排列组合例题整理.docx

排列组合例题整理.docx

《排列组合例题整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合例题整理.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

排列组合例题整理

排列组合基础知识讲座

首先看一道简单的例题

例1：

用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？

解答：

题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。

假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。

由于和位置有关，所以这是排列问题。

（注意：

虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）

排列公式的定义如下

也可写成P（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行排列的元素个数，！

表示阶乘，例如6！

=

，5!

=

，但要特别注意1！

=0！

=1。

假设n=5，r=3，则

P（5,3）=

在这个题目里，总共的元素个数是4，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式

P（4,2）=

因此共有12种组法。

下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：

例2.黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?

解答：

假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白、蓝）和（蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。

很明显这属于排列问题。

在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。

根据公式

P（3,3）=

（计算的时候注意0！

=1）

因此共有6种排法。

如果我们把这个题目改一改，变成

例3黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法?

解答

这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。

在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。

根据公式

P（3,2）=

（计算的时候注意1！

=1）

因此还是有6种排法。

下面我们这个题目再变一下

例4黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?

解答：

假设我们第一次取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同一种取法，即（黄，白）和（白，黄）是同一种取法。

由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合问题。

组合公式的定义如下

也可写成C（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行组合的元素个数，！

表示阶乘，例如6！

=

，5!

=

，但要特别注意1！

=0！

=1。

假设n=5，r=3，则

C（5,3）=

另外，为便于计算，还有个公式请记住

例如C（6,2）=C（6,4）

在例4里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中任意取出2个进行组合，所以r=2。

根据公式

C（3,2）=

（计算的时候注意1！

=1）

因此有3种取法。

基础知识讲完后，我们进行一次随堂模拟考试，下面是公考中曾经出现过的题目

考试题1.

林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。

若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？

解答：

这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法：

分步法。

即把完成一件事情的过程分成几步，每一步的可供选择的方案数相乘就是总的可供选择的方案数。

例如完成一件事情需要两步，第一步有2种选择，第二步有3种选择，如果不考虑完成顺序（即先完成第一步再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一样），则总的选择数为2乘3等于6。

本题中，就餐分成三步，第一步挑选肉类，第二步挑选蔬菜，第三步挑选点心。

在每一步的挑选中，由于挑选的物品是同一种类（例如从四种蔬菜中挑选两种，虽然种类不同，但挑出的仍然是蔬菜，与挑选时的顺序无关），所以每一步的挑选是组合问题。

第一步的选择数为C（3,1）=

，

第二步的选择数为C（4,2）=

第三步的选择数为C（4,1）=

由于不考虑挑选食物的顺序，所以总共有

种

考试题2.

将五封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）

解答：

这个题也采用分步法。

分成五步，第一步将第一封信投入邮筒，第二步将第二封信投入邮筒，……第五步将第五封信投入邮筒。

在每一步中，每一封信都有三个邮筒的选择，即可选择数是3。

由于结果与五封信的投递次序无关，所以共有

考试题3：

从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？

解答：

这个题和例题1有相似处，但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关，而与队员的排列顺序无关。

例如，1,2,3,4,5,6号队员组成一队，不论他们怎么排列，123456和654321仍然是同一只队。

因为和位置无关，所以这是组合问题。

总共的元素个数是9，所以n=9，从所有元素中任意取出6个元素进行组合，所以r=6。

根据公式

C（9,6）=

因此有84种取法。

（注意：

考试时只要求知道计算公式C（9,6），不要求具体计算）

专家解析公务员考试：

排列组合问题之插板法

文章摘要：

插板法是用于解决"相同元素"分组问题，且要求每组均"非空"，即要求每组至少一个元素；若对于"可空"问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？

   首先给各位公务员考友看一道题目：

   例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?

   【解析】：

题目中球的分法共三类：

   第一类：

有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。

其分法种数为。

   第二类：

有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。

其分法种数。

   第三类：

有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。

其分法种数。

所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：

。

   由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境--插板。

   将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用"档板"把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟"档板"分配物品的方法称之为插板法。

   由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：

即是在9个空档之中插入6个"档板"（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。

   由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

   ①所要分的元素必须完全相同；

   ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；

   ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

   下面再给各位看一道例题：

   例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.

   A．35B．28C．21D．45

   【解析】：

这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的"插板法"，而忽略了"插板法"的适用条件。

例2和例1的最大区别是：

例1的每组元素都要求"非空"，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。

   其实此题还是用"插板法"，只是要做一些小变化，详解如下：

   设想把这8个球一个接一个排起来，即，共形成9个空档（此时的空档包括中间7个空档和两端2个空档），然后用2个档板把这8个球分成3组，先插第一个档板，由于可以有空盒，所以有9个空档可以插；再插第二个板，有10个空档可以插，但由于两个板是不可分的（也就是说当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法），所以共种。

   例3．

（1）已知方程，求这个方程的正整数解的个数。

（2）已知方程，求这个方程的非负整数解的个数。

   【解析】：

（1）将20分成20个1，列出来：

11111111111111111111在这20个数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应"1"的个数，按顺序排成；；；即是正整数解。

故正整数解的个数为，解法非常简单。

：

（2）此题和例2的解法完全相同，请各位考友自己考虑一下。

   【王永恒提示】：

今后我们利用"插板法"解决这种相同元素问题时，一定要注意"空"与"不空"的分析，防止掉入陷阱。

例3的两题相比较，可以很明显地看出"空"与"不空"的区别。

   【王永恒总结】：

"非空"问题插板法原型为：

设有个相同元素，分成（）组，每组至少一个元素的分组方法共有；"可空"问题插板法问题原型为：

设有个相同元素，分成（）组，则分组方法共有种方法。

   练习1．有10级台阶，分8步走完。

每步可以迈1级、2级或3级台阶，有多少中走法？

（答案为）

   老子曰：

夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。

在平时的学习中，我们应当学会寻找共性，寻找根源，从本质上理解归纳各种问题。

在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！

C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1）C6取2＝（6×5）/（2×1）

通过这2个例子看出

CM取N公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。

以取值N的阶层作为分母

P53＝5×4×3P66＝6×5×4×3×2×1

通过这2个例子

PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有2：

其一是看问题是有序的还是无序的？

有序用“排列”，无序用“组合”；

其2是看问题需要分类还是需要分步？

分类用“加法”，分步用“乘法”.

分类：

“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：

①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算很终完成.

两个原理的区别在于一个和分类关于，一个与分步关于.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1．有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻很常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时很常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.

2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3．在处理排列、组合综合题时，通过解析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的很基本的，也是很重要的思想方法.

*****************************************************************************

提供10道习题供大家训练

1、三边长均为整数，且很大边长为11的三角形的个数为（C）

（A）25个（B）26个（C）36个（D）37个

------------------------------------------------------

【解析】

根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见很大的边是11

则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和很大的时候

因此我们以一条边的长度开始解析

如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。

。

。

。

。

。

1

如果为10则另外一个边的长度是10，9，8。

。

。

。

。

。

2，

（不能为1否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种状况包含了11，10的组合）

如果为9则另外一个边的长度是9，8，7，。

。

。

。

。

。

。

3

（理由同上，可见规律出现）

规律出现总数是11＋9＋7＋。

。

。

。

1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、

（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

------------------------------------------------------------

【解析】每封信都有3个选择。

信与信之间是分步关系。

比如说我先放第1封信，有3种可能性。

接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3×3×3×3＝3^4

（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

-------------------------------------------------------------

【解析】跟上述状况类似对于每个旅客我们都有4种选择。

彼此之间选择没关于系不够成分类关系。

属于分步关系。

如：

我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。

知道很后一个旅客也是4种可能。

根据分步原则属于乘法关系即4×4×4＝4^3

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？

-------------------------------------------------------------

【解析】分步来做

第一步：

我们先选出3本书即多少种可能性C8取3＝56种

第2步：

分配给3个同学。

P33＝6种

这里稍微介绍一下为啥是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的状况，很后一个同学没有选择。

即3×2×1这是分步选择符合乘法原则。

很常见的例子就是1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？

也是满足这样的分步原则。

用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。

所以该题结果是56×6＝336

3、

七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？

（3600）

---------------------------------------------

【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步：

先给甲排应该排在中间的5个第2步：

剩下的6个人即满足P原则P66＝720

所以总数是720×5＝3600

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？

（1440）

-------------------------------------------------

【解析】

第一步：

确定乙在哪个第2步：

剩下的6个人满足P原则P66＝720

则总数是720×2＝1440

（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？

（3120）

---------------------------------------------------

【解析】特殊状况先安排特殊

第一种状况：

甲不在排头排尾并且不在中间的状况

去除3个第2种状况：

甲不在排头排尾，甲排在中间则剩下的6个因为是分类讨论。

所以很后的结果是两种状况之和即2400＋720＝3120

（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？

（1440）

-----------------------------------------------

【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个第1：

选第2：

选出来的2个则安排甲乙符合状况的种数是2×6＝12

剩下的5个人即满足P55的规律＝120

则很后结果是120×12＝1440

（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？

（2520）

-------------------------------------------------------

【解析】

这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。

所以我们不考虑左右问题则总数是P77＝5040,根据左右概率相等的原则则排在左边的状况种数是5040÷2＝2520

4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.

（1）能组成多少个四位数？

（300）

--------------------------------------------------------

【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。

则只有5种可能性

接下来3个

（2）能组成多少个自然数？

（1631）

---------------------------------------------------------

【解析】自然数是从个位数开始所有状况

分状况

1位数：

C6取1＝6

2位数：

C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

3位数：

C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100

4位数：

C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

5位数：

C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

6位数：

5×P55＝5×120＝600

总数是1631

这里解释一下计算方式比如说2位数：

C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22还有一种状况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11因为0不能作为很高位所以很高位只有1种可能

（3）能组成多少个六位奇数？

（288）

---------------------------------------------------

【解析】高位不能为0个位为奇数1，3，5则先考虑低位，再考虑高位即3×4×P44＝12×24＝288

（4）能组成多少个能被25整除的四位数？

（21）

----------------------------------------------------

【解析】能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25：

3×3＝9

后2位是50：

P42＝4×3＝12

共计9＋12＝21

（5）能组成多少个比201345大的数？

（479）

------------------------------------------------

【解析】

从数字201345这个6位数看是很高位为2的很小6位数所以我们看很高位大于等于2的6位数是多少？

4×P55＝4×120＝480去掉201345这个数即比201345大的有480－1＝479

（6）求所有组成三位数的总和.（32640）

---------------------------------------------

【解析】每个百位上的和：

M1=100×P52（54321）

十位上的和：

M2=4×4×10（54321）

个位上的和：

M3=4×4（54321）

总和M＝M1M2M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.

（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？

（152096）

【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的

所以即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？

（7224560）

【解析】同上述解析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个

C2取1×C98取4＝7224560

（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？

（67910864）

【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5＝67910864

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？

（7376656）

【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列状况就是至少有1种的

C100取5－C98取5＝7376656

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？

（75135424）

【解析】所有的排列状况中去掉有2件次品的状况即是至多一件次品状况的

C100取5－C98取3＝75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种

--------------------------------------------------------

【解析】根据条件我们可以分2种状况

第一种状况：

2台甲＋1台乙即C4取2×C5取1＝6×5＝30

第2种状况：

1台甲＋2台乙即C4取1×C5取2＝4×10＝40

所以总数是30＋40＝70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.

-------------------------------------------------------

【解析】至少有3件则说明是3件或4件

3件：

C4取3×C46取2＝4140

4件：

C4取4×C46取1＝46

共计是4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有（C）

（A）1260种（B）2025种（C）2520种（D）5040种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】分步完成

第一步：

先从10人中挑选4人的方法有：

C10取4＝210

第2步：

分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种状况

则根据分步原则乘法关系210×12＝2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__

C（4,12）C（4,8）C（4,4）

___种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第2个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗？

其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候