小关系为（）
k2>k3>k1D•k3>k1>k2
A•k1>k2>k3B•k3>k2>k1C
（—a,b）d、（0,0）
A、（—a,—b）B、（a,—b）C
考点3:
反比例函数图像的性质
例题1、反比例函数ykx12k，当x0,y随x的增大而
例题2、若A（xi，yi），B（X2，y2）是双曲线y3上的两点，且xi>X2>0，则yiy2（填“〉”
x
“<”）
k1
例题3、设有反比例函数y化』2）为其图象上两点，若Xi<0yi>丫2
x
则k的取值范围
例题4、已知一次函数yi=kx+b与反比例函数y2=k在同一直角坐标系中的图象如图所示，
x
则
当yiVy2时，x的取值范围是（）
当堂巩固
5、
下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是
1
A.y=3x+4B.y=x-2C
3
4
.y=-D
x
）
1
.y=-
2x
A.k>3
6、在反比例函数y
的图象上有两点
x
a%,屮,
bX2,y2
，当
X10X2时，有
y1y2,
则m的取值范围是（
）A、m
0B、m
0C、
m
11
—D、m—
22
7、在反比例函数y
k
（k<0）的图象上有两点
x
A（X1,y1）,
目X2,y2）,
且X1>X2>0,则y1y
的值为（
）
A、正数
B负数
C非正数
D非负数
8、若M
1
2,y1、
1
N,y2、
4
1
P尹3
三点都在函数
ky-
X
（kv
0）的图象上，贝U
y「y2、
y3的大小关系为（）A、
y>y3>y1by>y1>
y3
c、y>y1>y
Dy3>y2>yi
1
9、若A（£,%）、B（X2,y2）在函数y—的图象上，则当x、x?
满足时，％>
2x
10、如图所示，如果点
y?
.
A（x1,y1）和点B（x2,y2）是直线y=kx-b上的两点，且当x113、当>0时，两个函数值y,—个随x增大而增大，另一个随x的增大而减小的是（？
）.
1111
A.y=3x与y=B.y=-3x与y=C.y=-2x+6与y=D.y=3x-15与y=-—
xxxx
14、如图，函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2,m,N（-
1,
n）,若yi>y2,
则
x的取值范围是（）
A.xv-1或0vxv2B.xv-1或x>2
B.C.-1vxv0或0vxv2D.-1vxv0或x>2
1
A
0
I3X
考点4:
反比例函数的解析式与图像面积的关系
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三
角形面积s的关系
1
即S=|k|.
2
3
例题1、在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABOA吐x轴于点B,斜边A（=10,AB/AO^,
5
k
反比例函数y（k>0）的图象经过AO的中点C,且与AB交于点D,求D点的坐标；
x
例题2、如图，过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数
42
y—和y—的图象交于点A和点B若点C是x轴上任意一点，连接ACBC求△xx
ABO的面积；
当堂巩固
a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是图
1已知三角形的面积一定，则它底边
4,一条边的长为x，另一条边的长为y,则y与x的函数之间的函数关系图象
矩形的面积为
2、
4、如图2,点P是x轴上的一个动点
过点P作x轴的垂线
PQ交双曲线于点
Q,连
结0Q当点P沿x轴正半方向运动时，Rt△QOP勺面积（）。
A.逐渐增大；B.逐渐减小；C.保持不变；D.无法确定
5、图中三角形ABC的面积为：
6、如图，直线0A与反比例函数
的图象在第
一象限交于A点，AB丄x轴于点B,若△OAB的面积为2，则k=
k
7•如图，若点A在反比例函数y（k0）的图象上，AMx轴于点M,△AMO的
x
第二部分：
综合运用
（1）这个反比例
A（-1,m）,AB丄x轴于点B,A
n7
例题2.右图中曲线是反比例函数y=的图像的一支。
x
△AOB的面积为2,求n的值。
当堂巩固
k
1.如图，已知反比例函数y—的图像经过第二象限内的点
x
AO的面积为2•若直线y=ax+b经过点A并且经过反比例函数y—的图象上另一点C（n,
x
一2）•
⑴求直线y=ax+b的解析式；
⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M求AM勺长.
2.如图，正比例函数y1
kjx与反比例函数y2k2相交于AB点，已知点A的坐标为（4,
x
n）,BD丄x轴于点D,且SabdO=4。
过点A的一次函数y3—3xb与反比例函数的图像交于
另一点C,与x轴交于点E（5,0）。
（1）求正比例函数力、反比例函数y和一次函数出的解析式；
（2）结合图像，求出当k3xb-k（x时x的取值范围。
x
题型二：
求几何图形的面积
例题1.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象交于A（2,3）,B（-3,n）
x
两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>m的
x
解集;
（3）过点B作BC丄x轴，垂足为C,求&ABC.
kk
例题-如图所示,两个反比例函数y1和y2在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P
xx
在G上，PC丄x轴于点C，交C2于点A,PD丄y轴于点D，交C?
于点B，求四边形PAOB的面积；
k
-（x>0）
x
当堂巩固
3
1、如图，点P的坐标为（2过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y
2
k
于点N;作PMLAN交双曲线y（x>0）于点M,连结AM.已知PN=4.
x
（1）求k的值.
（2）求厶APM的面积.
2.已知一次函数y_!
xm的图象与么比例函数y2
两点，.已知当
X1时，yiy2;当0x1时，yig
⑴求一次函数的解析式；
⑵已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.
题型三：
反比例函数的动点问题
例题1、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2,-1）,且P（-1,
-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足
分别是A、B.
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）
当点Q在直线MO上运动时，直线MC上是否存在这样的点Q,使得△OBQ^AOAF面积相等？
如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.
a1,bk两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两函数的交点A的坐标.在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角
形？
若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
题型四：
反比例函数综合题
例题1、如图，在以0为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B
k
（a,b）在第一象限，四边形OABC是矩形，若反比例函数y（k>0,x>0）的图象与
x
AB相交于点D,与BC相交于点E,且BE=CE.
（1）求证：
BD=AD
（2）
若四边形ODBE勺面积是9，求k的值.
的正半轴上，OA:
OC2:
1.
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标;
（2）若直线y2xm平分矩形OABC面积，求m的值.
当堂巩固
1、已知：
在矩形AOBC中，OB4,OA3.分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图
所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的
反比例函数yk（k0）的图象与AC边交于点E.
x
（1）求证：
△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记SoefSaecf，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：
是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在0B上？
若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）
题型五：
反比例函数应用
例题1、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2009年1月
的利润为200万元.设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元.由于排污超标，该厂决定从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）.
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式.
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
当堂巩固
1、病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值
为4毫克。
已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比
例；2小时后y与x成反比例（如图所示）。
根据以上信息解答下列问题：
（1）.求当Ox2时，y与x的函数关系式；
（2）.求当x2时，y与x的函数关系式；
（3）.若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是
多长？
y、旱菟J
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