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树形结构
树形结构——二叉树
相关知识：
一维数组|多维数组|栈|队列|串
一、树的基本术语
1.树的度——也即是宽度，以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;
2.树的深度——以组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；
3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；
4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
二、树的表示
树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：
先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式：
（A（B（E（K,L）,F）,C（G）,D（H（M）,I,J）））
三、二叉树
1.二叉树的基本形态：
二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：
（1）空二叉树——（a）；
（2）只有一个根结点的二叉树——（b）；
（3）右子树为空的二叉树——（c）；
（4）左子树为空的二叉树——（d）；
（5）完全二叉树——（e）
2.两个重要的概念：
（1）完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；
（2）满二叉树——除了叶结点外，每一个结点都有左右子女的二叉树。
如下图：
满二叉树
完全二叉树
3.二叉树的性质
（1）在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^（i-1）；
（2）对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点（有左右子节点）总数为N2，则N0=N2+1；
如上图（左）：
N0=6，N2=5右图：
N0=8，N2=7（3）有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式表示，则结点之间有如下关系：
·如果I<>1，则其父结点的编号为[I/2]；
·如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
·如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2N]+1
4.二叉树的存储结构：
（1）顺序存储方式
图5
问题：
对于用顺序结构来表示的二叉树
A．如何根据节点顺序编号确定所层数和从左数起的编号；
反之如何根据层数和从左数起的编号确定节点顺序编号
B．如何根据节点顺序编号确定其父节点编号。
C．如何根据节点顺序编号确定其左右子节点编号
（2）链表存储方式，
A．采用数组类型
constmax=……{二叉树的存储容量}
TYPE
Datetype=……{节点信息类型}
Nodetype=recod
Data:
datatype;{信息域}
Lchild,rchild:
integer;{左右指针}
End;
VARlist:
array[1..max]ofnodetype;
应用形式：
list[I].data=……
list[list[I].lchild]:
=....{左节点}
list[list[I].rchild]:
=....{右节点}
如：
图5
数组下标：
1 2 3 4 5 6 7 8
数组D：
A B C D E F G H
左指针数组L：
2 4 6 0 7 0 0 0
右指针数组R：
3 5 0 0 0 8 0 0
B．采用动态数据类型
type
datatype=....
link=^nodetype
nodetype=recod
data:
datatype;{信息域}
lchild,rchild:
link;{左右指针}
end;
VARt:
link;
应用形式：
t^.data:
=....;t^.lchild:
=..;{左子节点}t^.rchild:
=..;{右子节点}
5.二叉树的遍历运算（递归定义）
A
BC
DEF
GHI
图6
（1）先序遍历ABDEGCFHI
递归定义
访问根；
按先序遍历左子树；
按先序遍历右子树。
算法如下
动态类型数组类型
typeconstmax=……
datatype=....Datetype=……
link=^nodetypeNodetype=recod
nodetype=recodData:
datatype;
data:
datatype;L,r:
integer;
l,r:
link;end;
end;VARlist:
array[1..max]ofnodetype;
VARt:
link;
proceduremake（t:
link）;proceduremake（t:
intger）;
beginbegin
ift<>nilthenift<>0then
beginbegin
访问t^.data访问list[t].data
make（t^.l）;make（list[t].l）;
make（t^.r）;make（list[t].r）;
end;end;
end;end;
（2）中序遍历DBGEACHFI
递归定义
按中序遍历左子树；
访问根；
按中序遍历右子树
proceduremake（t:
link）;proceduremake（t:
intger）;
beginbegin
ift<>nilthenift<>0then
beginbegin
make（t^.l）;make（list[t].l）
访问t^.data访问list[t].data
make（t^.r）;make（list[t].r）;
end;end;
end;end;
（3）后序遍历DGEBHIFCA
递归定义
按后序遍历左子树；
按后序遍历右子树；
访问根
proceduremake（t:
link）;proceduremake（t:
intger）;
beginbegin
ift<>nilthenift<>0then
beginbegin
make（t^.l）;make（list[t].l）
make（t^.r）;make（list[t].r）;
访问t^.data访问list[t].data
end;end;
end;end;
练习题
1.用顺序存储方式建立一棵深度为N（N<6）的满二叉树，并对其进行先序遍历。
（tree1.pas）
2.用链表存储方式建立一棵如图5所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
（tree2.pas）
3.如图所示的二叉树，按先序边历读入字符串ABC##DE#G##F###（其中#表示对应的指针为空格），试用链表存储方式建立二叉数，然后用中序边历输出。
（tree4.pas）
参考程序
【tree1.pas】
programtree1;
var
b:
array[1..31]ofchar;
e:
array[1..63]ofbyte;
n,h,i,k:
integer;
proceduretree（t:
integer）;
begin
ife[t]=0thenexit
elsebegin
write（b[t]）;e[t]:
=0;
t:
=2*t;tree（t）;
t:
=t+1;tree（t）;
end;
end;
begin
repeat
write（'n='）;readln（n）;
until（n>0）and（n<6）;
fillchar（e,sizeof（e）,0）;
k:
=trunc（exp（n*ln
（2）））-1;
fori:
=1tokdo
e[i]:
=1;
fori:
=1to26do
b[i]:
=chr（64+i）;
fori:
=1to5do
b[26+i]:
=chr（48+i）;
h:
=1;
tree（h）;
writeln;
end.
【tree2.pas】
programtree2;
const{人工建立二叉树的链表关系}
a:
array[1..8]ofchar=（'A','B','C','D','E','F','G','H'）;
r:
array[1..8]ofinteger=（3,5,0,0,0,8,0,0）;
l:
array[1..8]ofinteger=（2,4,6,0,7,0,0,0）;
var
e:
array[1..7]ofinteger;
proceduresearch（m:
integer）;
begin
ife[m]=0thenbegin
write（a[m]）;e[m]:
=1
end;
if（l[m]=0）and（r[m]=0）thenexit
elsebegin
ifl[m]<>0thensearch（l[m]）;
ifr[m]<>0thensearch（r[m]）;
end;
end;
begin
fillchar（e,sizeof（e）,0）;
search
（1）;
writeln;
end.
【tree4.pas】仅给出建树过程
procedurecrt（varbt:
指针记录类型）{按先序边历建树过程}
VAR....
Begin
Read（ch）;
Ifch=’#’thenbt:
=nil
Else
New（bt）;bt^.data:
=ch;{建根节点}
Crt（bt^.l）;{建左子树}
Crt（bt^.r）;{建右子树}
End;
6．二叉排序树
排序树T是一棵按中序已分类的二叉树，即对于树的每个节点（包括顶点），值比它小的那些节点都在它的左边，值比它大的的右边。
按中序遍历，即可得到各个节点的信息域（data）按从小到大顺序的序列。
如图是一棵二叉排序树：
7
3
11
15913
（1）下列过程是以tree为根的一棵排序二叉中插入一个信息域值为newdata的节点。
Procedureinsert（vartree：
link；newdata：
datatype）；
Begin
Iftree=nilthen
Begin
New（tree）；
Tree^.l:
=nil;tree^.r:
=nil;tree^.data:
=newdata;{插入新节点}
End
Else
IfnewdataInsert（tree^.l,newdata）;{新节点插在左子树中，以tree^.l为子树继续寻找插入位置}
Else
Insert（tree^.r,newdata）;{新节点插在右子树中，以tree^.r为子树继续寻找插入位置}
End;
主程序框架如下
vartemp:
datatype;{节点类型}
root:
link;{根}
begin
root:
=nil;
repeet
read（temp）;
iftemp<>’#’then{#是结束标志}
insert（root,temp）;
untiltemp=’#’
end.
（2）如何在一棵二叉排序树中找出具有关键字V的节点，我们可采用分割查找，程序如下：
procedurefind（t:
link;v:
datatype）;
begin
ift=nilthen
begin
writeln（‘Notfind!
’）;
exit;
end;
else
begin
ift^.data>vthenfind（t^.l）;
elseift^.dataelse
begin
writeln（‘find!
’）;
exit;
end;
end;
end;
（3）练习题
.给出一组数据：
R={10.18,3,8,12,2,7,3}，试编程序，先构造一棵二叉排序树，然后以中序遍历访问所得到的二叉树（即按数据域的值从小到大输出），并输出遍历结果。
（tree3.pas）
【tree3.pas】构造的二叉排序树如下
programtree3;
const
a:
array[1..8]ofinteger=（10,18,3,8,12,2,7,3）;
type
point=^nod;
nod=record
w:
integer;
right,left:
point;
end;
var
first:
point;
j,k:
integer;
procedurehyt（d:
integer;varp:
point）;
begin
ifp=nilthenbegin
new（p）;
ifk=1thenbegin
first:
=p;
k:
=2
end;
withp^do
begin
w:
=d;
right:
=nil;
left:
=nil;
end;
end
else
withp^do
ifd>=wthenhyt（d,right）elsehyt（d,left）;
end;
procedurehyt1（p:
point）;
begin
withp^do
begin
ifleft<>nilthenhyt1（left）;
write（w:
4）;
ifright<>nilthenhyt1（right）;
end
end;
begin
first:
=nil;
k:
=1;
forj:
=1to8dohyt（a[j],first）;
hyt1（first）;
writeln
end.
6.普通树转换成二叉树：
凡是兄弟就用线连起来，然后去掉父亲到儿子的连线，只留下父母到其第一个子女的连线。
AA
BCDB
EFGHIEC
普通树FD
GH
转换成二叉树I
四、例：
1.给出八枚金币a,b,c,d,e,f,g,h，编程以称最少的次数，判定它们蹭是否有假币，如果有，请找出这枚假币，并判定这枚假币是重了还是轻了。
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