八年级数学轴对称复习导学案.docx

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八年级数学轴对称复习导学案

知识点：

理解轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握轴对称图形变换及熟练

应用等腰三角形的性质和判定

考点：

掌握轴对称的基本概念，线段垂直平分线的画法，等腰三角形的性质及判定方法。

能力：

培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力

方法：

指导法、讲解法、启发式

【知识梳理】

知识网络图示

基本知识提炼整理

一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.

（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【例题总结及应用】

一、用轴对称的观点证明有关几何命题

例1试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如图14－102所示.

求证：

BC=

AB.

证明：

如图14－103所示.

作出△ABC关于AC对称的△AB′C.

∴AB′=AB.

又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.

∴AB=BB′=AB′

又∵AC⊥B′B，

∴B′C=BC=

BB′=

AB.

即BC=

AB.

例2如图14－104所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=

AB.

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC=

AB，∠B=60°.

又∵CD⊥BA，

∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=

BC.

∴BD=

·

AB=

AB.

即BD=

AB.

二、有关等腰三角形的内角度数的计算

例3如图14－105所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.

解：

∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.

设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，

∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.

在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，

由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，

∴α=

，∴∠A=

.∴∠A的度数为

.

例4如图14－106所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.

解：

∵AD=BD，AB=AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA.

设∠B=∠C=∠BAD=α，则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.

在△ABC中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，∴3α+α+α=180°，

∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°.

∴∠BAC的度数是108°.

三、作辅助线解决问题

例5如图14－107所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.

证明：

连接AE.

∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.

又∵∠B=90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED.

∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.

又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.

∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.

∴∠C=∠DEC=∠45°.

∴DE=DC，∴BE=DC.

例6如图14-109所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形.

【课堂练习】

1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为（）

A.22B.29C.22或29D.17

2.如图14－110所示，图中不是轴对称图形的是（）

3.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.∠A=50°，∠B=70°B.∠A=70°，∠B=40°

C.∠A=30°，∠B=90°D.∠A=80°，∠B=60°

4.如图14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A等于（）

A.32°B.36°C.48°D.52°

5.

（1）等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为；

（2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为.

6.如图14－117所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=3，BD=5，则点D到AB的距离为.

7.如图14－118所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是.

8．如图：

△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

①若△BCD的周长为8，求BC的长；

②若BC=4，求△BCD的周长．

9.如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。

10.如图14－119所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.

11．已知：

A、B两点在直线L的同侧，试分别画出符合条件的点M

（1）如图，在L上求作一点M，使

最小

（2）如图，在L上求作一点M，使

最大

（3）如图，在L上求作一点M，使AM+BM最小

【课后练习】

1.成轴对称的两个图形的对应角，对应线段.

2.等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.

3.等腰三角形顶角的与底边上的、重合，称三线合一.

4.如图14－116所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）

A.90°B.75°C.70°D.60°

5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.

求证：

AD⊥BC．