教版八年级数学上册全等三角形导学案.docx

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教版八年级数学上册全等三角形导学案

课题:

11．1全等三角形

【学习目标】

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素，会用符号正确地表示两个三角形全等.

2．知道全等三角形的性质，并会进行应用.

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

【活动方案】

活动一知道全等形、全等三角形及对应元素一系列概念，会用符号表示全等

1.将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放在一起，观察它们能否重合。

2.观看课本美丽的图片并阅读课本P2—3的部分，思考并回答下列问题：

（1）什么是全等形？

什么是全等三角形？

你能举出生活中全等形的实例吗？

（2）全等三角形有哪些对应元素？

怎样记两个三角形全等？

活动一知道全等三角形的性质

1．利用三角形纸片做如下变换：

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

2.思考：

各图中的两个三角形全等吗？

为什么？

如果全等把它们分别表示出来.（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

3.寻找上图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（提示：

全等三角形是指能够完全重合的两个三角形）

独立完成后，小组交流并归纳出全等三角形的性质：

．

活动三知识应用

1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，

说出这两个三角形中相等的边和角．

2.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，

∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

（提示：

对应边和对应角一定在两个全等三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．）

（小组讨论交流寻找对应角、对应边的经验）

课堂小结：

这节课你有哪些收获？

还有什么疑惑？

【检测反馈】

1．下面的每对三角形分别全等，观察是怎么变化而成的，说出对应边、对应角。

2．将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF（如图）

（1）线段AB、DE是对应线段，有什么关系？

线段AC和DF呢？

（2）线段BE和CF有什么关系？

为什么？

（3）若∠A=50º，∠B=30º，你知道其他各

角的度数吗？

为什么？

3．已知△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE

是对应边，∠A=40º，∠B=30º，求∠ADC的大小.

课题：

11．2三角形全等的判定（第一课时）

【学习目标】

1．知道“边边边”的内容，会运用“SSS”证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；

2．知道三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

【活动方案】

活动一探索三角形全等的条件

1．只给一个条件：

（1）画出一条边为6cm三角形

（2）画出一个角为30度的三角形.小组交流所画的三角形全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？

分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和小组的同学比较一下，所画的图形全等吗?

①三角形的一个内角为60°，一条边为3cm；

②三角形的两个内角分别为30°和70°；

③三角形的两条边分别为3cm和5cm

从1、2画图归纳：

如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形.

3．若给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

（小组讨论交流）

4.已知一个三角形的三条边长分别为4cm、5cm、6cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

由活动我们得到全等三角形的一个判定方法:

对应相等的两个三角形全等（简称为“边边边”或“SSS”）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

活动二学会用“边边边”证明三角形全等

1．如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

1.如图，已知AC=FE,BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．

求证:

△ABC≌△FDE.

（如果有困难，可以先讨论，后完成）

3．生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状就固定不变了，为什么？

而用四根木条钉成的框架，它的形状却是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．在日常生活中常利用三角形做支架，就是利用．请举出生活中类似的例子.

【检测反馈】

1.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC.

求证:

△ABC≌△CDA.

2．如图，

，

，△ABC≌△DCB全等吗？

为什么？

3．如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，

为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，

和同伴交流看看方法是否一样.

课题：

11.2三角形全等的条件（第二课时）

【学习目标】

1．知道三角形全等“边角边”的内容．

2．会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

【活动方案】

活动一探索三角形全等的条件

1．如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

为什么？

（1）在上面的例子中我们已知哪些条件（从三角形的边、角关系作答），得到什么结论？

（2）由

（1）中的回答，你能得到什么猜想？

2．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，

②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．

③连结BC，得△ABC．

④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

总结得出：

相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

活动二全等三角形判定的简单应用

阅读课本第9页例2后，完成下列问题：

1．如图，已知AD∥BC，AD＝CB．求证：

△ABC≌△CDA．

（提示：

要证明两个三角形全等，已具有两个条件，一是

AD＝CB（已知），二是___________，还能再找一个条件吗？

可以小组交流后再完成）

证明：

2.思考：

如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？

”

画一画：

三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？

把你的发现和同伴交流。

谈谈你本节课的学习收获。

【检测反馈】

1．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，

BE∥DF，BE＝DF．

求证：

AB∥CD

2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．

求证：

△ABD≌△ACE．

课题：

11.2三角形全等的条件（第3课时）

【学习目标】

1．知道三角形全等“角边角”的内容．

2．会运用“ＡSＡ”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件

【活动方案】

活动一探索三角形全等的条件

1.画一画：

如图，△ABC是任意一个三角形，画△A1B1C1,

使A1B1=AB,∠A1=∠A,∠B1=∠B，把画的△A1B1C1剪下来放在△ABC进行比较，它们是否重合？

由此你能得出什么结论？

得出结论：

对应相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”）

2.如图,已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C.求证：

BE=CD

2.如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD，判断

图中的两个三角形是否全等，如果全等请说明理由．

如果不全等，可以改变什么条件可使这两个三角形全等。

先独立思考，然后在小组内讨论交流你的思路。

活动二知识巩固，能力提升

1．如图，已知AB∥CD，CE∥BF.若AE=DF,

求证：

BF=CE

2．如图，已知△ABC≌△

，CF、

分别是△ABC的∠C和△

的∠

的角平分线，那么线段CF和

相等吗？

小组交流解题思路，把典型问题展示出来，分析错因。

小结：

通过这节课的学习，你学到了哪些新的知识，在解决问题的过程中获得了什么启示？

还有什么疑惑？

【检测反馈】

1．如图1,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（）

A、选①去，B、选②C、选③去

2．如图2，O是AB的中点，要使通过角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD，需要添加一个条件,下列条件正确的是（　）

A、∠A=∠BB、AC=BDC、∠C=∠D

3．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？

请你说明理由.

4．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长度就是AB的长度，为什么？

课题：

11.2三角形全等的条件（第4课时）

【学习目标】

1．知道“角角边”内容.

2．利用“AAS”证明全等，为证明线段相等和角相等创造条件.

【活动方案】

活动一探索三角形全等的条件

1．在“角边角”中，边是两个角的夹边，如果边是其中一个角的对边，那么这两个三角形还全等吗？

画一画：

先任意画一个△ABC，再画一个△A1B1C1，使∠A1=∠A，∠B1=∠B，B1C1=BC，把你画好的△A1B1C1剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

结论：

全等.（简称“角角边”或“AAS”）

小组交流你所发现的结论。

2．如图，已知∠ADB=∠ADC，由AAS判定△ABD≌△ACD，

还需添加的一个条件是____________.（说说你是怎么想的）

活动二巩固知识,能力提升

1．如果∠B=∠C，AD平分∠BAC，证明：

△ABD≌△ACD

2．如图：

在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，

利用学过的知识你能证明几对三角形全等？

选一对全等加以证明.

3．如图：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。

求证：

（1）OC=OD，

（2）DF=CF

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。

谈谈你的学习收获

【检测反馈】

1．如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是　　　　　　　　　　（　　）

A．甲和乙　Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙　Ｄ．只有丙

2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAC=∠CAD.

求证：

AB=AD.

2.△ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD有什么关系？

请加以证明.

课题:

11.2三角形全等的判定（第5课时）

【学习目标】

1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2．知道直角三角形全等的条件，并能加以应用.

【活动方案】

活动一探索新知

（动手操作）：

已知线段a，c（a

，利用尺规作一个Rt△ABC，

使∠C=∠

，AB=c，CB=a.

1、按步骤作图：

ac

①作∠MCN=∠

=90°.

②在射线CM上截取线段CB=a.

③以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.

④连结AB.

2、与同桌重叠比较，看所作的Rt△ABC是否重合？

3、从中你发现了什么？

两个直角三角形全等.（简称“斜边、直角边”或“HL”）

在组内与同伴交流你的发现。

活动二巩固新知

1．如图1，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与

△ADC（填“全等”或“不全等”）,

图1

根据（用简写法）.

2．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（）

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等

3．如图2，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由.

图2

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。

【检测反馈】

1．判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）

（3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（）

（4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（）

（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（）

2．如图3，已知：

△ABC中，DF=FE，BD=CE，AF⊥BC于F，则此图中全等三角形共有（ 　　）

　　A.5对　　B.4对　　C.3对　　D.2对

3．如图4，已知：

在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

BF是△ABC中AC边上的高.（提示：

关键证明△ADC≌△BDE）

课题:

11.2三角形全等的判定（第6课时）

【学习目标】

1.知道三角形全等的各种判断方法；

2.能根据具体问题合理选择相应的判断方法.

【活动方案】

活动一归纳判断三角形全等的条件

1．填下表：

（挂出小黑板，让学生思考、讨论，共同填答）.

两个三角形中对应相等的元素

两个三角形是否全等

反例（可画图）

SSS

SAS

SSA

ASA

AAS

AAA

2．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O.

（1）由AD∥BC，可得

=

，由AB∥CD，

可得

=

，又由，于是△ABD≌△CDB；

（2）由△ABD≌△CDB，可得AD=，AB=，

从而还可证明△AOD≌；△AOB≌.

（3）图中全等三角形共有对,分别用了哪些判断方法?

2．如图，在

中,

，沿过点B的

一条直线BE折叠

，点C恰好落在AB边的

中点D处，则∠A的度数是.

先独立思考解答，然后小组交流你的解题思路。

活动二应用全等判断定理解题

1．如图，已知：

AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB.

求证：

△ADF≌△CBE.

2．求证：

有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

（注意要先画出图形）

已知：

求证：

证明：

小组交流解题情况，将错题展示在小黑板上，并分析原因。

【检测反馈】

1．下列各说法中，正确的是（）

A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

B．有两角一边分别相等的两个三角形全等

C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等

D．有两组边相等且周长相等的两个三角形全等

2．将全等的△ABC与△DEF重合，再沿AB方向将△DEF推移如图位置，问线段AD与BE数量关系怎样？

BC与EF位置关系怎样？

为什么？

3．如图，

，

，则

（1）

等于多少度？

（2）图中有哪几组平行线？

有哪些相等的角？

（提示：

连接AC、BD，利用全等解决）

课题：

11.3角的平分线的性质（第1课时）

【学习目标】

1．会用尺规作图作角平分线；

2．知道角平分线的性质，并会运用角平分线性质解决问题．

【活动方案】

活动一学会作角平分线

1．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC

画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

（先独立思考，然后组内交流）

2．由第1题的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？

说一说，写一写角平分线的作法．

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）

（2）

（3）

注意：

角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.

练一练：

作一个平角∠AOB的平分线.

想一想：

由此你能得出:

“用尺规过直线上一点作已知直线的垂线”的方法吗？

相互说一说。

活动二探究角平分线的性质

1．动手操作完成课本第20页的探究。

思考：

角平分线上的点到角两边的距离大小关系如何？

你能得到什么猜想？

把你的猜想写出来。

2．你能证明自己的猜想是正确的吗？

试一试。

3．你能结合右图用符号语言表示角平分线的性质吗？

思考：

证明几何命题的步骤有哪些？

小结：

通过这节课的学习你有哪些收获？

还有什么疑惑？

【检测反馈】

1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.

求：

（1）点D到AB的距离；

（2）△ABD的面积.

3．

△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.

求证EB＝FC.

课题：

11.3角的平分线的性质（第2课时）

【学习目标】

1．知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用；

2．注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题.

【活动方案】

活动一复习角平分线的性质定理

1．角平分线性质定理的内容是什么？

2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：

点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

（先独立思考解答，然后在组内交流。

）

想一想：

我们知道：

角平分线上的点到距离相等；那么到角两边距离相等的点是否也在这个角平分线上呢？

活动二探究角平分线性质定理的逆命题

1．阅读教材P21思考，并说明理由。

求证：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（画出图形，写出已知和求证，再加以证明）.

2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，

BE、CD相交于点O，OB＝OC.

求证：

∠OAB＝∠OAC.

小组交流解题思路，将错题展示在小黑板上，分析错因。

【检测反馈】

1.已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P.

求证：

点P在∠A的平分线上

2．如图：

在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，求∠BAD的度数.

3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF、EF，求证:

DF＝EF

全等三角形复习课（第1课时）

【学习目标】

1．总结三角形全等的识别条件,灵活运用各种判定方法解决问题；

2．培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力。

【活动方案】

活动一填一填，算一算，看谁做得既对又快

已知如图

（1），

≌

其中的对应边:

____与____,____与____,

____与____,两个全等三角形中对应角有

2．如图

（2）,

≌

，BC的延长线交DA于F，交DE于G,

∠ACB=105，∠CAD=10，∠D=25.求

、

的度数.

思考并交流：

在找全等三角形的对应边和对应角时，如何做到对应？

活动二应用知识，解决问题

1．如图，在

中,

，D、E分别为AC、AB上的点，

且AD=BD,AE=BC,DE=DC.

求证：

DE⊥AB

2．如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB．

求证：

3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F，BE=CF.求证：

AD是△ABC的角平分线.

思考并交流：

在以上问题中，证明三角形全等你用了哪些方法？

证三角形全等还有哪些判定方法？

什么情况下我们需证三角形全等呢？

【检测反馈】

1．如图，D，E，F，B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，

求证:

（1）AE=CF；

（2）AE∥CF

2.在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：

点D在∠A的平分线上.

全等三角形复习课（第2课时）

【学习目标】

1.会综合运用全等三角形的性质和判定解题；

2．增强观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力．

【活动方案】

活动一熟练选用确当的方法证明三角形全等

1．将两根钢条AA/、BB/中点O连在一起，使AA/、BB/绕着点O自由转动，做成一个测量工具，则A/B/的长等于内槽宽AB，判定△OAB≌△OA/B/的理由是．

2．已知AB//DE，且AB=DE，

（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是

（2）选其中的一种方法进行证明.

活动二

1．已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.

求证:

AB=AC+BD.（提示:

在AB上截取AF=AC）

2．如图一张矩形纸片沿着对角线剪开，得到两张三角形纸片ABC、DEF，再将这两张三角形纸片摆成右图的形式，使点B、F、C、D处在同一条直线上，P、M、N为其他直线的交点。

（1）求证：

AB⊥ED；

（2）若PB=BC，请找出右图中全等三角形，并给予证明。

【检测反馈】

1．如图所示,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,

要使△ABC≌△ABD,还需增加一个条件是__________，

请利用你所增加的条件加以证明.

2.如图：

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。

（1）求证：

MN=AM+BN。

（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，

则AM、BN与MN之间有什么关系？

请说明理由。

第十三章全等三角形测试卷

（测试时间：

90分钟总分：

100分）

一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分）

1．对于△ABC与△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，则下列条件①AB=DE；②AC=DF；③BC=DF；④AB=EF中，能判定它们全等的有（）

A．①②B．①③C．②③D．③④

2．下列说法正确的是（）

A．面积相等的两个三角形全等

B．周长相等的两个三角形全等

C．三个角对应相等的两个三角形全等

D．能够完全重合的两个三角形全等

3．下列数据能确定形状和大小的是（）

A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°

C．AB=4，BC=5，CA=10D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°

4．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ABC≌△DEF（）

A．AC=DFB．BC=EFC．∠B=∠ED．∠C=∠F

5．OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（）

A．射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等

B．射线OP上的点与边OA，OB的距离相等

C．射线OP上的点与OA上各