小升初数学专题复习训练空间与图形周长面积与体积3知识点总结 同步测试通用版.docx

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小升初数学专题复习训练空间与图形周长面积与体积3知识点总结同步测试通用版

2020年小升初数学专题复习训练—空间与图形

周长、面积与体积（3）

知识点复习

一．组合图形的体积

【知识点归纳】

可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积．

【命题方向】

例：

求如图沿AB旋转一周后形成物体所占空间的大小．（单位：

厘米）

分析：

沿AB旋转一周后形成物体，上部是一个底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为2厘米，高为6厘米的圆柱体，由此利用圆柱与圆锥的体积公式即可解答．

解：

×3.14×22×3+3.14×22×6，

=12.56+75.36，

=87.92（立方厘米）；

答：

旋转后的立体图形的体积是87.92立方厘米．

点评：

所占空间的大小，就是旋转后的立体图形的体积大小，根据圆柱与圆锥的展开图特点得出这个立体图形是圆柱与圆锥的组合图形是解决本题的关键．

二．球的球面面积和体积

【知识点归纳】

1．球体：

空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球．

2．球体的体积=

πR3

球面的面积=4πR2．

【命题方向】

例：

（北京市第一实验小学学业考）一个铁球的半径为6厘米，重7千克，如果每立方米铁重7800千克，

（1）这个铁球的体积是多少立方厘米？

（2）这个铁球是空心球还是实心球？

为什么？

分析：

（1）根据体积计算公式V=

×πr3计算即可；

（2）根据体积和密度，求出这块铁球的质量，与7千克比较即可．

解：

（1）

×3.14×63，

=

×3.14×216，

=904.32（立方厘米）；

答：

这个铁球的体积是904.32立方厘米．

（2）这个铁球的质量应为：

7800×0.00090432≈7（千克），与实际质量正好相等，所以这个铁球是实心球．

点评：

此题重点考查了球形体积计算公式的应用，同时考查了分析判断能力．

三．立体图形的容积

【知识点归纳】

所有立体图形的体积公式都是底面积乘高．

长方体=长×宽×高

正方体=棱长×棱长×棱长

圆柱=底面积×高，底面积=圆周率×半径的平方

圆锥=底面积×高÷3．

【命题方向】

例1：

自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费7.536升水．

分析：

把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V=sh=πr2h计算即可．

解：

3.14×（2÷2）2×（8×5×60），

=3.14×1×2400，

=7536（cm3），

=7.536（升）；

答：

五分钟浪费7.536升的水．

故答案为：

7.536．

点评：

把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．

例2：

有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料2.4升．

分析：

正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．

解：

饮料和空气的体积比是：

20：

5=4：

1

饮料有：

3×

=3×0.8=2.4（升）

答：

瓶内现有饮料2.4升．

故答案为：

2.4．

点评：

此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．

四．扇形的面积

【知识点归纳】

R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率

扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n

S=

．

【命题方向】

例1：

已知扇形的圆心角为60°，弧长为6πm，则扇形的半径为18m，扇形面积为54πm2．

【分析】扇形圆心角为扇形所在圆的圆心角

，其弧长为所在圆周长的

，用扇形弧长除以

就是扇形所在圆的周长．根据圆周长计算公式“C=2πr”即可求出圆（即扇形）的半径．根据圆面积计算公式“S=πr2”求出圆的面积，用圆面积再乘

就是扇形面积．

【解答】解：

6π÷

÷π÷2

=6π÷

÷π÷2

=18（m）

π×182×

=54π（m2）

答：

扇形的半径为18，扇形面积为54πm2．

故答案为：

18m，54πm2．

【点评】圆心角为n°（n为大于0而小于360的自然数）的扇形面积为扇形所在圆面积的

，扇形弧长等于所在圆周长的

．注意，已知条件用含有π的式子表示，计算结果也可用含有π的式子表示．

五．长度、周长的估算

【知识点归纳】

1．周长是围成这个图形的所有边长的总和． 

2．长度和周长的估算需要有数量级大小的概念和一定的常识．

【命题方向】

例：

估一估下面两个图形的周长与面积．（横竖相临两点间的距离是1cm）

①平行四边形的周长约是18cm，面积约是16cm2；

②梯形的周长约是19cm，面积约是20cm2．

分析：

①平行四边形的相邻的两条边的长度约为4厘米、5厘米，高为4厘米；再根据周长和面积公式计算即可．

②梯形的上底为2厘米、下底为6厘米、两腰约为5厘米、6厘米，高为5厘米，再根据周长和面积公式计算即可．

解：

①周长约为：

（4+5）×2=18（厘米），

面积约为：

4×4=16（平方厘米）；

②周长约为：

2+6+5+6=19（厘米），

面积约为：

（2+6）×5÷2=20（平方厘米）．

故答案为：

①18，16；②19，20．

点评：

此题主要考查先估算边的长度，再根据周长和面积公式计算．

六．面积及面积的大小比较

【知识点归纳】

1．将不同的单位化作同一单位，一般是化作标准单位．

2．比较数值的大小．

【命题方向】

例：

如图，阴影部分面积相等答案完全正确的是（　　）

A、①②B、①②④C、①②③D、①②③④

分析：

在平行四边形①②中和长方形③中，阴影部分面积都是平行四边形或者长方形面积的一半，梯形的上底加下底也是4厘米，也等于平行四边形面积的一半，由此即可判断它们面积的大小．

解：

前三图中，阴影部分均为平行四边形（长方形）面积的一半，而三个平行四边形（长方形）的面积相等；

梯形的上底加下底也是4厘米，也等于平行四边形面积的一半；

由此可得：

阴影部分的面积都相等．

故选：

D．

点评：

此题主要考查等底等高的三角形面积相等及平行四边形的特点．据图即可以作出判断．

七．弧长

【知识点归纳】

在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长．

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180．

【命题方向】

例1：

圆心角为45°，半径为8厘米的扇形，它的周长是22.28厘米．

【分析】因为圆心角为45°，所以此扇形是圆的

，由此根据圆的周长公式求出圆的周长再乘

为扇形的弧长；用弧长加上2个半径求出周长．

【解答】解：

3.14×2×8×

=3.14×2×8×

=6.28（厘米）

6.28+2×8

=6.28+16

=22.28（厘米）

答：

它的周长是22.28厘米．

故答案为：

22.28．

【点评】本题主要是灵活利用圆的周长公式C=2πr解决问题．

同步测试

一．选择题（共6小题）

1．在一个周长是36πcm的圆中，弧长为9πcm的弧所对的圆心角是（　　）

A．60°B．90°C．120°D．150°

2．我估计黑板的周长是（　　）

A．2千米B．10米C．80毫米D．4米

3．圆心角是90°的扇形面积是它所在圆面积的（　　）

A．

B．

C．

4．甲容器可盛水8升．乙容器可盛水8100毫升．甲容器的容量比乙容器的容量（　　）

A．大B．小C．无法比较

5．O点是平行四边形的中心点．经过O点画一条线段，分别把两个面积相等的平行四边形分成了两部分．比较两幅图中阴影部分的面积，（　　）

A．甲＞乙B．甲＝乙

C．无法比较它们的大小

6．一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24cm2，原来这个物体的体积是（　　）

A．200.96cm3B．226.08cm3C．301.44cm3D．401.92cm3

二．填空题（共8小题）

7．一个半球的全面积为9π，则球的半径为　　．

8．1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是　　毫米．电话卡、银行卡的厚度大约是　　毫米．

9．一扇形的半径为2m，弧长为2π，则扇形的圆心角为　　．

10．自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费　　升水．

11．把一根18分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，　　面积最大，　　面积最小．

12．有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料　　升．

13．

圆的弧长所对的圆心角是　　度，如果该弧长6.28厘米，该扇形的面积是　　平方厘米．（π按3.14计算）

14．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有　　升．

三．判断题（共5小题）

15．如图，在梯形中，阴影部分甲和乙的面积相等．　　（判断对错）

16．一个图形的周长就是围成这个图形的边线的长度．　　．（判断对错）

17．两个扇形，圆心角大的扇形面积不一定大．　　（判断对错）

18．一台冰箱的容积是196升，它的体积就是196dm3．　　．（判断对错）

19．从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径．　　．（判断对错）

四．计算题（共2小题）

20．如图，求阴影部分的面积．

21．计算如图图形的体积．

五．操作题（共3小题）

22．如图哪两个图形的面积相等？

请你涂上相同的颜色．

23．请画出两个半径为1厘米的圆，在两个圆内分别画出圆心角为90°和120°的两个扇形，并涂色．

24．用一张边长20厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗及接缝），要使它的容积大于550cm3．

请你画出剪裁草图、标明主要数据，并回答下面问题：

（1）你设计的纸盒长是　　厘米，宽是　　厘米，高是　　厘米．

（2）在下面计算出纸盒的容积是多少立方厘米？

六．应用题（共4小题）

25．由于生产的需要，打算将一个半径为5cm的钢球重新铸造成一批半径为1cm的小钢球，求这些小钢球的个数．

26．把一个半径6厘米的圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为120°的扇形．你能算出涂色部分的面积吗？

27．如图所示，左图是一个密闭的玻璃容器，里面装有5厘米深的水．

（1）根据图上标注的信息计算该容器内水的体积：

（2）若把该容器顺时针旋转90°，成为右图所示情形，求这时容器内水的深度．（单位：

厘米．玻璃厚度不计．）

28．把一张圆纸片三次对折，并量得曲线的长（如图）．那么，圆纸片的直径是多少厘米？

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．【分析】在同一个圆里，弧长和圆心角成正比例，所以，设弧长为9πcm的弧所对的圆心角是x度，则有：

36π：

360＝9π：

x，解比例即可．

【解答】解：

设弧长为9πcm的弧所对的圆心角是x度，则有：

36π：

360＝9π：

x

36πx＝360×9π

x＝360×9π÷36π

x＝90

答：

弧长为9πcm的弧所对的圆心角是90度．

故选：

B．

【点评】本题主要考查弧长问题，关键根据同圆或等圆中弧长和圆心角成正比例的关系做题．

2．【分析】根据生活经验、对长度单位和数据大小的认识，可知：

黑板的周长大约是10米；据此选择即可．

【解答】解：

由分析可知：

估计黑板的周长大约是10米；

故选：

B．

【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．

3．【分析】根据题意一个扇形和它所在的圆的半径相等，所以圆心角的度数是周角度数的几分之几，那么扇形的面积就是所在圆面积的几分之几；用扇形的圆心角90°除以周角360，即可求出圆心角的度数是周角度数的几分之几，即扇形的面积就是所在圆面积的几分之几．

【解答】解：

90°÷360°＝

所以圆心角是90°的扇形面积是它所在圆面积的

．

故选：

A．

【点评】此题重点考查了扇形面积和它所在的圆的面积之间的关系．

4．【分析】低级单位毫升化高级单位升除以进率1000，8100毫升＝8.1升，8升＜8.1升．

【解答】解：

8100毫升＝8.1升

8升＜8.1升

即甲容器的容量比乙容器的容量小．

故选：

B．

【点评】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据整数或小数或分数的大小比较方法进行比较．化成什么单位要灵活掌握．

5．【分析】由于O点是平行四边形的中心点，经过O点画一条线段，分别把两个面积相等的平行四边形分成了两部分，第一幅图中甲占整个平行四形面积的一半，第二幅图中，乙占整个平行四边形面积的半．因此，比较两幅图中阴影部分的面积相等．

【解答】解：

因为O为平行四边形的中点

所以第一幅图中甲占整个平行四形面积的一半，第二幅图中，乙占整个平行四边形面积的半

因此，比较两幅图中阴影部分的面积相等

即甲＝乙．

故选：

B．

【点评】关键明白，两个图形中阴影部分都是平行四形面积的一半．

6．【分析】根据题意可知：

如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米，表面积增加的两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：

V＝sh，圆锥的体积公式：

V＝

sh，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可．

【解答】解：

50.24÷2＝25.12（平方厘米）

25.12×6

25.12×（12﹣6）

＝150.72+

25.12×6

＝150.72+50.24

＝200.96（立方厘米）

答：

原来这个物体的体积是200.96立方厘米．

故选：

A．

【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

二．填空题（共8小题）

7．【分析】设球的半径为r，则球的面积为4πr2，半球的面积为2πr2再加截面的面积，据此解答即可．

【解答】解：

设球的半径为r，

πr2+2πr2＝9π

3πr2＝9π

r2＝3

r＝

，

答：

球的半径为

．

故答案为：

．

【点评】本题考查半球的表面积的求法，半球的全面积＝半球的侧面积+底面面积．

8．【分析】根据生活经验、对长度单位和数据大小的认识，可知1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是2毫米，电话卡、银行卡的厚度大约是1毫米，据此解答．

【解答】解：

据分析可知：

1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是2毫米．

电话卡、银行卡的厚度大约是1毫米．

故答案为：

2、1．

【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．

9．【分析】根据题意，利用弧长公式L＝nπR÷180进行计算即可．

【解答】解：

扇形的圆心角为2π×180÷π÷2＝180（度）

故答案为：

180°．

【点评】本题主要考查弧长公式的应用．

10．【分析】把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．

【解答】解：

3.14×（2÷2）2×（8×5×60），

＝3.14×1×2400，

＝7536（cm3），

＝7.536（升）；

答：

五分钟浪费7.536升的水．

故答案为：

7.536．

【点评】把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．

11．【分析】18÷3＝6（分米），即周长为6分米的正方形、长方形、圆的面积哪个最大，哪个最小．根据正方形的周长计算公式“C＝4a”，正方形的边长为6÷4＝1.5（分米），根据正方形面积计算公式“S＝a2”即可求出正方形的面积．周长一定时，所画长方形的长、宽不一定，其中长、宽之差越小，面积越大．根据长方形周长计算公式“C＝2（a+b）”，正方形的长、宽之和为6÷2＝3（分米），可画一个长为2分米，宽为1分米的长方形，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出长方形的面积．根据圆周长计算公式“C＝2πr”、圆周长计算公式“C＝2πr”可求出圆的面积．然后通过比较即可确定哪个图形的面积最大，哪个图形的面积最小．

【解答】解：

18÷3＝6（分米）

正方形：

6÷4＝1.5（分米）

1.5×1.5＝2.25（平方分米）

长方形：

6÷2＝3（分米），画长2分米，宽1分米的长方形

2×1＝2（平方分米）

圆：

6÷3.14÷2＝

（分米）

3.14×（

）2

＝3.14×

≈2.87（平方分米）

2.87＞2.25＞2

答：

圆面积最大，长方形面积最小．

故答案为：

圆，长方形．

【点评】在周长相同时，所有的平面图形中，圆的面积最大；在四边形中，正方形面积最大；周长一定时，长方形的长、宽不确定，但长、宽之差越小，面积越大．记住这个结论能快速解答此类题．

12．【分析】正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．

【解答】解：

饮料和空气的体积比是：

20：

5＝4：

1

饮料有：

3×

＝3×0.8＝2.4（升）

答：

瓶内现有饮料2.4升．

故答案为：

2.4．

【点评】此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．

13．【分析】周角是360度，

圆的弧长所对的圆心角是周角的

，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出该圆心角度数；如果该弧长6.28厘米，由此可知：

6.28厘米是该圆周长的

，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出该圆的周长，根据圆的周长公式：

C＝2πr，那么r＝C÷2π，由此可以求出半径，再根据圆的面积公式：

S＝πr2，把数据代入公式求出该圆面积的

就是这个扇形的面积．

【解答】解：

360°×

＝90°；

6.28÷

＝6.28×4

＝25.12（厘米）；

3.14×（25.12÷3.14÷2）2×

＝3.14×42×

＝3.14×16×

＝12.56（平方厘米）；

答：

圆的弧长所对的圆心角是90度，该扇形的面积是12.56平方厘米．

故答案为：

90、12.56．

【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的周长公式、面积公式、扇形面积公式及应用，关键是熟记公式．

14．【分析】先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积．

【解答】解：

容器的容积：

4×3×3＝36（立方分米）；

无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是3×3÷2＝4.5（平方分米），高是3分米．

所以体积是4.5×3＝13.5（立方分米）；

所以容器内有水：

36﹣13.5＝22.5立方分米＝22.5升．

答：

容器内的水有22.5升．

故答案为：

22.5．

【点评】考查了组合图形的体积，本题容器内的水的体积＝容器的容积﹣无水的部分体积，难点是把无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．

三．判断题（共5小题）

15．【分析】如图所示，甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等，同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等．

【解答】解：

因为甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等，

同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等；

题干的说法是正确的．

故答案为：

√．

【点评】解答此题的主要依据是：

等底等高的三角形的面积相等．

16．【分析】周长的意义是：

物体表面或平面图形一周边线的长就是它们的周长．

【解答】解：

根据周长的含义可知：

一个图形的周长就是围成这个图形的边线的长度．

故答案为：

√．

【点评】本题主要考查了学生对周长意义的理解．

17．【分析】根据扇形面积公式：

S＝πr2×

，在同圆或等圆中扇形的圆心角大的扇形面积就大．计算扇形面积需要知道半径的大小和圆心角，只知道圆心角而不知道半径，则无法计算扇形的面积，也无法比较大小．据此判断．

【解答】解：

计算扇形面积需要知道圆心角和半径，

不知道半径的大小，就无法计算面积，也就更不能比较面积大小了；

所以原题说法错误．

故答案为：

×．

【点评】此题主要考查扇形面积的计算方法，注意扇形的面积的大小是由圆心角的度数和半径的大小决定的．

18．【分析】根据体积与容积的意义以及区别直接判断即可．

【解答】解：

电冰箱的容积是电冰箱所能容纳物体的体积，

电冰箱的体积是电冰箱所占空间的大小，电冰箱的体积要大于它的容积；

故答案为：

×．

【点评】此题考查体积与容积的意义及区别．

19．【分析】根据球半径的定义：

在球中，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，即可判断．

【解答】解：

球的半径就是从球心到球面上任意一点的线段．

故答案为：

√．

【点评】此题考查了学生对“球的半径”这一定义的掌握与理解．

四．计算题（共2小题）

20．【分析】根据扇形面积公式S＝

代入数据解答即可．

【解答】解：

×3.14×22

＝1.5×3.14

＝4.71（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是4.71平方厘米．

【点评】本题考查了扇形面积公式S＝

的灵活应用．

21．【分析】根据圆锥的体积公式：

V＝

πr2h，圆柱的体积公式：

V＝πr2h，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可．

【解答】解：

3.14×（8÷2）2×6+3.14×（8÷2）2×15

＝

3.14×16×6+3.14×16×15

＝100.48+753.6

＝854.08（立方厘米），

答：

它的体积是854.08立方厘米．

【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

五．操作题（共3小题）

22．【分析】分别数出各图形所占格的多少，然后进行比较，即可得出结论．

【解答】解：

如图所示：

【点评】数出两个图形中小方格的个数，是解答此题的关键．

23．【分析】根据“圆心定位置，半径定大小”，在平面上确定一点为圆心，以半径为1厘米即可画出此圆．先在圆内画一条半径，再以这条半径为一边，以圆心为顶点画一个90°的角，角的另一边为圆的另一条半径，这两条半径与所夹的弧就是圆心角为90的扇形，并涂色．用同样的方法即可再画一个圆及圆心角为120°的扇形并涂色．

【解答】解：

【点评】此题是考查圆的意义及画法，扇形的意义及画法．

24．【分析】根据题意，在原正方形的四个角上剪掉4个小正方形，小正方形的边长即是长方体的高，长宽都是20减小正方形边长的2倍，然后根据V＝abh计算出体积．

【解答】解：

如果剪掉边长1厘米的小正方形，V＝（20﹣1×2）×（20﹣1×2）×1＝324（cm3），

剪掉边长2厘米的小正方形，V＝（20﹣2×2）×（20﹣2×2）×2＝512（cm3），

剪掉边长3厘米的小正方形，V＝（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3＝588（cm3），

剪掉边长4厘米的小正方形，V＝（20﹣4×2）×（20﹣4×2）×4＝576（cm3），

剪掉边长5厘米的小正方形，V＝（20﹣5×2）×（20﹣5×2