学年人教版初中数学九年级数学上期末选优拔尖自测卷.docx

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学年人教版初中数学九年级数学上期末选优拔尖自测卷

2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上

期末选优拔尖测试

（120分,90分钟）

一、选择题（每题3分，共24分）

1.如图1所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

图1

2.下列成语所描述的事件是必然事件的是（）

A．水中捞月B．拔苗助长

C．守株待兔D．瓮中捉鳖

3.如图2,AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）

A．75°B．72°

C．70°D．65°

图2图3

4.有一块长为30m，宽为20m的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图3），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形菜地面积的

，设道路的宽度为xm，下列方程：

①30x+20x×2=30×20×

；②30x+20x×2－2x2=30×20×

；③（30－2x）（20－x）=30×20×

其中正确的是（）

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

5.已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m<1B．m<－2

C．m=0D．m>－1

6.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）

A．1∶

∶

B．

∶

∶1

C．3∶2∶1D．1∶2∶3

图4

7.如图4，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O－C－D－O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则如图5所示图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）

图5图6

8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图6所示,则下列5个代数式：

ab,ac,a－b+c,b2－4ac,2a+b中,值大于0的个数为（）

A．5B．4C．3D．2

二、填空题（每题3分，共21分）

9.（陕西）在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2－x－6向上（下）或向左（右）平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为_______.

10.已知点P（a,－3）关于原点的对称点为P1（－2,b）,则a+b的值是_______.

11.已知2－

是一元二次方程x2－4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_______.

12.如图7所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为_______.（精确到0.1m）

图7

13.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6cm,则此圆锥的表面积为_______cm2.

14.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2－5x+6=0的两根,且O1O2=1,则⊙O1和⊙O2的位置关系是_______.

15.如图8,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC=

∠ACB=90°,∠A=30°;若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为_______（结果用含π的式子表示）.

图8

三、解答题（16～18题每题6分，19～22题每题8分，23题11分，24题14分，共75分）

16.已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式.

17.解方程x2－4x+2=0.（用配方法）

18.已知：

△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根,第三边BC的长为5.

（1）k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

（2）k为何值时,△ABC是等腰三角形?

并求△ABC的周长.

19.现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”“2”“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.

20.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.

（1）如图9

（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：

“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；

图9

（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图9

（2）为例说明理由.

21.如图10，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

图10

（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

22.“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图11为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时.

（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？

图11

（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？

23.为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：

（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8－0.09x,

（2）乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8－0.05x.

（注:

工程款=施工单价×施工长度）

（1）如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万元?

（2）考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.

①如果设甲公司施工a米（0

②如果市政府支付的工程款为2900万元,那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工?

24.如图12，y关于x的二次函数y=－

（x+m）（x－3m）图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D.以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（－3，0），连接ED.（m>0）

（1）写出A、B、D三点的坐标；

图12

（2）当m为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？

判定此时直线ED与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在直角坐标系中画出S关于m的函数图象示意图.

参考答案及点拨

一、1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C

二、9.210.511.2+

12.6.9m13.16π14.内切

15.（4+

）π

三、16.解：

设抛物线的解析式为y=a（x－2）2+k.把A（1,0）,B（0,－3）的坐标代入,得

解得

∴y=－（x－2）2+1=－x2+4x－3.

17.解：

移项，得x2－4x=－2，配方，得x2－4x+4=－2+4，即（x－2）2=2，所以x－2=±

，x1=2+

，x2=2－

.

18.解：

（1）∵x2－（2k+1）x+k（k+1）=0,

∴（x－k）·［x－（k+1）］=0,

∴x1=k,x2=k+1.

由勾股定理，得k2+（k+1）2=52,解得k1=3,k2=－4（舍去）.

∴当k=3时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

（2）当△ABC是等腰三角形时,有三种情况:

①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b2－4ac=［－（2k+1）］2－4k（k+1）=1,即AB≠AC.因此此种情况不存在;

②AB=BC或AC=BC.此时x=5是已知方程的一个根，所以52－5（2k+1）+k（k+1）=0,解得k1=4,k2=5.

当k1=4时,方程的两个根为x1=k=4,x2=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;

当k=5时,方程的两个根为x1=k=5,x2=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.

19.解：

画树状图如答图1：

∵共有9种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种情况,∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为:

=

.

答图1

20.解：

（1）不正确，当F在线段AB上时，设大正方形边长为a，小正方形边长为b,计算可得DF=

>a,BF=｜AB－AF｜=｜a－

｜BF,即此时DF≠BF;

（2）BE=DG.理由：

连接BE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴BE=DG.

21.

（1）证明：

连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.∴∠AOB=180°－30°－30°=120°.∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.

∴OB⊥PB.

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线.

（2）解：

连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=

∠OPB=

∠APB=30°.

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA=

=

=2

.

∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2

.

22.解：

（1）设4分钟后小明到达点C,过点C作CD⊥OB于点D,如答图2，DA即为小明离地面的高度,∵∠COD=

×4=60°，∴OD=

OC=

×20=10（m），∴DA=20－10+1=11（m）.

答:

计时4分钟后小明离地面的高度是11m;

答图2

（2）当旋转到E处时,作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H,连接OE,OF,此时EF离地面高度为HA.

当HA=31m时,OH=31－1－20=10（m）,∴OH=

OE,∴∠HOE=60°,∴∠FOE=120°.

∵摩天轮每分钟旋转的角度为:

=15°,∴由点E旋转到F所用的时间为:

=8（分钟）.

答:

在旋转一周的过程中,小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中.

23.解：

（1）由题意得:

（27.8－0.09×300）×300=240（万元）.

答:

甲公司单独完成此项工程需工程款240万元.

（2）①（300－a）（0.05a+0.8）

由题意,得P=（27.8－0.09a）a+（0.05a+0.8）（300－a）－140

=27.8a－0.09a2－0.05a2+14.2a+100=－0.14a2+42a+100

②当P=2900时,－0.14a2+42a+100=2900,

整理,得:

a2－300a+20000=0,

解得:

a1=100,a2=200,

∴300－a=200或300－a=100.

答:

应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工.

24.解：

（1）令y=0,则－

（x+m）（x－3m）=0,解得x1=－m，x2=3m.

∵m>0,∴A（－m,0），B（3m,0）.

令x=0,则y=

m,即D（0,

m）.

（2）设直线ED的解析式为y=kx+b,将点E（－3,0）、D（0，

m）的坐标代入解析式中，得

解得

∴直线ED的解析式为y=

∵y=－

（x+m）（x－3m）=－

（x－m）2+

m,

∴顶点M的坐标为

.

把

代入y=

得m2=m,解得m=0或m=1.

∵m>0,∴m=1.

∴当m=1时,点M在直线ED上.

连接CD,点C为AB的中点,坐标为C（m,0）,即（1,0）.

∵OD=

OC=1,

∴CD=2,点D在圆上.

又∵OE=3,OE2+OD2=ED2=12,

EC2=16,CD2=4，

∴CD2+DE2=EC2.

∴∠EDC=90°,∴直线ED与⊙C相切.

答图3

（3）S△AED=

m·｜3－m｜.

当0

AE·OD=

m（3－m），即S=－

m2+

m.

当m>3时,S△AED=

AE·OD=

m（m－3），即S=

m2－

m.

图象示意图如答图3中的实线部分.