第八章假设检验.docx
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第八章假设检验
第八章假设检验
【授课对象】
理工类本科二年级
【授课时数】
4学时
【授课方法】
课堂讲授与提问相结合
【基本要求】
1、理解显著性检验的基本思想，掌握显著性检验基本步骤和可能产生的两类错误；
2、掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验;
3、知道总体分布假设的/2检验法。
【本章重点】
单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
【本章难点】
两个正态总体的均值和方差的假设检验；总体分布假设的72检验法。
【授课内容及学时分配】
§8.1假设检验的基本思想
假设检验是统计推断的另一类问题。
在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知
其参数的形式的情况下，为了推断总体的某些性质，提出了关于总体的某些假设。
例如：
提出某一总体服从泊松分布的假设；又如，对于正态总体提出其期望等于叫的假设等。
假设是对未知参数日在参数空间©中什么部位的一种表述，而假设检验就是判断有关未知参数的两个互相对立的假设哪个正确（可接受）
H。
：
日＜日0㈠H1:
日沁0其中％已知
假设H。
称为原假设（零假设），而放在后面的假设Hi称为对立假设（备择假设）。
为判断Ho正确还是Hi正确，需要对总体F（x;日）进行抽样（Xi,X2,…,Xn），根据样本来作决定：
接受H0还是拒受H。
，这就是假设检验（显著性检验问题）。
F面结合例子来说明假设检验的基本思想和做法:
Eg1:
某车间用一台包装机包装葡萄糖，包的得袋装糖重量是一个服从正态分布的随机变量。
当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤。
某日开工后为检验包装机是否正常,随机的取出9袋，称得重量为（公斤）：
0.497,0.506,0.518，0.524,0.498,0.511，0.520,0.515，0.512问机器是否正常?
分析：
以分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差，由于长期实践表明标准差比较稳定，故设b=0.015，于是X~N（巴0.015）,4未知。
问题是根据样本观察值来判断4=0.5还是卩H0.5，为此我们提出假设：
H。
：
卩=4。
=0.5和Hi:
卩剤0
这是两个互相对立的假设。
若在原假设H。
成立的条件下，总体X~N（0.5,0.0152），即统计
X_05
量U=而訂N（01），当不H0成立时'由于X是以P为中心，而05，所以X将会偏
U大到一定程度时就应当
离0.5较远，从而U就有变大的趋势。
由此，一个很自然的想法,拒绝H0，那么，到底大到什么样的程度呢？
这里用到的基本思想是反证法的思想，其主要理论依据是“小概率事件在一次观测中一般不会出现”，这是一种带有概率性质的反证法。
并且该反证法得到结论的说服力的大小就取决于小概率事件的概率小的程度，其概率愈小，否定原假设的说服力就愈强。
§8.2参数的假设检验
我们这里仅介绍总体X的分布为正态时的几种显著性检验的方法。
正态分布N^y2）含有
两个参数卩和b2，因此，这里的假设都是对这两个参数的假设。
、U-检验:
设总体服从正态分布，在方差已知的条件下，若对期望进行检验，可用U-检验。
1.单个正态总体的U-检验法:
（1）双侧检验
设总体X~N（A,b02），其中％2已知，4未知，（X1,X2,…，Xn）为从X中抽取的一个简单随
机样本，要检验假设：
H0:
4=卩0,出：
卩H卩0（双侧检验）
_1n_
在前面的学习中我们知道，X=丄送Xi是4的无偏估计，若原假设H0成立时，则X-kny
2
应有偏小的趋势，而由抽样分布定理知此时X~N^0^0），从而统计量
n
犯第二类错误的概率最小，查正态分布分位数表求出u^/2使
Eg1：
糖厂用自动包装机进行包糖，要求每袋0.5公斤，假定该机器包装重量
X~N（巴0.0152），现从生产线上随机取九袋乘重得X=0.509，问该包装机生产是否正常?
解：
由题意有包装机装糖重量X~N（巴0.0152），要检验假设
样本，还没有得到足够的理由来拒绝原假设H。
，故接受原假设，即生产正常。
上述这种假设，其备择假设Hi:
»戎》0表明期望值》可能大于》0，也可能小于》0，我们称
这种检验为双侧检验。
这种检验对给定的显著性水平a,按照“使犯第二类错误的概率最小”的原则所确定的拒绝域W={u〉出p/2或u€-出七门},是小于一个给定较小的数而大于一个给定较大数的所有数值的集合，该拒绝域不能用一个区间来表示。
⑵单侧检验:
有时，我们只关心总体的期望是否增大，如产品的质量、材料的强度、元件的使用寿命等
是否随着工艺改革而比以前提高，此时需检验假设Ho:
卩<卩0,Hj:
卩>%，还有一些问题,
如新工艺是否降低了产品中的次品数，此时要检验假设H。
：
卩>卩0,H1:
卩■<卩0,像这种备择假设H1:
卩A%（或卩c4。
）表示期望值只可能大于％（或只能小于％）,这种检验称为单侧检
验。
对于单侧检验，最终得到的拒绝域的形式又如何呢？
下面以假设H0乍<卩0,H1:
卩》叫为例给予讨论:
当CT2=%2为已知时，仍用U-检验。
统计量U=Vn只有当H1:
卩》卩0成立时有变
%
大的趋势，因此，对于给定的显著性水平a,该检验的拒绝域应取为
AB*
同理，对于假设H0:
卩>卩0,H1:
卩<%在给定的显著性水平a,该检验的拒绝域应取为
AS®
Eg2:
设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，现从一大批产品中抽出12件试验结果如下：
5059，3897,3631，5050，7474,5077,4545，6279,3532，2773,7419,5116假设该产品的寿命X〜N（巴1400），试问此批产品是否合格?
解：
由题意可知该产品寿命X〜N（巴1400），要检验假设
H0:
卩>5000,H1:
卩<5000，计算知x=4986,门=12,%=皿00，则
U耳」供5000），取a“05，查得嚅乂95=1.645，拒绝域
6
W={uV—叫』={xC卩0-F叫輛,
Un
此时％-号=5000-二4001.645-4943.6，而x=4986>4943.6，故可接受出，即认VnV12
为该批产品合格。
2.两个正态总体的U-检验法:
实际工作中常常需要对两个正态总体进行比较，这种情况实际上就是两个正态总体参数的假设检验问题。
设X~N（P1，b12）,Y~N^2^22），其中W2,b22已知，且X与丫相互独立。
（Xi,X2,…,Xn1）,（Yi,丫2,…，YJ分别为来自总体X与Y的两个样本。
对已，卩2检验下面的统计假设:
H。
：
已=巴，H1:
已H卩2（双侧检验）｛或H。
：
已<巴，H1:
已A巴（单侧检验）｝，由抽
_1_1__
样分布中的定理知：
X〜NQ,62）,丫〜N化，62），又X与丫独立，从而有
厲门2
22
X-Y〜N（41-42,2l+2J）。
当原假设Ho成立时，统计量
m门2
Eg3:
书P213例1
、T—检验
设总体服从正态分布，由前面我们知道：
在方差已知的条件下，若对期望进行检验，可用U-检验，但如果方差未知，对期望进行检验，可用T—检验。
1.单个正态总体T—检验法:
设总体X~N（巴b2），巴b2未知，（Xi,X2,…Xn）为随机样本，要检验假设:
H：
卩<卩H：
k>k
H。
汕叫H"%（双侧检验）｛或h：
：
5：
h：
7（单侧检验）｝
X一Li
现在总体方差b2未知，U-检验不能使用，因为此时U需中含未知参数b2，它
c
不是一个统计量，所以要选择别的统计量来进行检验。
由点估计理论自然会想到用方差的无
1nX_[-1.—
偏估计S2=Z（Xi-X）2去代替总体方差b2，从而构造出统计量T=Vn。
当原
n-1i•S
假设H0成立时，由抽样分布定理知：
T=—电Vn~t（n—1）
S
否则，IT有偏大的趋势，故对给定的显著性水平a,查t分布表可得t^/2，使
>-ty/?
}，
P{t>t^/2^=a，从而得检验的拒绝域为W={t即W={tC-1^2或t沁1眾2}。
W={t
同理，假设H。
：
卩<%,Hi:
卩A4。
，其检验的拒绝域为
Eg4：
今有两台仪器，对九件样品测量光谱，观察结果如下:
①U（%）0.20，0.30，0.40，0.50，0.60，0.70，
0.80，
0.90，1.00
②V（%）0.10，0.21，0.52，0.32，0.78，0.59，
0.68，
0.77，0.89
取显著性水平a=0.01，问这两台仪器测量性能有无显著差异？
（测量误差可看成是正态的）
解：
用X=U-V表示两台仪器测量的结果之差，则对
X可看到9个结果:
0.10，0.09，-0.12，0.18，-0.18，0.11，
0.12，0.13，0.11
可假定X~N（A,b2）巴b2未知，由题意，要检验假设
H0:
卩=0,比：
卩H0
由于b2未知，可用t—检验:
此时，n=9，X=丄（0.10+…+…0.11）=0.06，S2=
9
1n-2三（x-x）
1—221
=——[SXi—nX]=—[0.1528-0.0324]=0.01505n—1y8
t=
亦（\-%）
亦（0.06-0）
S
（0.01505
=1.4672，查t分位数表得
从而
t“©2（n-1），即该样本观察结果与
b_0（/2（n—1）=上1_0.05（8）=3.3554，显然，
差异，故在显著水平d=0.01下，不能认为这两台机器性能有显著性差异。
H0没有显著性
Eg5:
（书P26例4）
2.两个正态总体的T—检验法:
t—检验法还可以应用于比较两个带有未知方差，但方差相等的正态总体的均值是否相等的
问题。
设总体X~N（A1，b2）,Y~N^2^2），其中出，巴，b2未知，（X1,X2，…Xn1）
（Yi,丫2,…YJ分别为从总体X,丫中抽取的简单样本,要求检验假设
H-4<卩；H:
k>卩
Ho:
出=込；H1:
卩1H馬（双侧检验）｛或0-勺-2'「12（单侧检验）｝
当原假设Ho成立时，根据抽样分布定理知:
统计量T=X严2（5一2）〜5+n2—2）
J（n1一1应+（n2-1）S22V
X-Y
1n1_
其中S,2=—Z（Xi-X）2,S22
irn
5—1
匕z（Y-Y）2
n2-1i二
否则，T有增大的趋势，因而对给定的显著性水平a可取拒绝域W=｛tAt
5/2}
Eg6:
（书P214例2）
AsS
在上面我们介绍了U—检验与t—检验，它们都是有关均值假设的显著性检验冋题。
现在讨论有关方差假设的显著性检验问题。
先对单个正态总体而言:
三、*2—检验
设（Xi，X2，…XnJ取自正态总体X~N（4,cr2）的样本，要求检验假设
H：
o"2€o"2；H：
O"2
Ho：
—o2；H1：
bF（双侧检验）｛或H；宀二2汁寫2
2
（单侧检验）｝
2。
现在分别对卩已知和4未知两种情形进行讨论:
1.卩已知
设总体X~N（%,b2），
b2未知，（X1,X2，…Xq）为其一简单样本，当原假设H。
成立时,
由/2分布的定义知统计量
nX_[A
■Z2=送（―）2~厂⑴），故对给定的显著性水平a，为使犯第irn^0
二类错误的概率近似达到最小，取拒绝域W=｛/2<—/2（n）或/2AJ2In）｝，同理对假设
2222
Hc-bCbc-H'-b>6
H0：
■0；H1：
0，给定的显著性水平a下，它们检验的拒
2222
Ho：
b>%；H1：
b5
别为
^pS-/^（n）}和W={/2吒％（n）}
2.卩未知
我们知道，当卩未知时,
*2汽（■X=）2已经不是一个统计量，因为它含有未知参数卩，
如前一样，我们用子样均值
X去代替未知的总体均值卩，由抽样分布定理知，当原假设Ho成
立时，统计量Z2=（n—1）S
1n_
1无（Xi-X）2~z2（n-1），故对给定的显著性水平a，同上可
取拒绝域W={/2€^2（n-1）或乂2〉乂142（n-1）}
Eg6:
—自动车床加工零件的长度服从正态分布N（4,b2），原来加工精度bo2=0.18，经过一
段时间生产后，抽取这车床所加工的n=31个零件，测得数据如下所示:
解：
由题意要检验假设Ho：
b2=O.18;Hi：
cr2HO.18，此时我们只要考虑单侧的情形,由题中所给的数据计算得：
八「0.器=44.5，对于给定的a皿，查自由度为n-1=30的/2分布分位数表得临界值/0.952（30）=43.8，此时厂》珀.952（30），因此拒绝原假设Ho，这说明自动车床工作一段时间后精度变差。
对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用厂一检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F—检验。
四、F—检验
我们在用t—检验去检验两个总体的均值是否相等时，作了一个重要的假设就是这两个总体方差是相等的，即时=时"2，否则我们就不能用t—检验。
如果我们事先不知道方差是否相等，就必须先进行方差是否相等的检验。
设（Xi，X2,…XQ是取自正态总体X~N（Pi,S2）的样本，（¥,丫2,…YJ是取自正态总体
Y~N（巴,J）的样本，并且（X1,X2,…XnJ与（Y,丫2,…Yn2）相互独立,
考虑假设H0:
b/=^2；Hr:
b,H（522
势，从而对给定的显著性水平a，为使犯第二类错误的概率近似达到最小，取拒绝域w={focF症2（门1川2）或foAF^/2（n1,门2）}。
2.当总体的期望叮巴均已知时
若Ho成立，由抽样分布定理知F~F（ni-1,门2-1），则此时的拒绝域为
W={fFg/2（门1-1,门2—1）}
Eg6：
（书P217例4）
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