高考数学二轮复习专题检测二十一选择题第12题填空题第16题专练理.docx

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高考数学二轮复习专题检测二十一选择题第12题填空题第16题专练理

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一、选择题

1．设a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：

a1，a2，a3，…，an成等比数列；q：

（a＋a＋…＋a）（a＋a＋…＋a）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：

选A　（特殊数列）取大家最熟悉的等比数列an＝2n，代入q命题（不妨取n＝3）满足，再取an＝3n代入q命题（不妨取n＝3）也满足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0时，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．

2．（2017·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　　）

A．－B．

C．D．1

解析：

选C　法一：

由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），得f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a[e2－x－1＋e－（2－x）＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－x）＝f（x），即x＝1为f（x）图象的对称轴．由题意，f（x）有唯一零点，所以f（x）的零点只能为x＝1，即f

（1）＝12－2×1＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝.

法二：

由f（x）＝0⇔a（ex－1＋e－x＋1）＝－x2＋2x.

ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．

－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．

若a>0，则a（ex－1＋e－x＋1）≥2a，

要使f（x）有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.

若a≤0，则f（x）的零点不唯一．

综上所述，a＝.

3．已知函数f（x）在（－1，＋∞）上单调，且函数y＝f（x－2）的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），则数列{an}的前100项的和为（　　）

A．－200B．－100

C．0D．－50

解析：

选B　因为函数y＝f（x－2）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的图象关于直线x＝－1对称．又函数f（x）在（－1，＋∞）上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50（a50＋a51）＝－100.

4．（2017·贵州适应性考试）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，当m取最大值时，|PA|的值为（　　）

A．1B．

C.D．2

解析：

选D　设P（x，y），由抛物线的定义知|PF|＝y＋1，|PA|＝，所以m＝，平方得m2＝，又x2＝4y，当y＝0时，m＝1，当y≠0时，m2＝＝＋1＝1＋，由基本不等式可知y＋≥2，当且仅当y＝1时取等号，此时m取得最大值，故|PA|＝＝2.

5．对任意实数a，b，c，d，定义＝

已知函数f（x）＝，直线l：

kx－y＋3－2k＝0，若直线l与函数f（x）的图象有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

A.∪B.

C.∪D．（－1,1）

解析：

选A　由题意知，

f（x）＝＝

直线l：

y＝k（x－2）＋3过定点A（2，3），画出函数f（x）的图象，如图所示，其中f（x）＝（x≤－2或x≥2）的图象为双曲线的上半部分，f（x）＝（－2

6．（2016·浙江高考）已知实数a，b，c，（　　）

A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100

解析：

选D　对于A，取a＝b＝10，c＝－110，

显然|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＞100，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

对于B，取a2＝10，b＝－10，c＝0，

显然|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＝110，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

对于C，取a＝10，b＝－10，c＝0，

显然|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1成立，

但a2＋b2＋c2＝200，即a2＋b2＋c2＜100不成立．

综上知，A、B、C均不成立，所以选D.

7．（2017·郑州质检）已知函数f（x）＝.若当x>0时，函数f（x）的图象恒在直线y＝kx的下方，则k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　由题意，当x>0时，f（x）＝0.又f′（x）＝，由切线的几何意义知，要使f（x）

8．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且·＝0，记α为与的夹角，则下述判断正确的是（　　）

A．cosα的最小值为

B．cosα的最小值为

C．sin的最小值为

D．sin的最小值为

解析：

选D　依题意得＝（＋）＝[－＋（－）]＝（－2），＝（＋）＝[－＋（－）]＝（－2）．由·＝0，得（－2）·（－2）＝0，即－22－22＋5·＝0，整理得，||2＋||2＝

||·||cosα≥2||·||，所以cosα≥，sin－2α＝cos2α＝2cos2α－1≥2×2－1＝，所以sin－2α的最小值是.

9．（2017·石家庄质检）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（　　）

解析：

选A　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.

设AB＝BD＝CD＝1，

则＝＝，即PQ＝，

又＝＝＝，所以QR＝，

所以PR＝＝

＝，

所以f（x）＝＝，结合图象知选A.

10．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b（a，b∈R），则以下说法正确的是（　　）

A．点P（a，b）一定在单位圆内

B．点P（a，b）一定在单位圆上

C．点P（a，b）一定在单位圆外

D．当且仅当ab＝0时，点P（a，b）在单位圆上

解析：

选B　使用特殊值法求解．设A（1,0），B（0，－1），则＝a＋b＝（a，－b）．∵C在圆上，

∴a2＋b2＝1，∴点P（a，b）在单位圆上，故选B.

二、填空题

1．已知函数f（x）＝当1

解析：

当10，解得0，0,2

答案：

4

2．（2015·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

解析：

（特殊图形）如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，BC＝2，由正弦定理可得＝，即＝，解得BE＝＋，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，＝，即＝，解得BF＝－，所以AB的取值范围是（－，＋）．

答案：

（－，＋）

3．设0

解析：

由题可知，k的最大值即为＋的最小值．因为＋＝[2m＋（1－2m）]＝3＋＋≥3＋2，取等号的条件是当且仅当1－2m＝m，即m＝1－∈时成立，所以k的最大值为3＋2.故所求实数k的取值范围是（－∞，3＋2]．

答案：

（－∞，3＋2]

4．设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.

解析：

∵f＝2，f＝0，

∴－＝（2m＋1），m∈N，

∴T＝，m∈N，

∵f（x）的最小正周期大于2π，∴T＝3π，

∴ω＝＝，∴f（x）＝2sin.

由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.

又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.

答案：

5．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若（c－2a）·（2b－3c）＝0,则|b－c|的最大值是________．

解析：

设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，

∴cosθ＝＝＝，

∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

设＝a，＝b，c＝（x，y），建立如图所示的平面直角坐标系．

则A（1,1），B（3,0），

∴c－2a＝（x－2，y－2），2b－3c＝（6－3x，－3y），

∵（c－2a）·（2b－3c）＝0，

∴（x－2）（6－3x）＋（y－2）（－3y）＝0.

即（x－2）2＋（y－1）2＝1.

又知b－c＝（3－x，－y），

∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，

即|b－c|的最大值为＋1.

答案：

＋1

6．等腰△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的中线，且BD＝3，则△ABC的面积的最大值为________．

解析：

设AD＝x，则AB＝AC＝2x，

因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

所以AB＋AD>BD，即2x＋x>3，x>1，AB－AD

在△ABD中，由余弦定理得

9＝（2x）2＋x2－2·2x·xcosA，即cosA＝，

S△ABC＝2S△ABD＝2××2x×x×sinA

＝2x2＝，

令t＝x2，则t∈（1,9），S△ABC＝，当t＝5，即x＝时，S△ABC有最大值6.

答案：

6

7．对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）＝0}，μ∈{x∈R|g（x）＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）＝ex－2＋x－3与g（x）＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．

解析：

易知函数f（x）为增函数，且f

（2）＝e2－2＋2－3＝0，所以函数f（x）＝ex－2＋x－3只有一个零点x＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f（x）与g（x）互为“零点密切函数”知函数g（x）＝x2－ax－x＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x2－ax－x＋4＝0在[1,3]内有解，所以a＝x＋－1，而函数y＝x＋－1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x＝2时，a取最小值3，且当x＝1时，a＝4，当x＝3时，a＝，所以amax＝4，所以实数a的取值范围是[3,4]．

答案：

[3,4]

8．对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）．对正整数k，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ（Δk－1an）．若数列{Δ2an}的各项均为2，且满足a11＝a2015＝0，则a1的值为________．

解析：

因为数列{Δ2an}的各项均为2，即Δan＋1－Δan＝2，所以Δan＝Δa1＋2n－2，即an＋1－an＝Δa1＋2n－2，

所以an－a1＝（n－1）Δa1＋（0＋2＋4＋…＋2n－4）

＝（n－1）Δa1＋（n－1）（n－2）（n≥2），

所以

即

解得a1＝20140.

答案：

20140

9．已知圆O：

x2＋y2＝1和点A（－2,0），若定点B（b,0）（b≠－2）和常数λ满足：

对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则b＝________；λ＝________.

解析：

法一：

（三角换元）在圆O上任意取一点M（cosθ，sinθ），则由|MB|＝λ|MA|可得（cosθ－b）2＋sin2θ＝λ2[（cosθ＋2）2＋sin2θ]，整理得1＋b2－5λ2－（2b＋4λ2）·cosθ＝0，即解得

法二：

（特殊点）既然对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，使得λ与b为常数，那么取M（1,0）与M（0,1）代入|MB|＝λ|MA|，得

解得

答案：

－

10．（2017·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1）上，f（x）＝其中集合D＝，则方程f（x）－lgx＝0的解的个数是________．

解析：

由于f（x）∈[0,1），因此只需考虑1≤x<10的情况，

在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．

若lgx∈Q，则由lgx∈（0,1），可设lgx＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，

因此10＝，则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，

故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，

只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点．

画出函数草图（如图），图中交点除（1,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，

且x＝1处（lgx）′＝＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f（x）－lgx＝0的解的个数为8.

答案：

8