整理正余弦定理综合应用.docx
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整理正余弦定理综合应用
正余弦定理综合应用
学校：
：
班级：
考号：
一、解答题
1•已知「的切圆面积为，角所对的边分别为h期，若一二m、—m"
（1）求角乩
（2）当ARAC的值最小时，求^ABC的面积.
2•设•’的角，‘，所对的边分别为，，，且於七.
（1）求的值；
（2）若求的值；
（3）若"•",求丄；面积的最大值.
3•在平面四边形”肚制中，卜垃•三勺
cosZ-RAD—-
（2）若恋•床=:
S,求.
4•已知向量応—1）,花的4如切
角】，,为“曲的角，其所对的
边分别为阀，，.
（1）当.取得最大值时，求角〔的大小;
（2）在
（1）成立的条件下，当时，求卅+』的取值围.
5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且''U汇
（1）判断△ABC的形状；
（2）若心）=0皿-紳昭+＜求『⑷的取值围.
?
点•在线段上，且■'.
（[）若
AU=2
求：
的长;
（n）若，求△DBC的面积最大值.
_ilnjq*珊J1E
7.在AABC中，角〔的对边分别为0力£,costataA+nwi?
（1）求角的大小；
（2）若2肚的外接圆直径为2,求/+F的取值围.
8.在锐角三角形巧中，角■所对的边分别为，，已知
（口-c）（jinX+srnQ=bQin4-sinU）
（1）求角K的大小;
（2）求的取值围。
cos2x
2cos2x.
（1）求fx的最大值，并写出使fx取最大值时x的集合;
2，bc2，求
（2）已知ABC中,角A,B,C的边分别为a,b,c，若fBCa的最小值.
10.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且ACB
（1）若a,b,c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
（2）若cJ,ABC，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值
参考答案
1.⑴片P；
（2）矢3
【解析】分析：
（1）由正弦定理将边化角得2cosA=1，进而得的二.
（2）由切圆的性质得h+c-z?
揖,由余弦定理得圧=於+疋-尿，进而得
4
（b+♦询化简得IJW+少乩=坯2+匸）王叽反，或比剂，又
>v-■；•■>,/，所以加二罔，从而得当时，皿匕"的最小值为6，进而得面积•
详解：
（1）由正弦定理得卜:
怦A；w沁汀疋血落U
.•.」―沁i*订:
〔.八仁‘沁
由题意可知’的切圆半径为1,
如图，设圆；为三角形肉■汽|的切圆，込阖为切点,可得眉:
门
贝忙一J:
i=；：
肿
于是［h-.-I'.'■"-；-:
'「：
化简得I「「「-：
.：
rL二戒
所以.’或，
又|?
.,..■<.，■：
：
：
，-强，所以「--•一，即当且仅当:
——厂时，八H的最小值为6,
点睛：
本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形切圆的性质，属于中档题•
2.
（1）孚
（2）1（3）P
【解析】分析：
（1）由：
:
;m汀=驾-冷利用正弦定理得：
主:
:
亦-注M
山:
心1:
心丁二訂;（扭亠-，利用两角和的正弦公式化简可得，从而可得结果;
（2）直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得
j|22]nj
2bc=h+•—22此阮冬9，由三角形面积公式可得卩砧陋二护凶砧二石氐，从而
可得结果.
详解：
（1）^BC中，3acosC-3b-2c
由正弦定理得：
打:
一:
.•.|沁农=八丁注W\--「；-3；：
由余弦定理得：
门心二，"品
bc=+c^-6>2bc-6
.•.险'二耳（当且仅当m时取“=”号）
点睛：
以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及
解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强•解答
这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用,
特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心
3.
（1）;
（2）■.
【解析】分析：
（1）由正弦定理即可;
（2）由已知可得I泥|J丽=24,从而可得BC-2<5，再利用余弦定理即可
详解：
（1）在生3中，T,•••',
sin^BAD=Ji-cos\lHAD=〒
jr
.^AHD=-
（2）•.•瓦丽=24,.・.|就|J陌wS兀=24
F£.DBC=-^.ABD=
又•.•23g
.•.当二24...空
在n中
CD2=HD2+HC2-2I3D-BCCOS^DUC
=8Z+（2^/S）2-2x8x2^/5X^=2S
.•a=^M2、亍.
点睛：
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.
4.
（1）M胡
（2）〔”]
【解析】分析：
（1）由两向量的坐标，禾U用平面向量的数量积运算列出关系式，禾U用诱导公
式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于“皿忑的二次函数，由M的围求出习的围，利
-*r
用正弦函数的图象与性质得出此时’2的围，利用二次函数的性质即可求出肉7】取得最大值时：
的度数；
（2）由及•的值，利用正弦定理表示出，再利用三角形的角和定理用’表示出，将表
示出的匕代入中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函
数公式化为一个角的正弦函数，由罔的围求出这个角的围，利用正弦函数的图象与性质求出
详解:
—fT.4
（1）
m■n=2sin^-cos（8+C）
=—2如冷+亦町+1原式=-丹+21+1，当｛=■•：
即血厂习，以二扌时，不韦取得最大值.
（2）当"「时严+"=而=厂""©为皿旳的
外接圆半径）
于是/+cz=CZRsinli）2+（2/?
sfnC）2
=（Zaini/）2+（2s惋G，=4刘n切+4i'm2C=阳出切+^sin2{A+B}—孙1〜；曲+”―㈣了丰明=4-2cos2B-2cos（y+2B）
1品
=4-2cos2B-2（（--—sinZd）
=4+,j3sin2B-cos2H=4+2sin{2H-》.
由B岂唏,得28-^（-謂,于是
ElW?
）E[-il]++2sm（2R-^）e（3P6|
所以/+/的围是（3,6].
点睛：
本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
5.
（1）△ABC为"一、的直角三角形.
【解析】分析：
（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角的值，进而可判断三角
形的形状；
（2）由辅助角公式对已知函数先化简，然后代入可求得，结合
（1）中的角岡求得
角啲围，然后结合正弦函数的性质，即可求解.
详解：
（I）因为”总匕三-悅況；二-■•辽淬芦
由正弦定理可得一：
.:
'|匸.14一，.;二、、:
辽:
即.：
；<.■?
■■■^■■；/..■-二mm,所以卜逹一二加皿⑺甞
因为在△ABC中，:
;十C?
，所以久心一V讥匕:
•:
又'乎：
.'?
所以SInB=1空.所以△ABC为"的直角三角形.
所以!
因为△ABC是的直角三角形,
:
剧』卫1
所以°
1<2,且X<1，所以当EM二亍时，『隨:
有最小值是-百.
所以.1的取值围是独
对于解三角形
点睛：
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,
问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值•利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题
6.
（1）3
（2）
【解析】分析：
（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得cosB=3,设甌二口皿=3御
由余弦定理可得：
訓，应用余弦定理，写出co^ADBxos^BDC的值，根据两
角互补，得到虫疮W-g-m-匸，得到所满足的等量关系式，求得结果;
到•，利用三角形面积公式求得结果•
详解：
一只心…4“朋一士产一?
在M必中，设必二□平=3刑由余弦定理可得：
加勺+4--«①
在F；c：
；：
和二"^匚中，由余弦定理可得：
716「
4m+4m"
3
cos^-ADB=三cosDC=—
16^m
3
3
又因为搜卡、■」江沙丄U
+學一4m"十翠-J
L-—°
得3爪？
②
由①②得「：
I•••拓■-=■-：
-|
（2）
'■'cosB—-fBE（Ojr）：
•sinB—J]=con，ft~
.•.I；注玉四（当且仅当：
y二取等号）
HBDC-
由应心v垃，可得
•■'的面积最大值为点睛：
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式，诱导公式等，正确使用公式是解题的关键
C=-
7.⑴3.
（2）.
【解析】分析：
（1）根据三角函数和差公式化简，得到角A、B、C的关系，以及A+B+Cn即可求出角C。
（2）设'：
•，利用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幕公式，把A、B化成a的表达式；利用角a的取值围即可求出打、的取值围。
详解：
（1）由得•■•■'-■
即|sm（C-A）=sin（B-C）|,则UH-©，即2C-A-^B，即匚二亍
fT31
~3<~a<3
则o2+b'=（2RsinA）2+^RsinB）2=A（sin2A+sin2S']
即a2+b'
.2fl
则_T<2（rica2+b2<&[,
故'的取值围是|.F订点睛：
本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幕公式的综合应用，结合知识点
多，化简较为复杂，属于难题。
在三角函数问题中，边角转化是解决问题的核心，解题前要
确认把角转化成边，还是把边转化成角。
8.
（1）；
（2）I芻）.
【解析】试题分析：
（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；
（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值围，即可求出三角函数的取值围•
试题解析：
（1）因为亠*:
二—由正弦定理得
（a-c）（a+c）=b（a二御，即a24-b2-c2=ab,
根据余弦定理得
又因为’，所以
cos2A+cds^B—I+'“=1+i（cos24+cos2B）
lr4jt
=14--[cos2A+cos（—-2A）]
11品
=1+-（-cos2A
222
17T
=1+^cos（2A+-）
初f逗4a
则P_
所以所以^即cos2A+他的取值围为
点睛：
解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问
题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意角和定理的运用，涉及三角形面
积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的围，才能写出角的大小.
9.
（1）2,{x|xk-,kZ};
（2）1.
6
【解析】试题分析：
（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将fx化为
以及角A的围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解.
试题解
析
:
（
1
）
Q
4
2
4
4
fxcos2x
2cosx
cos2xcos
sin2xsin
1
cos2x
3
3
3
13
cos2xsin2x
1
cos
2x
1
22
3
fx的最大值为2.
要使fx取最大值，
cos
2x
1,2x-
2kk
Z,
3
3
故x的集合为{x|xk
k
Z}
6
（2）fBCcos
2B
C
1
3
即cos2
2A—
1
3
2
3
2
化简得cos2A—
3
2
QA0,,2A-
5
只有
2A
A
3
3
3
33
3
等变形得
ABC
ACsin
ABC
BC
sinBAC
AB
sinACB
AC
sin
BC
sin
..3
.2
sin
AC
2sin
BC2sin
ABC
AC
BC
AB
2sin
2sin—
3
、、32sin
1.-3
sineos
22
Q0,,
3333
当即时，f取得最大值2、、3.
326
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