初中数学中考关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标对称轴的专题问题.docx
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初中数学中考关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标对称轴的专题问题
关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题：
1．（2013•安徽模拟）已知：
二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
2．（2011•普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求这个函数的解析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．
3．（2011•黄浦区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（1，1）与（﹣1，9）．
（1）求此函数的解析式；
（2）用配方法求此函数图象的顶点坐标．
4．（2010•嘉定区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数的顶点坐标．
5．（1999•福州）已知：
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12）、B（2，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法把由
（1）所得的解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）求抛物线与x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积．
6．（2010•虹口区一模）已知二次函数y=x2+2x﹣3，解答下列问题：
（1）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．
7．（2012•闸北区一模）已知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣6）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线与y轴交点的坐标．
8．（2009•通州区二模）已知二次函数y=x2﹣3x﹣4．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
9．（2005•静安区二模）如图，二次函数y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B的坐标（可用m的代数式表示）；
（2）当△ABC的面积为6时，求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．
10．（2011•虹口区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A（0，1）、B（﹣2，1）两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k．
11．（2009•黄浦区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求此函数的解析式；
（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为y=a（x+m）2+k的形式，并写出其顶点坐标；
（3）在线段AC上是否存在点P（不含A、C两点），使△ABP与△ABC相似？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2005•广州）已知二次函数y=ax2+bx+c．
（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；
（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．
13．（2006•遂宁）已知二次函数y=x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
14．（2005•乌兰察布）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．
15．（1997•上海）用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
16．（1997•安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．（2014•虹口区一模）已知二次函数y=﹣
﹣x+
．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
18．（2009•门头沟区二模）已知二次函数y=2x2﹣4x+5，
（1）将二次函数的解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标；
（3）若反比例函数y=
的图象过点A，求反比例函数的解析式．
答案：
1．（2013•安徽模拟）已知：
二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
解：
把（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c有：
，
解有：
，
∴二次函数的解析式为：
y=2x2+3x﹣4，
y=2x2+3x﹣4，
=2（x2+
x+
）﹣
﹣4，
=2（x2+
x+
）﹣
，
=2（x+
）2﹣
，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣
，﹣
）．
2．（2011•普陀区一模）已知一个二次函数的图象经过A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）三点，求这个函数的解析式，并用配方法求出图象的顶点坐标．
解：
（1）设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
由这个函数的图象过A（0，1），可知c=1．（1分）
再由这个函数的图象过点B（1，3）、C（﹣1，1），有
∴
（2分）
∴
（2分）
∴这个二次函数的解析式为：
y=x2+x+1．（1分）
（2）y=x2+x+1
．（2分）
∴这个二次函数的顶点坐标为
．（2分）
3．（2011•黄浦区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（1，1）与（﹣1，9）．
（1）求此函数的解析式；
（2）用配方法求此函数图象的顶点坐标．
解：
（1）由条件有
，
解有
，
∴解析式为y=2x2﹣4x+3；
（2）y=2x2﹣4x+3，
=2（x2﹣2x+1）+3﹣2，
=2（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
4．（2010•嘉定区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数的顶点坐标．
解：
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（2，﹣3）、C（0，5），
∴
（1分）
∴
（3分）
∴这个二次函数的解析式为：
y=x2﹣6x+5．（1分）
（2）y=x2﹣6x+5y=（x2﹣6x+9﹣9）+5（2分）
y=（x﹣3）2﹣4．（1分）
∴这个二次函数的顶点坐标为（3，﹣4）．（2分）
5．（1999•福州）已知：
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12）、B（2，﹣3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）用配方法把由
（1）所得的解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）求抛物线与x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积．
解：
根据题意，有
（1分）
解有
；（3分）
∴该二次函数的解析式y=x2﹣6x+5；（4分）
（2）∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，（6分）
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），（7分）
对称轴为直线x=3；（8分）
（3）由x2﹣6x+5=0，解有x1=1，x2=5；（9分）
∴C、D两点坐标分别为（1，0），（5，0）；（10分）
S△ACD=
×4×12=24．（12分）
6．（2010•虹口区一模）已知二次函数y=x2+2x﹣3，解答下列问题：
（1）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．
解：
（1）y=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4；
（2）∵a=1＞0，m=1，k=﹣4，
∴该函数图象的开口向上；顶点坐标是（﹣1，﹣4）；对称轴是直线x=﹣1；
图象在直线x=﹣1左侧部分是下降的，右侧的部分是上升的．
7．（2012•闸北区一模）已知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣6）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线与y轴交点的坐标．
解：
（1）根据题意有：
，
解有
∴这个抛物线的解析式是y=2x2+4x﹣6；
（2）y=2x2+4x﹣6=2（x2+2x）﹣6，y=2（x2+2x+1）﹣2﹣6，
∴y=2（x+1）2﹣8
∴顶点坐标是（﹣1，﹣8）；
（3）将顶点（﹣1，﹣8）先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，
有顶点坐标为（3，﹣2），
∴平移后到的抛物线的解析式是y=2（x﹣3）2﹣2，
令x=0，则y=16，
∴它与y轴的交点的坐标是（0，16）．
9．（2005•静安区二模）如图，二次函数y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B的坐标（可用m的代数式表示）；
（2）当△ABC的面积为6时，求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．
解：
（1）抛物线y=x2﹣（m+1）x+m（其中m＞1）中，令y=0，有：
x2﹣（m+1）x+m=0，
即（x﹣m）（x﹣1）=0，
解有：
x1=m，x2=1；
∴A（1，0），B（m，0）；
（2）易知C（0，m）；
∵S△ABC=
AB•OC=
（m﹣1）•m=6；
∴m2﹣m﹣12=0，
解有m=4，m=﹣3（不合题意，舍去）；
∴y=x2﹣5x+4=（x﹣
）2﹣
；
∴抛物线的顶点坐标为（
，﹣
）．
8．（2009•通州区二模）已知二次函数y=x2﹣3x﹣4．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
解：
（1）∵y=x2﹣3x﹣4
=x2﹣3x+（
）2﹣（
）2﹣4
=（x﹣
）2﹣
；
∴二次函数图象的顶点坐标是（
，﹣
），
对称轴方程是x=
．
（2）∵y=x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4），
图象与x轴两交点坐标为（﹣1，0），（4，0），
∴函数值不小于0时，x的取值范围是x≤﹣1或x≥4．
图象如图．
10．（2011•虹口区一模）已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A（0，1）、B（﹣2，1）两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为y=a（x+m）2+k．
解：
（1）根据题意，有
，
解得，
，
∴该二次函数的解析式是y=2x2+4x+1；
（2）由
（1）中的二次函数的解析式知，
y=2（x2+2x）+1
=2（x2+2x+1）+1﹣2
=2（x+1）2﹣1．
11．（2009•黄浦区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求此函数的解析式；
（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为y=a（x+m）2+k的形式，并写出其顶点坐标；
（3）在线段AC上是否存在点P（不含A、C两点），使△ABP与△ABC相似？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由题意有：
，（2分）
解有：
；（1分）
∴此函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（1分）
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1（2分）=﹣（x﹣1）2+4；（1分）
∴顶点为（1，4）；（1分）
（3）假设存在点P，使△ABP与△ABC相似，
则
/
；
当
时，AP=AC；（不合题意，舍去）（1分）
当
时，
；（1分）
由题意易有直线AC的解析式为：
y=﹣x+3，
设P（x，﹣x+3），其中0＜x＜3，
则
，
解有：
（舍去）；（1分）
∴
．（1分）
12．（2005•广州）已知二次函数y=ax2+bx+c．
（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；
（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．
解：
（1）当a=1，b=﹣2，c=1时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x=1，
利用函数对称性列表如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
1
4
…
在给定的坐标中描点，画出图象如下．
（2）由y=ax2+bx+c是二次函数，知a≠0
y=a（x2+
x）+c=a[x2+
x+（
）2]+c﹣a×（
）2
=a（x+
）2+
∴该二次函数图象的顶点坐标为
．
13．（2006•遂宁）已知二次函数y=x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常数且a≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与x轴的交点坐标．
解：
（1）∵y=x2+4x=（x2+4x+4）﹣4=（x+2）2﹣4，
∴对称轴为：
x=﹣2，
顶点坐标：
（﹣2，﹣4）；
（2）y=0时，有x2+4x=0，
x（x+4）=0，
∴x1=0，x2=﹣4．
∴图象与x轴的交点坐标为：
（0，0）与（﹣4，0）．
14．（2005•乌兰察布）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．
解：
y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=（x﹣1）2﹣4，
对称轴是x=1，顶点坐标是（1，﹣4），
当x=0时，y=﹣3，∴y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y=0时，x=3或x=﹣1即与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．
15．（1997•上海）用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a（x+m）2+k的形式，并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
解：
y=1﹣4x﹣2x2，
=﹣2（x2+2x+1）+2+1，
=﹣2（x+1）2+3，
∴，∵a=﹣2＜0，
∴它的图象的开口方向向下，
顶点坐标为（﹣1，3），
对称轴为直线x=﹣1．
16．（1997•安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：
y=﹣2x2﹣5x+7
=﹣2（x2+
x）+7
=﹣2（x+
）2+
，
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴是直线x=﹣
，
顶点坐标为（﹣
，
）．
17．（2014•虹口区一模）已知二次函数y=﹣
﹣x+
．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
解：
（1）y=﹣
x2﹣x+
，
=﹣
（x2+2x+1）+
+
，
=﹣
（x+1）2+4；
（2）∵a=﹣
＜0，
∴二次函数图象的开口向下，
顶点坐标为（﹣1，4），
对称轴为直线x=﹣1．
18．（2009•门头沟区二模）已知二次函数y=2x2﹣4x+5，
（1）将二次函数的解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标；
（3）若反比例函数y=
的图象过点A，求反比例函数的解析式．
解：
（1）y=2x2﹣4x+5=2（x2﹣2x+
）=2（x﹣1）2+3；
（2）由题意有：
移动后的函数变为y=2（x﹣3）2+2，
∴A（3，2）．
（3）∵反比例函数
的图象经过点A（3，2），
∴m=6．
∴反比例函数的解析式是
．
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