最新北师大版初一上数学讲义第四章基本平面图形docx.docx
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第四章：
基本平面图形
◆4.1线段、射线、直线
1．线段、射线、直线的概念
（1）线段
概念：
铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．
线段的特征：
①线段是直的；②线段有2个端点；③线段的长度是有限的，可度量．
线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．
（2）射线
概念：
射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，
就是一条射线．
射线的特征：
①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，
不可测量．
射线可以反向延长；射线没有粗细之分．
（3）直线
概念：
直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．
直线的特征：
①直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长．
【例1】下列说法正确的有（）．
①画一条射线等于5cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.线段、射线、直线的表示方法
（1）线段的表示方法
①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．
②用一个小写字母来表示．如线段AB也可记作“线段a”．
（2）射线的表示方法
用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”（端点必须在前面）．
射线的识别：
判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线．
①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线．
②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线．
③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是
同一条射线．
【例2－1】射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是（）．
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（3）直的表示方法
直有两种表示方法：
①可以用表示条直上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直上任意
两个点的字母没有序性．如甲中的直可作“直AB”或“直BA”；②可用一个小写字母来表示，
如乙中的直可作“直l”．
甲
乙
辨区段、射、直的系
①表示段、射、直，都要在字母前面注明“段、射或直”；②用两个大写字母表示段
和直，两个字母没有序性，可以交位置，如“段BA”和“段AB”表示同一条段，“直AB”和
“直BA”表示同一条直；③表示射的两个大写字母有一定的序，表示端点的字母必写在前面．
【例2－2】如所示，下列法（）．
A．都B．都正确C．只有一个正确D．有两个正确
3．直的性
（1）两点有且只有一条直．
①它包含两含：
一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条⋯⋯；
②它可地成“两点确定一条直”．
（2）直的其他性：
①一点的直有无数条；②不同的两条直最多有一个交点．
【例3】工人傅要将一条板固定在机器上，至少要用__________个螺．
4．射、段的数方法
射和段可以看做直的一部分，因此在一条直上，取一些点，会出射和段．
（1）点数与射的条数
射向一方无限延伸，因此射的条数是由端点的个数决定的．在直上，以一个点端点的射有
2条，若直上有n个点，共有2n条射．
（2）点数与段的条数
段有两个端点，直上每两个点之的部分就是一条段．因此，数段，只要判断些点共有
多少种合即可．
析律数段条数的方法
确定段的条数，可以先固定第一个点一个端点，再以其余的点另一个端点成段，然后固
定第二个点一个端点，与其余的点（第一个点除外）成段⋯⋯，依此推，直到找出最后的段止．
【例4】画出段AB：
（1）如
（1），在段AB上画出1个点，中共有几条段？
（2）如
（2），在段AB上画出2个点，中共有几条段？
（3）如（3），在段AB上画出3个点，中共有几条段？
（4）如（4），在段AB上画出n个点，猜一猜：
中共有几条段？
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5．直性的用
生活中的很多要用到直的性，如木工傅在木料之前，先在木板上画出两个点，然后
两个点条墨，就是利用了直的“两点确定一条直”的性，沿着条能成直的，而不会歪斜．
【例5】建房屋，建筑工人都要在的两端固定子，利用所学的知，明其中道理．
6.与直有关的律探究
（1）两点确定一条直，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直．当任意三点均不在同一直上，点数与直条数的关系下表：
点的个数
最多直条数
2
1
3
3
4
6
⋯
⋯
n（n>1）
n（n－1）
2
1
（2）平面上若有n（n>1）条直两两相交，交点个数最多有
2n（n－1）个．
【例6】平面上有五个点，其中任意两点画一条直，最多能得到多少条直？
画出另外三种不同情况的形．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆4.2比较线段的长短
1．段的性
（1）两点之的距离：
两点之段的度，叫做两点之的距离。
（2）段的性
两点之的所有中，段最短。
述：
两点之，段最短。
◇延伸拓展
①距离是指两点之段的度，是一个
非数，而不是段本身。
比如
M,N
两点之的距离不能
成是段
MN
，而成段
MN
的度。
②接两点的有无数条，段的度最短。
是指以两个点端点的任意，包括段，折和曲
。
接
AB是指画段AB。
【例1-1
】已知段AB5cm，在段AB上截取BC
2cm，AC
【例1-2
】如是A,B两地之的公路，在公路工程改造，使
A,B两地行程最短，在中画出改造
后的公路，并明你的理由。
AB
2.段的画法精品文档
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（1）尺作法
用直尺和作一条段等于已知段a。
a
A
B
M
如，其作法是：
①画射
AM；②在射AM上用截取段
AB
a，段AB就是所求
作的段。
上面作法中的“截取”是指以点
A心，以a的度半径画弧，角射
AM于点B；尺作
要保留作痕迹，最后要指出所求作的形；注意画段，不要向任何一方延伸。
（2）度量法
用刻度尺画一条段等于已知段
a。
画法是：
先用刻度尺量出已知段
a的度，再画一条段，
使其度等于段a的度。
◇延伸拓展
段和差的画法
已知两条段a,b（ab）。
两条段和的画法是：
①先画段
AB
a；②在段AB的延上截
取BCb，段AC就是段a,b的和，即AC
a
b，如1.
两条段差的画法：
①先画段
AB
a；②再在段
AB上截取AC
b，段BC就是段a,b的
差，即BC
ab，如2.
a
a
a
b
b
b
A
B
C
A
CB
图1
图2
【例2】已知段a,b（2ab），用直尺和作一条段，使条段等于
2ab。
a
b
3.段的中点
段的中点：
把段分成相等的两条段的点叫做段的中点。
A
M
B
如，M段AB的中点，AMBM
1AB或AB2AM2BM。
2
◇延伸拓展
似的，有段的三等分点、四等分点等。
三等分点，把段分成相等的三条段叫做段的三等分点；
四等分点，把段分成相等的四条段叫做段的四等分点；
⋯⋯⋯
n四等分点，把段分成相等的n四条段叫做段的n四等分点；
【例3】若P是段CD的中点，（）
A.CPCDB.CPDPC.CDPDD.CPPD
4.段短的比
借助不同的方法比两条段的短。
【例4-1
】如，若AB
CD，AC与BD的大小关系是（
）
A
B
C
D
【例4-2
】已知三角形
ABC，比AC
BC与AB的大小关系。
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C
AB
5.段的有关算
段的有关算是以后学几何知的前提。
【例5-1】如所示，已知AB:
BC:
CD3:
2:
4，E,F分是AB,CD的中点，且EF22cm，求
AB,BC,CD的。
A
E
B
C
F
D
【例5-2】如，已知点C在段AB上，段AC
6cm,BC4cm，点M,N分是AC,BC的中点。
（1）求段MN的度；
ABa，其他条件不，你能猜出
MN的度？
表述你
（2）根据第
（1）的算程和果，
的律。
A
M
C
N
B
6.段性的用
段的性在生活和生中用非常广泛，可以根据“两点之，段最短”确定位置。
【例6-1】某地区有A,B,C,D四个村庄如所示，了解决当地的缺水，政府准投修建一个蓄
水池，不考其他因素，你帮忙画出蓄水池O的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。
AD
BC
【例
6-2】如所示，有一个正方体盒ABCD
A'B'C'D'，在点C'有一只小虫，它要爬到
A点
吃食物，沿着怎的路，才能使行程最短？
你能出条路？
B
A
CD
B'
A'
C'
D'
7.易辨析
【例7-1】若AC
1
AB，点C是段AB的中点，种法正确？
什么？
2
【例7-2】已知段
的度。
AB
8cm，点C在直
AB上，且BC
3cm，点
M
段
AC的中点，求段
MC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆4.3角
1．角的定
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（1）静态定义：
由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：
顶点：
两条射线的公共端点．
边：
组成角的两条射线．
（2）动态定义：
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
（1）角有两个特征：
①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
（2）角的大小与角的两边的长短无关：
由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大
小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．
【例1】下列说法错误的有（）．
①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
（1）三个大写英文字母表示法：
用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图
（1）中的角，可
记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
（2）顶点字母表示法：
当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图
（1）中的∠AOB也可记为∠O.
（3）阿拉伯数字表示法：
在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图
（2）中的
∠AOB可记为∠1.
（4）希腊字母表示法：
在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母（α，β，γ等），就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图
（2）中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．
②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图
（2）中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
（1）平角：
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，、如图1.
（2）周角：
如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等
于360°.
（3）平角与周角的关系：
一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例3】下列说法是否正确，为什么？
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①平角是一条直；②表上的分1小形成一个周角．
4．度、分、秒的算
（1）角的位及意
角的位是度、分、秒．
意：
①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，作1°；
②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，作1′；
③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，作1″.
（2）度、分、秒的率及算方法
度、分、秒的率是
60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3600″.
60
60
秒
度垐垎
分垐垎
噲垐
噲垐
60
60
（3）度、分、秒有关的算
60才向高位
1，而借1表示低位的
度、分、秒的率是六十制，不同于十制．在运算中
60.
在行度、分、秒的加减法或乘除法的运算，要按行，即分按度、分、秒算，不减、不
除的要借位．从高位借的，位要化低位的位后才能行运算．
在相乘或相加，当低位大于或等于
60，要向高位位
．
【例4－1】
（1）用度、分、秒表示48.13°__________；
（2）用度表示23°9′36″
．
【例4－2】算：
（1）13°29＋′78°37；″
（2）61°39－22′°5′；32″（3）23°53′×3；（4）1074°3′÷5.
5.角的数方法
数角的个数与数段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始数法：
先以某条始（固定一），按方向或逆方向找到与之构成的所有的角，
然后再以另一条射，重复上面的程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的个数．
②分数法：
先数清基本的角，再数由两个基本角成的角，由三个基本角成的角⋯⋯【例5】如，中共有多少个角？
用字母分表示出来．
6．角的用
角在生活和生中随可．本的有关角的用主要是表中的角．
面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，每小30°，分每分6°.
与分的角的求法：
先确定与分之有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．
特注意：
①从开始数，所形成的角有需要按数，如3：
40；有需要按逆数，如2：
50.②从开始，按形成的角，两个度数相减；按逆形成的角度数相加．
③每分30°÷60＝0.5°.
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【例6】如是部分目的播出，分确定出表上与分所成的最小的角的度数．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆4.4角的比较
1．角的大小比
（1）度量法：
先用量角器量出各角的度数，再按照角的度数比大小，从而确定两个角的大小关系．
（2）叠合法：
两个角比大小，把两个角的点和一条分重合，另一条放在重合的同，根据另一条的位置确定角的大小．
如比∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的点E和∠ABC的点B重合，
一ED和BA重合，另一EF和BC落在BA的同一．
①如果EF和BC重合（如1），那么∠DEF等于∠ABC，作∠DEF＝∠ABC；
②如果EF落在∠ABC的外部（如2），那么∠DEF大于∠ABC，作∠DEF＞∠ABC；
③如果EF落在∠ABC的内部（如3），那么∠DEF小于∠ABC，作∠DEF＜∠ABC.
【例1】如，求解下列：
（1）比∠COD和∠COE的大小；
（2）借助三角尺，比∠EOD和∠COD的大小；
（3）用量角器度量，比∠BOC和∠COD的大小．
2．角的平分
（1）定：
从一个角的点引出的一条射，把个角分成两个相等的角，条射叫做个
角的平分．
①角平分是以角的点端点的特殊射，它在角的内部；②角平分把角分成两个相等的角．
（2）角平分的表示：
①OC是∠AOB的平分；②∠AOC＝∠COB＝1∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.2
（3）作角平分的方法：
①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射；②折叠：
把已知角的两重合后再折叠，可得已知角的平分．
【例2】如，已知∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，OD平分∠BOC，求∠AOD.
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3．角平分线及角的和、差计算
（1）角的和、差的意义
如图，①和：
∠AOB＝∠1＋∠2；
②差：
∠1＝∠AOB－∠2，∠2＝∠AOB－∠1.
（2）角平分线及角的和、差计算
与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．
解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或
把未知量转化为已知量．
求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，
（3）三角板中角的和与差
一副三角板有两块，一块含30°角，60°角，90°角；一块含45°角，45°角，90°角．
借助于三角板，即可以画出上面的角．
利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：
15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°.
【例3－1】已知∠AOB＝30°，∠BOC＝20°，则∠AOC的角度是__________．
【例3－2】如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝1∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC2
的度数．
4．角的分类
（1）角的分类：
根据角的度数，常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类．
（2）各种角的规定：
锐角：
大于0°且小于90°的角．
直角：
等于90°的角．
钝角：
大于90°且小于180°的角．
平角：
等于180°的角．
周角：
等于360°的角．
（3）角之间的关系：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．
1平角＝2直角＝180°；
1周角＝2平角＝4直角＝360°.
若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．
【例4】如图，解答下列问题：
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（1）比中∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小；
（2）找出中的直角、角和角．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆4.5多边形和圆的初步认识
1．多形和多形的角
多形的定：
由若干条不在同一直上的段首位次相成的封平面形叫做多形。
多形的重要特征：
①多形是封形；②多形是平面形。
如，三角形、四形、五形、六形等都足多形的定，是多形。
三角形四边形五边形六边形
多形的角：
接多形不相两个点的段叫做多形的角。
如AD,BD,CE都是多形ABCDE的角。
EAB,ABC,BCD,CDE,DEA是多形的
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