《信号检测与估计》第九章习题解答.docx
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《信号检测与估计》第九章习题解答
《信号检测与估计》第九章习题解答
9.1接收信号（（（tntAtx++=θω0sin,其中（tn是高斯白噪声,θ在（π20,均匀分布,现在需求振幅A的最大似然估计量。
由于θ的先验知识已知,故可先对θ求平均得到（Axf,试问要求振幅A的最大似然估计量必须解什么样的方程?
解:
接收信号（tx的似然函数为
（（（[]（（（（（（（（⎟
⎠
⎞
⎜⎝
⎛+++−−
+++−−
+−−∫∫
∫∫∫===TT
TT
T
dttAdtttxAdttxNdt
tAttAxtx
Ndt
tAtxNFe
Fe
Fe
Axf00
0220
02
0002202
02
00sinsin21sinsin21sin1,θωθωθωθωθωθ
由于（（（∫=+−=∫+T
T
Tdttdtt000
022
2cos121sinθωθω,得到（（（（0
20000
20
2sin21,NT
AdtttxNAdt
txNee
Fe
AxfTT
−+−
∫
∫=θωθ
对θ积分,得到
（（（（（（（（（θ
π
θ
πθ
θθπ
θωθωπ
θωπ
de
e
Fe
deeFe
dfAxfAxfdttttxNANTAdttxNdtttxNANTAdttxNT
T
T
T
∫
∫∫∫
∫∫∫+−
−
+−
−===
20
coscossinsin22120sin221
200
0000
20
20
00020
202121,
令（ϕωcoscos00zdtttxxT
c==∫,（ϕωsinsin00zdtttxxT
s==∫,得到
222sc
xxz+=,c
s
xxarctg=ϕ（（（（（⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛==
==
∫
∫
∫
∫∫
−+++0020
cos220
coscossinsin220cossin220
coscossinsin22212121210
000NAzIde
de
dede
NAz
zzNA
xxNA
dttttxNAcsT
θπ
θπ
θ
πθπ
π
ϕθπ
θϕθϕπ
θθπ
θωθω上式中,
[]（cosexp210
20
xIdx=∫π
θθπ
为零阶修正贝塞尔函数。
得到
（（（（（⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛==−
−+−
−
∫∫
∫∫
002120
coscossinsin2212210
20
2
0000
2020
NAzIe
Fe
de
e
Fe
AxfNT
AdttxNdttttxNANTAdttxNT
T
T
θ
π
π
θωθω（0>z
（（⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−∫−=00020202ln21lnlnNAzINT
AdttxNFAxfT振幅A的最大似然估计量必须满足下列方程
（（02lnlnˆ0
00ˆ=−∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂=∂∂==A
AA
ANAT
ANAzIA
Axf
9.2接收信号（（[]（tntAtx+−+=τω0cos1,其中（tn是功率谱密度为2
N的高斯白噪声。
求信号时延τ的Bayes估值。
0ω、A皆为已知常量。
解:
略
9.3接收信号（（（tntstx+−=τ,其中τ是信号（ts到达的时延,（tn是功率谱密度为2
N的高斯白噪声,（ts的表达式为
（（（（⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+≤<+≤
<−−≤≤+−+=000000
00
122cos122212cos1ωπωπωωπωπωπωπωmtmtAmtmAmtmtAts（试证明时延τ的无偏估计量的方差为（2
02ˆ/243ωστNEm
+≥
。
其中E为信号能量。
解:
略
9.4接收信号（（（tntstx+=,（ts的到达有时延τ,求时延τ的无偏估计量τˆ的最小方差。
其中（tn是功率谱密度为
2
N的高斯白噪声,（ts如图题9.4所示。
解:
由（ts信号图可知,梯形信号由宽度为Δ的上升沿、下降沿和宽度为L的平顶三部分组成,表
达式为
（⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧+>+≤≤⎟
⎠⎞⎜⎝⎛−−−≤≤−−
≤≤⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=Δ
ΔΔΔΔΔΔ2
022222222LtLtLLtALtLALtLLtAts（tx的似然函数为
图题9.4
（（（[]
∫−−−−
=2
/2/2
1TTdt
tstxNFe
xfττ
上式中,
Δ+=2
2L
T（（（[]∫−−−
=−2/2/2
1lnlnTTdttstxNFxfττ（（（[]（∫∂−∂−−=
∂∂−2
/2/0
2lnTTdttststxNxfττττ
τ根据克拉美—罗不等式,时延τ的无偏估计量τˆ的最小方差为
[]（（[]（⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−=
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂≥
−22/2/0221
ln1
ˆTTdttststxNExfEVarττταττ（
由于（（（tntstx=−−τ,代入上式得
（（[]（（（（（（（（（（[]（（（（（dttsNdudt
usutNtsNdudtusuntnEtsNduusundttstnENdttstnNEdttststxNETTTTTTTTTTTTTTTTTT∫
∫∫
∫∫−−−−−−−−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂−∂=∂−∂−∂−∂=∂−∂∂−∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∫∂−∂∫∂−∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−2
/2
/2
2/2/2/2/0
20
2/2/2/2/202/2/2/2/202
2
/2/0
2
2
/2/0
2244422ττττδτττττττττττττττ不是一般性,令0=τ得到
（（[]（（Δ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ−−Δ−∂∂
+⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛Δ++Δ∂∂=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∫∂−∂−−∫
∫
∫
∫Δ
+−−Δ−−−−02
2/2
/2
02
/2/2
02
/2/2
2
/2
/2
02
2
/2/0
4222222
2NALtAtNtANdtLtAtNdtttsNdtttststxNELLLLLLTTTTττ
得到τˆ的最小方差为
[]2024ln1
ˆA
NxfEVarΔ
αττ=
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂≥
（
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