万有引力含答案.docx
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万有引力含答案
万有引力定律
一、历史的回顾：
1、公元二世纪以希腊天文学家托勒玫为代表的地心说认为：
地球是宇宙的中心，宇宙万物都是上帝创造。
宇宙中的一切天体都围着地球旋转。
这个学说在教会支持下，延续一千余年。
现在看来这个学说是错误的，但地心说的出现仍旧促使了世界航海事业的发展，对提高发展生产力起到了积极作用。
2、十六世纪波兰天文学家哥白尼，经过四十年的观测和研究，在古代日心说的启发下重新提出了新的日心说：
太阳是宇宙的中心，地球和其它行星一样都绕太阳旋转。
这个学说很容易解释许多天文现象。
这种学说虽然受到教会的反对和迫害，但在伽利略、布鲁诺为代表的一些人支持下仍被人们逐渐接受。
3、丹麦天文学家第谷经过二十余年长期对行星的观测和精确测量，又经他的助手开普勒用二十年时间的统计分析概括进一步完善了“日心说”。
开普勒于十七世纪发表著名的开普勒三定律。
开普勒第一定律：
所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：
对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第三定律：
所有行星的椭圆轨道的长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。
即
三大定律的发现，使人类的天文学知识提高了一大步。
例题：
1．有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：
2，则它们绕地球运转的周期之比为。
例2．16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个基本论点目前看存在缺陷的是（ ）
A．宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天穹不转动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大的多
【解析】 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴R满足＝恒量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动，整个宇宙是在不停运动的．【答案】 ABC
例3．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为（ ）
【解析】 如图6—1—1所示，A、B分别表示远日点、近日点，由开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有：
va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va.
【答案】 C
例4．有一个名叫谷神的小行星，质量为m＝1.00×1021kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的2.77倍，求它绕太阳运动一周所需要的时间．
【解析】根据开普勒第三定律求解
例5．关于“日心说”和“地心说”的一些说法中，正确的是（ CD ）
A．地球是宇宙的中心，是静止不动的
B．“太阳从东方升起，在西方落下”，这说明太阳绕地球转动，地球是不动的
C．如果认为地球是不动的（以地球为参考系），行星运动的描述不仅复杂且问题很多
D．如果认为太阳是不动的（以太阳为参考系），则地球和其他行星都在绕太阳转动
二、牛顿对行星运动的解释：
牛顿从他本人发现的牛顿第二定律出发深入分析和研究了天体运行的规律，他对行星运动的规律的解释主要有以下几个层次：
1、设行星都沿圆周运动，那么行星运动所需的向心力
应满足：
由开普勒第三定律
则：
式中
为行星质量，R为行星运动的轨道半径。
式中的常数K对太阳系来说保持不变。
从牛顿第三定律出发，太阳吸引行星的力
应与行星吸引太阳的力
大小相等。
既然
与行星质量
成正比，那么行星吸引太阳的力也应与太阳的质量M成正比，也就是说常数K是一个与太阳质量M成正比的数。
再引进一个常数G，并令：
则太阳吸引行星的力：
常数G是与太阳质量无关的恒量。
2、行星与卫星之间的作用力与太阳和行星之间的作用力同属一个性质的力。
关于这一点牛顿是从月亮运行的周期T、轨道半径R等已知参数计算得出，月球和地球之间的作用力也是跟它们质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比的。
3、地球对地面物体的吸引力跟地球对月球的吸引力属同种性质的力。
地面上的重力加速度为g，地球的半径为R，而月球到地心的距离
恰为地球半径的60倍，而月球作匀速圆周运动的加速度恰为重力加速度的1/3600，这说明地球对物体的吸引力和地球对月球的吸引力也属同一性质的力。
三、万有引力定律：
1、内容：
任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
这就是万有引力定律。
2、公式
应注意：
（1）公式中G称作万有引力恒量，经测定
。
（2）公式中的R为质点间的距离。
对于质量分布均匀的球体，可把它看做是质量集中在球心的一个点上。
（3）从
可以看出，万有引力是非常小的，平时很难觉察，所以它的发现经历了对天体（质量特别大）运动的研究过程。
第一宇宙速度：
指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度（也是人造地球卫星的最小发射速度）。
大小为7.9km/s——计算方法是V=（gR）1/2
第二宇宙速度：
指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。
大小为11.2km/s,又称脱离速度。
第三宇宙速度：
指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。
其大小为16.7km/s，又称逃逸速度。
四、万有引力恒量的测定：
实验装置是用的扭秤（如右图所示），秤杆长2.4
，两端各置一个铅质球，再用另外两个球靠近，研究它们的引力规律。
实验原理是用力矩平衡的道理。
实验结果：
首先验证了万有引力的正确性。
另外测定了万有引力恒量为：
目前万有引力恒量的公认值为：
小结：
1、万有引力定律的发现，绝不是牛顿一人的成果。
它是人类长期研究奋斗的结果，甚至有人献出了宝贵的生命。
2、万有引力定律的确立，并不是在1687年牛顿发表之时，而应是1798年卡文迪许完成实验之时。
3、万有引力定律的公式：
只适用于质点间的相互作用。
这里的“质点”要求是质量分布均匀的球体，或是物体间的距离r远远大于物体的大小
，这两种情况。
4、运用万有引力定律解决具体问题时，要特别注意指数运算。
5、在计算过程中，如果要求精度不高，可取
来运算，这样可使计算简化。
三、万有引力定律的应用分析：
基本方法：
卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F万=F心（类似原子模型）
方法：
轨道上正常转：
地面附近：
G
=mg
GM=gR2（黄金代换式）
1、天体表面重力加速度问题
通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G
，g=GM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h）2，比较得gh=（
）2·g
例1：
设两天体表面重力加速度分别为g1、g2，两天体半径比为R1：
R2=1:
2、质量比
M1：
M2=3：
5，由此推得两个不同天体表面重力加速度
例2：
设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ D ）
A．1 B．1/9C．1/4D．1/16
2、计算中心天体的质量
某星体m围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则：
由
得：
例如：
利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。
可以注意到：
环绕星体本身的质量在此是无法计算的。
例1：
为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R＝6.4×106m，地球质量m＝6×1024kg，日地中心的距离r＝1.5×1011m，地球表面处的重力加速度g＝10m/s2,1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M（保留一位有效数字，引力常量未知）．
【解析】 方法一：
设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得，G
＝m（
）2r①
对地球表面物体m′，有m′g＝G
②
①②两式联立，得M＝
代入已知数据得M＝2×1030kg.
例2：
已知引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
:
3、计算中心天体的密度
ρ=
=
=
由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度
例1：
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（ D ）
A．1.8×103kg/m3 B．5.6×103kg/m3
C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3
4、发现未知天体
用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：
历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。
冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的
例1：
如图6—4—1为宇宙中一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0.长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在着一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测．
【解析】 行星A发生最大偏离时，应该是行星B距行星A最近的时候，因此可由行星A的周期T0及A、B相遇的时间间隔t0求得B的周期，进而可求得B的轨道半径．
【答案】 设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则有G
＝m
2R0 ①.
由题意可知：
A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近．设B行星周期为TB，则有
－
＝1，解得TB＝
②.
设B行星的质量为m1，运动的轨道半径为RB，则有G
＝m1
2RB ③.
由①②③可得：
RB＝R0·
.
运用圆周运动知识还可预测行星B的线速度和角速度．
综合习题：
1、已知万有引力恒量，在以下各组数椐中，根椐哪几组可以测地球质量（ ）
①地球绕太阳运行的周期信太阳与地球的距离
②月球绕地球运行的周期信月球离地球的距离
③地球半径、地球自转周期及同步卫星高度
④地球半径及地球表面的重力加速度
2、火星与地球的质量之比为P，半径之比为q，则火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、地球表面处的重力加速度为g，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为
A.gB.g/2C.g/4D.2g
4、一名宇航员来到某星球上，如果该星球的质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是他在地球上重力的（ ）
A.4倍B.0.5倍C.0.25倍D.2倍
5、关于地球的运动,正确的说法有（ ）
A.对于自转,地表各点的线速度随纬度增大而减小
B.对于自转,地表各点的角速度随纬度增大而减小
C.对于自转,地表各点的向心加速度随纬度增大而增大
D.公转周期等于24小时
6、已知金星绕太阳公转的周期小于1年，则可判定（ ）
①金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离
②金星的质量大于地球的质量
③金星的密度大于地球的密度
④金星的向心加速度大于地球的向心加速度
A.①③B.②③C.①④D.②④
7、人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是（ ）
A.由
可知，向心力与r2成反比
B.由
可知，向心力与r成反比
C.由
可知，向心力与r成正比
D.由
可知，向心力与r无关
8、关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是（ ）
①在发射过程中向上加速时产生超重现象
②在降落过程中向下减速时产生失重现象
③进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象
④失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的
A.①③B.②③C.①④D.②④
9、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比（）
①地球与月球间的万有引力将变大；②地球与月球间的万有引力将变小；
③月球绕地球运动的周期将变长；④月球绕地球的周期将变短。
A.①③B.②③C.①④D.②④
1、关于地球同步通讯卫星，下列说法中正确的是[ ]
A.它一定在赤道上空运行
B.各国发射的这种卫星轨道半径都一样
C.它运行的线速度一定小于第一宇宙速度
D.它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间
3.天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期.由此可推算出（ ）
A.行星的质量B.行星的半径C.恒星的质量D.恒星的半径
解析:
由
得
所以只有C正
确.
答案:
C
5.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观
测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是（ ）
D.24小时
解析:
由开普勒行星运动定律可知:
=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有
其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据解得t1=1.6h，所以本题正确选项为B.
答案:
B
7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（ ）
A.0.2B.2 C.20 D.200
解析:
本题考查天体运动及万有引力的相关运算.我们知道:
月球随地球一起绕太阳公转周期为T1=365天，太阳对月球的万有引力F1提供月球绕太阳公转的向心力，设月球质量为m0，根据牛顿第二定律有F1=m0（2πT1）2R1（①式）；同理，地球对月球的万有引力F2提供月球绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
（②式）；由①②得
所以A、C、D错误，B正确.
答案:
B
9.（2010湖北八校一联，17）“神舟七号”载人航天飞行的圆满成功标志着我国成为世界上第三个独立掌握空间出舱关键技术的国家，航天员翟志刚出舱后手拿小国旗的场景在国人的心中留下了非常深刻的印象.假定“神舟七号”绕地球做匀速圆周运动，且大气阻力不计.出舱后翟志刚举着小国旗不动时,下列说法正确的是（ ）
A.小国旗受重力作用[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
B.小国旗不受重力作用
C.若翟志刚松开小国旗,小国旗将在太空中做匀速直线运动
D.若翟志刚松开小国旗,小国旗将围绕地球做匀速圆周运动
解析:
宇宙飞船及船上任何物品都在绕地球做匀速圆周运动,处于完全失重状态,但并不是不受重力,而是其重力恰好提供向心力,A正确,B错误.翟志刚松开小国旗后由于惯性,小国旗将保持原来的速率,离地心的距离R也不变,故等式
仍然成立，小国旗仍将绕地球做匀速圆周运动，C错误，D正确，选A、D.
答案:
AD
11、如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，
下列说法正确的是：
（）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c；
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大
2、设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R，那么以下说法正确的是[ABD ]
8．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。
轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是：
（）
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
9．地球同步卫星到地心的距离r可由r3=
求出.已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（）
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
10．2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观．这是6
万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．图示为美国宇航局最新公布的“火星大冲”
的虚拟图．则有（）
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度
C．2004年8月29日，火星又回到了该位置
D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置
12．地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星高度为h，则此卫星线速度大小为：
（AD）
A、B、
C、D、
11.（5分）2008年9月15日，我国的第一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”为华夏儿女送来了中秋佳节的“语音祝福”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的1/81，探月卫星绕月运行的速率约为1.8km/s，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则由此可知月球的半径约为地球半径的________________.
解析:
分别以M、m表示地球和月球质量，以R、r表示地球和月球半径，以V、v表示地球和月球的第一宇宙速度，设卫星质量为m0，卫星由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律分别有
（①式）；
（②式）；由①②联立可得
故正确选项应填1/4.
答案:
1/4
10、已知地球的质量为M，万有引力恒量为G，地球半径为R，用以上各量表示在地球表面附近运行的人造地球卫星的第一宇宙速度V=
11、已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用各量表示地球的质量M=
。
12、某物体在地球表面上受到的重力为160N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N，卫星此时距地面的高度为2.5×104km（已知地球的半径R=6.4×103km，取g=10m/s2）
12．某物体在地球表面上受到的重力为160N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N，卫星此时距地面的高度19.2×103km（已知地球的半径R=6.4×103km，取g=10m/s2）
13.天文学家根据天文观测宣布了下列研究成果：
银河系中可能存在一个大“黑洞”，接近“黑洞”的所有物质，即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，任何物体都无法离开“黑洞”.距离“黑洞”r=6.0×1012m的星体以v=2×106m/s的速度绕其旋转，则黑洞的质量为
3.6×1035_____.（引力常G=6.67×10-11N·m2/kg2.）
16、宇宙中有一星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半。
若从地球上h处水平抛出一物体，射程是30m，设第一宇宙速度约为8km/s，试求：
（1）则在该星球上，从同样高度以同样的初速度水平抛出同一物体，射程是多少？
（2）至少以多大的速度抛出，物体才不会落回该星球的表面？
（提示：
此时恰能在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动）。
（1）10m
（2）km/s
9.（2005广东高考，15）已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:
同步卫星绕地心做圆周运动,由
得
（1）请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。
为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。
卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。
设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。
假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
1.（2006天津高考理综,25）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
图4-2
（1）可见星A所受暗星B的引力Fa可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）.
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
（G=6.67×10-11N·m2/kg2，ms=2.0×1030kg）
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