四川省成都市届高中毕业班第三次诊断性检测数学文科试题解析版.docx

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四川省成都市届高中毕业班第三次诊断性检测数学文科试题解析版

成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150

分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={x∈N（x-1）（x-3）≤0}，则集合ðUA中元素的个数

是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】由题意得A={1,2,3}，所以ðUA={0}，故选A.

考点：

集合的基本运算.

2．若复数z=a+i（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）

1-i

A．-2

【答案】C

B．-1

C．1D．2

【解析】因为z=a+i=（a+i）（1+i）=a-1+（a+1）i是纯虚数，所以a-1=0，即a=1，

1-i22

故选C.

考点：

1、复数的运算，2、纯虚数的概念.

3．命题“∀x∈（1,+∞），x-1≥lnx”的否定是（）

A．∀x∈（1,+∞），x-1≤lnx

C．∃x0∈（1,+∞），x0-1≥lnx0

【答案】D

B．∀x∈（1,+∞），x-1

D．∃x0∈（1,+∞），x0-1

【解析】“∀x∈（1,+∞），x-1≥lnx”的否定是“∃x0∈（1,+∞），x0-1

D.

考点：

含一个量词的命题否定.

⎪

⎧1,x>0,

4．定义符号函数sgnx=⎨0,x=0,

⎩

⎪-1,x<0,

则函数f（x）=sinx⋅sgnx的图象大致是（）

【答案】B

【解析】用排除法，易知f（x）是偶函数，故排除A选项；当00，故排除D选项；当π

考点：

函数的图象.

5．已知实数a=2ln2，b=2+2ln2，c=（ln2）2，则a,b,c的大小关系是（）

A．c

【答案】A

B．c

C．b

D．a

【解析】易知1<2ln2<2，2+2ln2>2，0<（ln2）2<1，所以c

考点：

指数与对数运算及单调性.

6．当α∈⎛π,π⎫时，若sin（π-α）-cos（π+α）=，则sinα-cosα的值为（）

ç2⎪3

⎝⎭

2

A．

3

【答案】C

B．-2C．4

33

D．-4

3

【解析】由诱导公式得

sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=

2

，所以

3

2sinαcosα=-7

9

，（sinα-cosα）2=（sinα+cosα）2-4sinαcosα=16，又

9

α∈⎛π,π⎫，所以sinα-cosα>0所以sinα-cosα=4.故选C.

ç2⎪3

⎝⎭

考点：

1、诱导公式；2、同角基本关系求值.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出

1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（）

1152

A．B．C．D．

3299

【答案】B

25

【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为C1C1=10，取出红

球的总数为C1C1+C1C1=5，所以乙袋中取出红球的概率为P=

5=1.故选B.

1312

考点：

古典概型.

102

8．某企业可生产A,B两种产品.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产A,B两种产品，则两种产品的量

之和的最大值是（）

A．467吨B．450吨C．575吨D．600吨

【答案】C

【解析】设生产A,B产品的产量分别为x,y（单位：

100吨），由题意得约束条件

⎧200x+300y≤1400,

⎪200x+100y≤900,

⎪

⎪

⎨x≥0,

⎪⎩y≥0,

求目标函数z=x+y的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其

中A（4.5,0），B（3.25,2.5），C⎛0,14⎫.

ç3⎪

⎝⎭

由可行区域可得目标函数z=x+y经过B（3.25,2.5）时，z取最大值，故zmax=5.75（100

吨）.故选C.

考点：

线性规划问题.9．在正三棱柱ABC-A1B1C1

（底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之

和为定值a.若正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（）

A．43πB．32πC．12πD．64π

33

【答案】D

【解析】设正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为x，侧棱为y，则6x+3y=a，三棱柱

1⎛6x+3y⎫2a2

ABC-A1B1C1

侧面积

S=3xy

.所以

S=3xy≤6ç

=

224

，当且仅当

6x=3y=a，即x=

2

⎝⎭

a,y=a时，等号成立，所以a=24，x=2，y=4.所以正三棱

126

柱ABC-A1B1C1的外接球的球心O到顶点A的距离为

43

，所以该球的表面积

4

64π

为

3

.故选D.

考点：

1、简单几何体；2、基本不等式.

10．已知双曲线:

x

2

2

2=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1（-c,0），F2（c,0）.双曲

ab

线C上存在一点P，使得sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=a，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

c

A．（1,1+2）

【答案】A

B．（1,1+3）

C．（1,2）

D．（1,3）

【解析】不妨设点P在双曲线右支上，

在△PF1F2中，由正弦定理得

PF1

sin∠PFF

PF2，

sin∠PFF

2112

所以sin∠PF1F2

==，所以

=a，所以

=a，

sin∠PF2F1c

c-a

2ac-a

所以PF2

2a2

=c-a，又PF2

2a2

>c-a，所以>c-a，所以cc-a

2-2ac-a2

<0，所以

e2-2e-1<0，解得1

考点：

1双曲线的性质.

11．已知P为△ABC所在平面内一点，AB+PB+PC=0，PC

△PBC的面积等于（）

=PB=

AB=2，则

A．3

【答案】C

B．2C．

D．4

【解析】分别取边BC，AC的中点D,E，则PB+PC=2PD，AB=2ED，

因为AB+PB+PC=0，所以ED=-PD，所以E,D,P三点共线，且ED=PD

=1.

又PC=PB=2，所以PD⊥BC，所以BC=2

，所以△PBC

的面积

S=1⨯23⨯1=.故选C.

2

考点：

平面向量线性运算.

12．在关于x的不等式x2-axex-aex>0

（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集

中，有且仅有两个正整数,则实数a的取值范围为（）

A．⎛16,1⎤

B．⎡9

1⎫

C．⎛16,4⎤

D．⎡9

4⎫

ç5e42e⎦⎥

【答案】D

⎢⎣4e3

2e⎪

ç5e43e2⎦⎥

⎢⎣4e3

3e2⎪

【解析】易得不等式x2-axex-aex>0⇔

x2>a（x+1）ex.

设f（x）=x2，g（x）=a（x+1）ex，则原不等式等价与f（x）>g（x）.

若a≤0，则当x>0时，f（x）>0，g（x）<0，所以原不等式的解集中有无数个正整数，所以a>0.

因为f（0）=0，g（0）=a>0，所以f（0）

当f

（1）≤g

（1），即a≥

'

1时，设h（x）=f（x）-g（x）（x≥2），

2e

（x+2）ex

则h（x）=2x-a（x+2）e

（x+2）ex

≤2x-.

2e

'

（x+3）ex'

设ϕ（x）=2x-

（x≥2），则ϕ（x）=2-≤ϕ

（1）=0，

2e2e

所以ϕ（x）在[2,+∞）上为减函数，所以ϕ（x）≤ϕ

（2）=2（2-e）<0，所以当x≥2时，h'（x）<0，所以h（x）在[2,+∞）上为减函数，

所以h（x）≤h

（2）=4-3ae2≤4-3e<0，

2

所以当x≥2时，不等式f（x）

⎧f

（1）>g

（1）,⎧1>2ae,

所以要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数，则⎪f

（2）>g

（2）,所以⎪4>3ae2,

9

解得

4e3

≤a<

4

3e2

.故选D.

⎨

⎪f（3）≤g（3）,

⎨

⎪9≤4ae3,

考点：

利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.

13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是.

1

【答案】

sin1

1

【解析】设半径为R，则2=sin1，所以R=

R

1

2sin1

，弧长l=αR=2R=

1

.

sin1

考点：

弧度制的概念.

14．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=3

则角C的大小为.

π

，b=3，A=π，

3

【答案】

2

a

【解析】由正弦定理

=b得sinB=1，又b

sinA

考点：

弧度制的概念.

sinB262

15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为.

【答案】

5

【解析】如图，连接BD，取BD的中点为F，连接EF,AF，则EF∥BD1.

所以∠AEF（或∠AEF的补角）是异面直线AE与BD1所成角.

设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则AE=,AF=,EF=,

AE2+EF2-AF2

由余弦定理得cos∠AEF==.

2AE⋅EF5

所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为5.

考点：

异面直线所成角.

16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R

不等式f（x）≤f

'（x）恒成立，则

b2

a2+c2的最大值为.

【答案】2-2

【解析】由题意得f'（x）=2ax+b，所以f（x）≤f'（x）⇔ax2+（b-2a）x+c-b≤0，所以二次不等式ax2+（b-2a）x+c-b≤0在R上恒成立，

⎧⎪a<0,

⎧a<0,

⎩

所以⎨⎪∆=（b-2a）2

-4a（c-b）≤0,

即⎨

⎩b2≤4ac-4a2.

4⎛c-1⎫

b24ac-4a2

ça⎪

所以≤=⎝⎭，

a2+c2

c

a2+c2

⎧⎪a<0,

⎛c⎫2

ç⎪+1

⎝⎭

⎪⎩

设a=t，因为⎨4a（c-a）≥0,所以c≤a，所以t≥1.

当t=1时，4（t-1）=0；

t2+1

当t>1时，所以4（t-1）=4≤4=22-2，

t2+1

（t-1）+2+22+2

t-1

当且仅当t=+1，即c=（

+1）a时，

4（t-1）

2

取最大值，

t+1

2

故当b2=42a2，c=（+1）a时，b取最大值为2-2.

a2+c2

考点：

1、二次不等式；2、基本不等式.

三、解答题：

本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

3

已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S2,S4,S3成等差数列，且a2+a3+a4=-.

8

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=nan

，求数列{bn}的前n项和Tn.

⎛1⎫n-1

n+2

【答案】（I）a=ç-⎪

⎝⎭

；（Ⅱ）Tn=4-

.

2n-1

【解析】

考点：

1、等比数列；2、错位相减法.

18．（本小题满分12分）

某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x和销售额y的数据如下表:

根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z（精确到小数点后第二位）和销售额y具有线性相关关系.

（I）求销售额y关于产品研发费x的回归方程yˆ=bˆlnx+aˆ（aˆ,bˆ的计算结果精确到

小数点后第二位）；

（Ⅱ）根据（I）的结果预则：

若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？

【答案】（I）yˆ=11.99lnx+21.86；（Ⅱ）55.5.

【解析】

考点：

1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.

19．（本小题满分12分）

如图①,在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠ABC=60，CD=2，AB=4，点E为AB的中点；现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角P-EC-A,如图②，连接PA,PD得四棱锥P-AECD，如图③.

（I）求证：

PD⊥EC；

（Ⅱ）求四棱锥P-AECD的体积.

【答案】（I）见解析；（Ⅱ）2.

【解析】

考点：

1、点线面间的垂直关系；2、简单几何体的体积.

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,0），B（1,0），动点M满足MA+MB

=4.

记动点M的轨迹方程为曲线C，直线l：

y=kx+2与曲线C相交于不同的两点P,Q.

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若曲线C上存在点N，使得OP+OQ=λON（λ∈R），求λ的取值范围.

x2

【答案】（I）

2

+=1；（Ⅱ）（-2,0）（0,2）.

43

【解析】

考点：

1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系.

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+1.若函数f（x）图象上任意一点P关于直线y=x

的对称点Q恰好在函数h（x）的图象上.

（I）证明：

g（x）≤h（x）；

（Ⅱ）若函数F（x）=

f（x）

g（x+1）

在[k,+∞）（k∈N*

）上存在极值，求k的最大值.

【答案】（I）见解析；（Ⅱ）（-2,0）（0,2）.

【解析】

考点：

导数在研究函数的极值的应用.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用

2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：

极坐标与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程是

2ρsin⎛θ+π⎫=1，点Q⎛ρ,π⎫在直线l上.以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，

ç4⎪ç2⎪

⎝⎭⎝⎭

建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度.

（I）求曲线C及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B，求QA+QB的值.

【答案】（I）（x-2）2+y2=4，x+y-1=0；（Ⅱ）3.

【解析】

考点：

1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义.

23．（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲已知函数f（x）=2x+1+x-a，a∈R.

（I）当a=2时，解不等式f（x）≤4；

（Ⅱ）若不等式f（x）<1的解集为非空集合，求a的取值范围.

【答案】（I）[-1,1]；（Ⅱ）⎛-3,1⎫.

ç22⎪

⎝⎭

【解析】

考点：

解含绝对值的不等式.