毕达哥拉斯定理是一个基本几何定理.docx

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毕达哥拉斯定理是一个基本几何定理

毕达哥拉斯定理是一个基本的，传统上认为是由的毕达哥拉斯所证明。

毕达哥拉斯

在中国，《》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由发现，故又有称之为商高定理；三国时代的对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[2]。

埃及称为埃及三角形。

实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。

相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。

可以说真伪难辨。

这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。

他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。

至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。

因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。

不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

[3]

（1）勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

（2）勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

　　（3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

　　（4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

[3]

有关勾股定理的书籍

　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。

路明思（ElishaScottLoomis）的 PythagoreanProposition（《毕达哥拉斯》）一书中总共提到367种证明方式。

　　有人会尝试以（例如：

和函数的）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见）。

证法1

　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上。

过点C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，

　　∴∠EGF=∠BED，

　　∵∠EGF+∠GEF=90°，

　　∴∠BED+∠GEF=90°，

　　∴∠BEG=180°―90°=90°

　　又∵AB=BE=EG=GA=c，

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形。

　　∴∠ABC+∠CBE=90°

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD，

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　∴∠EBD+∠CBE=90°

　　即∠CBD=90°

　　又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，

　　BC=BD=a.

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形。

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　A2+B2=C2

证法2

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。

把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵∠BCA=90°，QP∥BC，

　　∴∠MPC=90°，

　　∵BM⊥PQ，

　　∴∠BMP=90°，

　　∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°。

　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，

　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，

　　∴∠QBM=∠ABC，

　　又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，

　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。

把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB=∠CFD=90°，

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD，

　　同理，RtΔABG≌RtΔADE，

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

　　∴∠ABG=∠BCJ,

　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°，

　　∴∠ABG+∠CBJ=90°，

　　∵∠ABC=90°，

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　A2+B2=C2。

证法4

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD.过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点L.

　　∵AF=AC，AB=AD，

　　∠FAB=∠GAD，

　　∴ΔFAB≌ΔGAD，

　　∵ΔFAB的面积等于，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴矩形ADLM的面积=.

　　同理可证，矩形MLEB的面积=.

　　∵正方形ADEB的面积

　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

　　∴即A2+B2=C2

证法5（欧几里得）

　　《几何原本》中的证明

　　在的《》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。

设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。

从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。

此线把对边上的正方形一分为二，其面别与其余两个正方形相等。

　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。

（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的概念为：

把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再并转换成下方的两个同等面积的长方形。

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的。

此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

分别CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是对应的，同理可证B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。

因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。

因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB^2。

同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC^2。

把这两个结果相加，AB^2+AC^2=BD×BK+KL×KC。

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD（BK+KC）=BD×BC由于CBDE是个正方形，因此AB^2+AC^2=BC^2。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第节所提出的

证法6（射影定理）

　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：

图1

　　⑴（BD）^2=AD·DC，

　　⑵（AB）^2=AD·AC，

　　⑶（BC）^2=CD·AC。

　　由公式⑵+⑶得：

（AB）^2+（BC）^2=AD·AC+CD·AC=（AD+CD）·AC=（AC）^2，

　　图1即（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

证法7（赵爽弦图）

　　在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。

于是便可得如下的式子：

　4×（ab/2）+（b-a）^2=c^2；

赵爽弦图

　　化简后便可得：

a^2+b^2=c^2;

青朱出入图

　　亦即：

c=（a2+b2）1/2

证法8（达芬奇）

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。

观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。

然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。

　　证明：

　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

　　因为S1=S2

　　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

　　所以OF2+OE2=E'F'2

　　因为E'F'=EF

　　所以OF2+OE2=EF2

　　勾股定理得证。

证法9

　　从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b（a+b）=1/2c^2+ab+1/2（b+a）（b-a）

　　矩形面积=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直

　　角三角形。

　　（简化）2ab+2b^2=c^2+b^2-a^2+2ab

　　2b^2-b^2+a^2=c^2;

　　a2+b2=c2;

　　注：

根据加菲尔德图进一步得到的图形。

证法10

　　在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。

　　令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d

　　1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c

　　=（a^2+b^2）/c^2=1

　　所以a^2+b^2=c^2

　　得证。

勾股定理习题及答案

题目

　　将ABC绕C旋转，使点A落在BC边上的A'，利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。

∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c；求证：

a^2;+b^2;=c^2;.

答案

　　证明：

作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上，连接AA'、BB'，延长B'A'交AB于点M。

　　∵△A'B'C是由△ABC所得

　　∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C

　　∴∠A'B'C=∠ABC

　　延长B'A'交AB于点M

　　则∠A'B'C+∠B'A'C=90°

　　而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等）

　　∴∠MBA'+MA'B=90°

　　∴B'M⊥AB

　　∴Rt△ABC≌Rt△A'BM

　　∴A'B/AB=A'M/AC

　　即（a-b）/c=A'M/b

　　∴A'M=（a-b）·b/c

　　∴S△ABB'=（1/2）AB·B'M=（1/2）AB·[B'A'+A'M]

　　=（1/2）·c·[c+（a-b）·b/c]

　　=（1/2）c2+（1/2）（a-b）·b

　　=（1/2）[c2+ab-b2]

　　S△B'A'B=（1/2）A'B·B'C=（1/2）（a-b）a=（1/2）（a^2-ab）

　　而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B

　　∴（1/2）[c2+ab-b2]=2·[（1/2）ab]+（1/2）（a2-ab）

　　则c2+ab-b2=2ab+a2-ab

　　∴a^2;+b^2;=c^2;.

　　勾股定理-勾股定理

　　直角边的平方和等于斜边的平方

编程相关

如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择．但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑．因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理．在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：

“天不可阶而升，地不可将尽寸而度．”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？

商高回答：

“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”即我们常说的勾三、股四、弦五．《周髀算经》里还这样记载：

周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾也．正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益长．候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔．由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里．

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商高定理

商高是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。

商高说：

“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。

”商高那段话的意思就是说：

当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。

以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。

这就是著名的勾股定理.

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：

"故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：

勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

毕达哥拉斯定理

Pythagoras’theorem

在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。

因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。

法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。

但他们发现的时间都比我国要迟得多。

赵爽与勾股定理

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。

他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。

例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。

尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。

正如当代中国数学家吴文俊所说：

“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。

”

伽菲尔德与勾股定理

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？

难道他是数学家或数学爱好者？

答案是否定的．事情的经过是这样的；

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？

只见那个小男孩头也不抬地说：

“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？

”伽菲尔德答到：

“是5呀．”小男孩又问道：

“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？

”伽菲尔德不加思索地回答到：

“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：

“先生，你能说出其中的道理吗？

”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长