随机过程方兆本第三版课后习题答案docx.docx
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随机过程方兆本第三版课后习题答案docx
.
习题4
以下如果没有指明变量t的取值范围，一般视为t
R，平稳过程指宽平稳过程。
1.设X（t）
sinUt，这里U为（0,2
）上的均匀分布.
（a）
若t
1,2,
，证明{X（t）,t
1,2,}是宽平稳但不是严平稳，
（b）
设t
[0,
），证明{X（t）,t
0}既不是严平稳也不是宽平稳过程.
证明：
（a）验证宽平稳的性质
2
EX（t）Esin（Ut）
0
sin（Ut）?
1
dU
1
（cosUt）02
0,t1,2,
2
2t
COV（X（t）,X（s））
E（sinUt?
sinUs）
1E（cos（t
s）Ucos（ts）U）
1{1[cos（t
1[cos（t
2
1
s）U]02
s）U]02}?
2t
s
ts
2t
0,t
s
COV（X（t）,X（t））
Esin2Ut
1
1
2
（b）EX（t）
（1
cos（2
t））,与t有关,
2
t
DX（t）
1
1
sin（2
t），与t有关，不平稳.
2
8t
2.设{Xn,n
1,2,
}
是平稳序列，定义
{Xn（i）,n
1,2,
},i
1,2,为
Xn
（1）
Xn
Xn
1,Xn
（2）
Xn
（1）
Xn
（1）1,
，证明：
这些序列仍是平稳的.
证明：
已知，EX
n
mDX
n
2
COV
（
X
nt,
X
t）
t
）
（
（1）
EXn
EXn1
（1）
D（Xn
Xn1）
2
2
（1）
2
EXn
0,DXn
1
COV（Xn
（1）t,Xn
（1））
COV（Xnt
Xnt1,Xn
Xn1）
COV（Xn
t,Xn）
COV（Xnt1,Xn）
COV（Xnt,Xn
1）
COV（Xn
t1,Xn1）
2（t）
（t1）
（t
1）
显然，Xn
（1）为平稳过程.
同理可证，Xn
（2）,Xn（3）,亦为平稳过程.
.
.
n
3.Zn
k
2（akn
uk）
里k和ak正常数，k=1
，....n;
u1,...un是（0,2
）
k
1
上独立均匀分布随机量。
明
{xn,n
0,1,2,...}是平程。
n
明：
EXn=
k
2Ecos（akn
uk），
k
1
2
uk）duk=1/2
sin（aknuk）|02
Ecos（akn
uk）=
1/2cos（akn
=0
0
D[cos（akn
uk）]=1/2-Ecos（2akn
2uk）
1/2
cov（cos（akn
uk）,cos（ak（n
t）
uk））=
Ecos（akn
uk）Ecos（ak（n
1）uk）=1/2cos
akt
cov（cos（aknuk）,cos（aln
ul））
0,（k
l）
n
n
EXn=0,D（
Xn）=
k2.2D（cos（akn
uk））
k2
.常数
k
1
k1
n
n
cov（xnt,xn）
k.l.2.cov[cos（ak（nt）uk）,cov（aln
ul）]
K1l
1
n
=k2.2.1/2.cos（akt）
k1
只与t有关，与n无关。
从而知道{Xn.n=0,1,2⋯.}平的。
4.Akk
1,2...n是n个实随机变量；
Wk，k=1,2
⋯n是n个数。
Ak与Wk之
n
jwt是一个复的平稳过程。
（
2
足的条件才能使：
Z（t）
Ake
）
j
=1
k
1
n
Ezk
EAkejwkt
常数
要求EAk
0
Solution:
k1
n
n
Eztzt
EAkAlejktjlt
常数
EAkAl0,kl
k1l1
要求
.
.
5.设
xn,n
1,2,...
是一
列独立同分布随机变量序列，Pxn1
p，
Pxn
1
1
p,n1,2,...
s0
0,sn
n
xn
n
1,2,...
sn
n1,2,...
令
k
1
n
求
的协方差
函数和自相关函数，
p取何值时，此序列为平稳序列？
Solution:
Exn
p
1,Dxn
Exn
Exn
2
p
1
2
2
1
2p
2
2
12
1p
2p1
14p1p
2
1
n
Exnxm
Exk
p1n
p1,nm,Esn
n
k1
协方差函数Rsn
m,n
covsnm,sn
1
1
nm
n
1
1
Rsn
covxk,xl
Dx1
...
D
xn
m,n
n
m
n
nm
n
k1
l1
n
4p1
p
m
n
自相关函数：
rsn
m,n
Rsnm,n
EsnmEsn
n
p
4p1
nn
m
1
2
n
m
2p
1
Ex
0,D
x
n
1,Es
0,D
s
1
当p=
n
2
n
n
2时，
Rsnm,n
n
但协方差函数nm始终与n,n+m有关，还是不平稳！
6.设Xt
是一个平稳过程，对每一个tR，X/
t存在，证明对每个给定的t，
Xt与X/t不相关，其中X/
t
dXt.
dt
Proof.
EXt
m，DXt
2.EXt
t
m.
X/t
lim
Xtt
Xt
，EX/t
0.
t0
t
.
.
CovXt,X/tEXtX/tlim
EXtXttXt
t0
t
1
dX2t
1d
2
t
1d2
m
2
0
2
E
EX
2dt
dt
2dt
7.设Xt
是Gauss过程，均值为
0，协方差函数R2
4e2Z.
令Zt
Xt1,Wt
Xt
1，
（i）求EZtWt和EZt
Wt2；
（ii）求Z
t
的密度函数fZ
z
及PZ
t
1；
（iii）求Zt
与Wt的联合密度fZ,W
z,
w
.
Solution.
（i）EZtWt
EXt
1
X
t
1
4e4.
（ii）EXt
0,DXt
R04.
Zt
Xt
1~N0,22
1
1
x2
PZt
1
2
2
e24dx.
（iii）Zt,Wt~N0;22;0;22;4e4
，P
R2
e4
4
2
2
fZ,W
z,w
1
exp
1
z
0
2e4
z0w0
w0
21e84
21e8
4
4
4
8.设Xt,t
R是一个严平稳过程，为只取有限个值的随机变量.证明
yt
X
t
tR仍是一个严平稳过程.
Proof.
d
Xt1
Xtn
X
t1
h,
X
tn
h
Fy1,,yn
t1,t2,,tn
Pyt1,
ytn
y1,,yn
=p（（X（t1-
），⋯，X（tn
-
）≤（y1
⋯，yn））
.
.
=kPk.p（（X（t1-ak，⋯X（tn-ak）≤（y1,⋯,yn））
=kPk.p（（X（t1-h-ak）,⋯X（tn-h-ak））≤（y1，⋯，yn））
=p（（y（t1-h）,⋯,y（tn-h））≤（y1
⋯，yn
））=Ft1h,....,tnh（y1
，⋯，yn
）
即知y（t）平.
9、X（t），t
R是一个平程，构造随机程
Y如下：
Y（t）=1,）若X（t）＞1，若X（t）＞0;-1
，若X（t）≤0
明Y（t）是一个平程，如果一步假定X（t），t
R是均0的Gauss
程（平），明
RY（）
2
arcsinX
X
0
（R（
）R（
））
明：
P（（Y（t1）,⋯,Y（tn））=（a1，⋯，an））
=P（X（t1），⋯，X（tn）中有的大于0，有的小于等于0）
=P（X（t1+h），⋯，X（tn+h）相于X（t1），⋯，X（tn）中的符号
不）
=P（（Y（t1+h）,⋯,Y（tn+h））=（a1，⋯，an））
即y（t）亦平的.
2
EX（t）=0,EX（t）=
Rx（0）,X（t）
N（0,
Rx（0））
1
1
EY（t）=1*P（Y（t）=1）-1*P（Y（t）=-1）=P（X（t）
＞0）-P（X（t）
≤
-
=0
0）=
RY
2
2
（）=EY（t+
）Y（t）=P（X（t+
）＞0,
X（t）＞0）+P（X（t+
）
≤
X（t）
≤
）
≤
0,
0）-P（X（t+
.
.
0,X（t）＞0）+
P（X（t+
）＞0,X（t）
≤
0）
R（y2）
1
exp
－
１
x2
2
（2）xy
y
2
2
R（0）1
2
Rx（0）
dxdy
0
0
（2）
２（１－
（2）
2
x
记
（）
Rx
（2）
2
Rx（0）
0
0
1
１
x
2
2
（2）xy
y
2
+
exp
－
dxdy
2R（0）1
2
Rx（0）
（2）
２（１－
（2）
2
x
－
0
1
exp
－
１
x2
2
（2）xyy
2
dydx
（）
2
R（0）
0
（）
２（１－
（2）
2Rx
01
2
2
x
－
0
1
exp
－
１
x2
2
（2）xyy
2
dydx
（）
2
R（0）
0
（）
２（１－
（2）
2Rx
0
1
2
2
x
＝２
2
1
exp
1
2
r
2
（1
（2）sin2
.rdrd
2
（2）
0
0
2Rx（0）
1
2Rx（0）（1
（2））
－
2
1
exp
1
2
r2（1
（2）sin2
.rdrd
0
0
2Rx（0）
1
2
（2）
2Rx（0）（1
（2））
极坐标变换：
x
rcos
y
rsin
1
2
1
2
（2）
d
1
2
1
2
（2）
d
＝
0
1
（2）sin2
01
（2）sin2
令t
tan,
arctan
d
1
dt
1
t
2
1
2
1
2
（2）
dt
1
2
1
2
（2）
dt
＝
01t2
2
（2）t
01t2
2
（2）t
＝1
t
（2）
2
1
t
（2）
2
arctan
arctan
1
2
1
2
（2）
（2）
0
0
1
arctan
（2）
1
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