完整版有关二次函数的利润最值问题.docx

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完整版有关二次函数的利润最值问题

有关二次函数的利润最值问题

1．某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件．后来经过市场调查，

发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元．

①若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？

②求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当

x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元．

2．某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：

这种衬衣售价

每上涨 1 元，其销售量将减少 10 件．

（1）写出月销售利润 y（单位：

元）与售价 x（单位：

元/件）之间的函数解析式．

（2）当销售价定为 45

（

元时，计算月销售量和销售利润． 3）衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000

元，销售价应定为多少？

（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？

求出最大利润．

3．某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超

过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1

元每月少卖 3 件．设每件商品的售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件．

（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）设每月的销售利润为 W，请直接写出 W 与 x 的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

有关二次函数的利润最值问题第1页

4．某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次．在 1～12 月份中，

公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x﹣h）2+k，

二次函数 y=a（x﹣h）2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、

10、12，点 A、B 的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）试确定函数关系式 y=a（x﹣h）2+k；

（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；

（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？

最多利润是多少万元？

5．某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1

元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月

的销售利润为 y 元．

（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

有关二次函数的利润最值问题第2页

6．某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案

进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为 y（元/件）、月销量为 x（件），y 是 x 的一次函数，如表，

月销量 x（件）

销售价格 y（元/件）

1500

185

2000

180

成本为 50 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费 72500 元，设月利润为 W 甲（元）（利润=销售额﹣

成本﹣广告费）．若只在乙城市销售，销售价格为 200 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件（a

为常数，40≤a≤70），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳

x2元的附加费，设月利润为 W 乙（元）

（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当 x=1000 时，y 甲=元/件，w 甲=元；

（2）分别求出 W 甲，W 乙与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；

（3）当 x 为何值时，在甲城市销售的月利润最大？

若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润

的最大值相同，求 a 的值；

（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售

才能使所获月利润较大？

7．某服装店购进一批秋衣，价格为每件 30 元．物价部门规定其销售单价不高于每件 60 元，不低于每件

30 元．经市场调查发现：

日销售量 y（件）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时，y=80；x=50 时，

y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元．

（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．

（2）求该服装店销售这批秋衣日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？

最大获利是多少元？

有关二次函数的利润最值问题第3页

8．某水果店购买一批时令水果，在 20 天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，

日销售量 y（千克）与销售时间 x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价 p（元/千克）与销售时间 x

（天）之间的函数关系式．

（1）求 y 关于 x 和 p 关于 x 的函数关系式；

（2）若日销售量不低于 36 千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？

在此期间销售金额最高是第几天？

9．某机器零件经销商，购进甲型零件 600 个，其进价为 200 元，甲型零件有两种售货渠道：

A 渠道是批发

给其他小型经销商；B 渠道是零售，零售价为 250 元．该经销商准备用 A 渠道销售甲型零件所得的全部销

售款购进一批乙型零件，乙型零件的进价为 150 元，零售价为 300 元．已知该经销商用 A 渠道销售甲型零

件时，其批发价 y（元/个）与批发个数 x（个）之间的函数关系为 y=﹣x+200．

（1）求该经销商用 B 渠道销售的甲型零件的销售额 p1（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式；

（2）求零售乙型零件的销售额 p2（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式；

（3）求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润 w（元）与批发个数 x（个）之间的函数关系式，并

求出当批发多少个甲型零件时，利润最大，最大利润是多少？

10．某水果店新进一种水果，进价为 20 元/盒，为了摸清行情，决定试营销 10 天，商家通过这 10 天的市

场调查发现：

①销售价 y（元/盒）与销售天数 x（天）满足以下关系：

天数

销售价格 y

1≤x≤5

x+24

6≤x≤10

30

②每天的销售量 p（盒数）与销售天数 x 关系如图所示．

（1）试求每天的销售量 p（盒数）与销售天数 x 之间函数关系式；

（2）设水果店的销售利润为 s（元），求销售利润 s（元）与销售天数 x（天）之间的函数关系式，并求出

试营销期间一天的最大利润．

有关二次函数的利润最值问题第4页

有关二次函数利润的最值问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共 10 小题）

1．（2017•高安市一模）某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100

元出售，一天可售出 100 件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1

元，其销量可增加 10 件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元．

（

①若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？

②求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变

化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元．

【分析】 1）利润=单件利润×销售量；

（2）根据利润的计算方法表示出关系式，解方程、画图回答问题．

【解答】解：

（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润 100×（100﹣80）

=2000（元）；（3 分）

（2）①依题意得：

（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160（5 分）

即 x2﹣10x+16=0

解得：

x1=2，x2=8（6 分）

经检验：

x1=2，x2=8 都是方程的解，且符合题意，（7 分）

答：

商店经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元；（8

分）

②依题意得：

y=（100﹣80﹣x）（100+10x）（9 分）

∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250（10 分）

画草图：

有关二次函数的利润最值问题第5页

观察图象可得：

当 2≤x≤8 时，y≥2160

∴当 2≤x≤8 时，商店所获利润不少于 2160 元．（13 分）

【点评】本题关键是求出利润的表达式，体现了函数与方程、不等式的关系．

2．（2017•南通一模）某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每

月能售出 600 件，调查表明：

这种衬衣售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 件．

（1）写出月销售利润 y（单位：

元）与售价 x（单位：

元/件）之间的函数解析

式．

（2）当销售价定为 45 元时，计算月销售量和销售利润．

（3）衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000 元，

销售价应定为多少？

（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？

求出最大利润．

（

【分析】 1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；

（2）将 x=45 代入求出即可；

（3）当 y=10000 时，代入求出即可；

（4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．

【解答】解：

（1）由题意可得：

y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]

=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）当 x=45 时，600﹣10（x﹣40）=550（件），

y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；

有关二次函数的利润最值问题第6页

（3）当 y=10000 时，

10000=﹣10x2+1300x﹣30000

解得：

x1=50，x2=80，

当 x=80 时，600﹣10（80﹣40）=200＜300（不合题意舍去）

故销售价应定为：

50 元；

（4）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，

故当 x=65（元），最大利润为 12250 元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出 y 与

x 的函数关系是解题关键．

3．（2017•山东一模）某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元，每个

月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1

元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少

卖 3 件．设每件商品的售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件．

（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）设每月的销售利润为 W，请直接写出 W 与 x 的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是

多少元？

（

【分析】 1）当售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则

每个月少卖 1 件，y=260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过 80 元后，若再涨价，

则每涨 1 元每月少卖 3 件，y=420﹣3x，80＜x＜140，

（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，

（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．

【解答】解：

（1）当 50≤x≤80 时，y=210﹣（x﹣50），即 y=260﹣x，

当 80＜x＜140 时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即 y=420﹣3x．

则

，

有关二次函数的利润最值问题第7页

（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式

w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），

（3）当 50≤x≤80 时，w=﹣x2+300x﹣10400，

当 x=80 有最大值，最大值为 7200，

当 80＜x＜140 时，w=﹣3x2+540x﹣16800，

当 x=90 时，有最大值，最大值为 7500，

故售价定为 90 元．利润最大为 7500 元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．

4．（2017•利辛县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情

况每月最后一天结算 1 次．在 1～12 月份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y

（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x﹣h）2+k，二次函

数 y=a（x﹣h）2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、

C 的横坐标分别为 4、10、12，点 A、B 的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）试确定函数关系式 y=a（x﹣h）2+k；

（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润；

（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？

最多利润是多

少万元？

（

【分析】 1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，

把（10，20）代入即可求出 a 的值，把 a 的值代入抛物线的顶点式中即可确定出

有关二次函数的利润最值问题第8页

抛物线的解析式；

（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．

（3）根据前 x 个月内所获得的利润减去前 x﹣1 个月内所获得的利润，再减去

16 即可表示出第 x 个月内所获得的利润，为关于 x 的一次函数，且为增函数，

得到 x 取最大为 12 时，把 x=12 代入即可求出最多的利润．

【解答】解：

（1）根据题意可设：

y=a（x﹣4）2﹣16，

当 x=10 时，y=20，

所以 a（10﹣4）2﹣16=20，解得 a=1，

所求函数关系式为：

y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）

（2）当 x=9 时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前 9 个月公司累计获得的利润为 9 万

元，

又由题意可知，当 x=10 时，y=20，而 20﹣9=11，

所以 10 月份一个月内所获得的利润 11 万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）

（3）设在前 12 个月中，第 n 个月该公司一个月内所获得的利润为 s（万元）

则有：

s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，

因为 s 是关于 n 的一次函数，且 2＞0，s 随着 n 的增大而增大，

而 n 的最大值为 12，所以当 n=12 时，s=15，

所以第 12 月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是 15 万元．﹣﹣（4

分）

【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的

解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．

5．（2017•高台县模拟）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月

可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售

价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售

利润为 y 元．

（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是

多少元？

有关二次函数的利润最值问题第9页

（

【分析】 1）根据进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件，

再根据每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件和销售利润=件数×每件

的利润列出关系式，即可得出答案．

（2）根据

（1）得出的函数关系式，再进行配方得出 y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，

当 x=5.5 时 y 有最大值，从而得出答案．

【解答】解：

（1）由题意得：

y=（210﹣10x）（50+x﹣40）

=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15 且 x 为整数）；

（2）根据

（1）得：

y=﹣10x2+110x+2100，

y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，

∵a=﹣10＜0，

∴当 x=5.5 时，y 有最大值 2402.5．

∵0＜x≤15，且 x 为整数，

当 x=5 时，50+x=55，y=2400（元），

当 x=6 时，50+x=56，y=2400（元）

∴当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元．

【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，

根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，

借助二次函数解决实际问题．

6．（2017•微山县模拟）某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在

甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为 y（元/件）、月销量为 x（件），y 是 x 的一次函

数，如表，

月销量 x（件）

销售价格 y（元/件）

1500

185

2000

180

成本为 50 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费 72500 元，设月利润为 W

甲（元）

有关二次函数的利润最值问题第10页

（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．

若只在乙城市销售，销售价格为 200 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a

元/件（a 为常数，40≤a≤70），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳

x2 元

的附加费，设月利润为 W （元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

乙

（1）当 x=1000 时，y =190元/件，w =67500元；

甲甲

（2）分别求出 W ，W 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；

甲乙

（3）当 x 为何值时，在甲城市销售的月利润最大？

若在乙城市销售月利润的最

大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求 a 的值；

（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在

甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

（

【分析】 1）设 y =kx+b，列出方程组即可解决，再根据 w =x（y﹣50）﹣72500，

甲甲

求出 w 的解析式，分别求出 x=1000 时，y ，w ，即可．

甲甲甲

（2）根据利润=销售额﹣成本﹣附加费，即可解决问题．

（3）①x=﹣

，y 最大值=      进行计算即可．②利用公式列出方程即可计

算．

（4）当 x=5000 时，w =427500，w =﹣5000a+750000，再列出不等式或方程即

甲乙

可解决问题．

【解答】解：

（1）设 y =kx+b，

甲

由题意

，解得        ，

∴y =﹣x+200，

甲

∴x=1000 时，y =190，

甲

w =x（y﹣50）﹣72500=﹣

甲

x=1000 时，w =67500，

甲

故答案分别为 190，67500．

x2+150x﹣72500，

（2）w =x（y﹣50）﹣72500=﹣

甲

x2+150x﹣72500，

w =﹣x2+（200﹣a）x，

乙

有关二次函数的利润最值问题第11页

（3）∵0＜x＜15000

∴当 x=﹣=7500 时，w 最大；

甲

由题意得，=，

解得 a1=60，a2=340（不合题意，舍去）．所以 a=60．

（4）当 x=5000 时，w =427500，w =﹣5000a+750000，

甲乙

若 w ＜w ，427500＜﹣5000a+750000，解得 a＜64.5；

甲乙

若 w =w ，427500=﹣5000a+750000，解得 a=64.5；

甲乙

若 w ＞w ，427500＞﹣5000a+750000，解得 a＞64.5．

甲乙

所以，当 40≤a＜64.5 时，选择在乙销售；

当 a=64.5 时，在甲和乙销售都一样；

当 64.5＜a≤70 时，选择在甲销售．

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法，解题的关键

是学会利用二次函数求函数的最值问题，学会利用不等式或方程解决方案问题，

属于中考常考题型．

（

7． 2017•宁波一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30 元．物价部门规定

其销售单价不高于每件 60 元，不低于每件 30 元．经市场调查发现：

日销售量 y

（件）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时，y=80；x=50 时，y=100．在

销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元．

（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．

（2）求该服装店销售这批秋衣日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数

关系式．

（

（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？

最大获利是多少元？

【分析】 1）根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 y=kx+b，把 x 与 y 的两对值代

入求出 k 与 b 的值，即可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可；

（2）根据利润=单价×销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可；

有关二次函数的利润最值问题第12页

（3）利用二次函数的性质求出 W 的最大值，以及此时 x 的值即可．

【解答】解：

（1）设 y=kx+b，根据题意得

，

解得：

k=﹣2，

故 y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；

（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，

∵30≤x≤60，

∴x=60 时，w 有最大值为 1950 元，

∴当销售单价为 60 元时，该服装店日获利最大，为 1950 元．

【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次

函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

（

8． 2017•新野县一模）某水果店购买一批时令水果，在20 天内销售完毕，店主

将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量 y（千克）与销售时间 x

（天）之间的函数关系；如图②，销售单价 p（元/千克）与销售时间 x（天）之

间的函数关系式．

（1）求 y 关于 x 和 p 关于 x 的函数关系式；

（2）若日销售量不低于 36 千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最

佳销售期”共有多少天？

在此期间销售金额最高是第几