学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学试题文.docx
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学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学试题文
江西省赣州市2020-2021学年高二上学期期末考试（文）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．）
1．命题“对任意的，都有”的否定是（）
A．对任意的，都有B．对任意的，都有
C．存在，使得D．存在，使得
2．抛物线的准线方程为（）
A．B．C．D．
3．某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：
1到100，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（）
A．83B．343C．253D．763
4．若是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．小明研究变量x与y的线性相关性，用线性回归方法求出了直线，小亮研究变量ν与w的线性相关性，用线性回归方法求出了直线，两个人发现平均值，则下列说法一定不正确的是（）
A．与重合B．与平行C．与相交D．与垂直
6．命题若，则，命题存在，使，则下列结论正确的是（）
A．为真命题B．为假命题C．p为假命题D．q为真命题
7．已知抛物线的焦点到双曲线的一条近线的距离为，则该双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
8．已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
9．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体外接球的体积为（）
A．B．C．D．
10．大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，是世界上最可爱的动物之一．有人这样来设计大熊猫的卡通头像：
在以为直径的圆中，有一等腰直角三角形，分别以线段为直径作圆形成了卡通头像的耳朵，在整个图形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的两个焦点分别为过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，求双曲线的离心率（）
A．B．C．D．
12．已知函数，且，则实数t的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填写在答题卷上．）
13．已知空间直角坐标系中，点，且，则________．
14．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
15．已知曲的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为_________．
16．正方体棱长为点1，点E在边上，且满足，动点P在正方体表面上运动，满足，则动点P的轨迹的周长为__________．
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
2020年新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献，某医院首批援鄂人员中有2名医生，1名护士和2名志愿者，采用抽签的方式，若从这五名援鄂人员中随机选取两人参与金银潭医院的救治工作．
（1）求选中1名医生和1名护士的概率；
（2）求至少选中1名医生的概率．
18．（本题满分12分）
已知方程表示双曲线，方程表示点在x轴上的椭圆．
（1）若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p且q”是假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
19．（本题满分12分）
万众瞩目的第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．作出样本分数的茎叶图，并按照的分组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢失，可见部分如图所示．据此解答如下问题：
（1）求出样本容量n，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整；
（2）在抽取的学生中，规定：
比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良好”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否良好与性别有关”？
非良好
良好
总计
男生
20
女生
25
总计
参考公式及数据：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在线段上，其中E是中点，连接．
（1）当时，证明平面；
（2）当为何值时，．
21．（本题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若，求实数k的取值范围．
22．（本题满分12分）
以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦所在的直线与椭圆C交于两点．
（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；
（2）当时，证明；弦的长为定值．
——★参*考*答*案★——
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
B
C
A
C
D
A
D
B
A
12．解：
令，则，
在R上单调递增，且为奇函数，，
即，
，所以．
二、填空题
13．1；14．22；15．；16．．
三、解答题
17．解：
（1）将2名医生分别记为；1名护士记为B；
2名管理人员记为1分
从这五名援鄂人员种随机选取2人在金银潭医院参与救治的所有的基本事件共10种，
分别为：
（，
4分
设“选中1名医生和1名护士”为事件A，事件A包含的基本事件共2种，
分别为，7分
（2）设“至少选中1名医生”为事件B，事件B包含的基本事件共7种，分别为：
9分
10分
18．解：
（1）若p是真命题，则1分
解得2分
而q是真命题，所以3分
解得4分
因为“p且q”为真命题，所以6分
（2）当p真q假时：
有，即8分
若p假q真的：
，解得10分
所以或12分
19．解：
（1）由茎叶图知，分数在的人数有6人，的人数有4人，又由频率分布直方图得，分数在的频率为1分
故样本容量2分
因此，分数在的频率为，3分
分数在的频率为，
4分
补全频率分布直方图如图6分
（2）比赛成绩不低于70分的频率为8分
∴良好的学生人数为人．故根据已知条件完成列联表：
9分
非良好
良好
合计
男生
5
20
25
女生
13
12
25
合计
18
32
50
11分
故有的把握认为比赛成绩是否良好与性别有关12分
20．解：
（1）取中点N，连接1分
因为是的中位线，故，
又故四边形为平行四边形2分
所以．
又平面平面，所以平面4分
另解：
在线段上取一点F，使得F是中点，连接1分
是的中位线所以．
在矩形中2分
又．所以平面平面．
又平面，所以平面4分
（2）因为，所以6分
8分
又底面为矩形，所以9分
故10分
由题可知，，因此，12分
另解：
因为，且平面，所以6分
8分
10分
又，代入，可得12分
21．解：
（1）1分
令，得2分
当时，恒成立，且仅在时取等号，
故在R上单调递减3分
当时，在区间和上，在区间上，
所以的单调递减区间为，
的单调递增区间为5分
当时，在区间上，在区间上．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为6分
（2）当时，由题意可知，在上恒成立，
即在上恒成立8分
设，则9分
令得；令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减10分
11分
∴实数k的取值范围是12分
22．解：
（1）由题意解得1分
2分
所以椭圆的标准方程为3分
椭圆C的“准圆”方程为4分
（2）证明：
①当弦轴时，交点关于x轴对称，
又，则，
可设得5分
此时原点O到弦的距离，则，
因此6分
②当弦不垂直于x轴时，设直线的方程为，
且与椭圆C的交点，
联列方程组，
代入消元得：
，
由8分
可得，
由得，
即，所以10分
此时成立，
则原点O到弦的距离，
则11分
综上得，原点O到弦的距离为，则，
因此弦的长为定值12分
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