《数学分析》课程教学要求与考试大纲.docx
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《数学分析》课程教学要求与考试大纲
《数学分析》课程教学要求与考试大纲
说明
1根据《数学分析教学大纲》，制定本《数学分析》课程教学要求与考试大纲（以下简称《要求与大纲》）。
制定《要求与大纲》有利于规范教师的教学活动，加强对教师教学的宏观管理；有利于指导学生的学习进程，提高学生的自学效率和学习兴趣；也有利于教考分离的顺利实施，公正客观地评价学生的学习效果。
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2《要求与大纲》中几个关键词的说明
对教学内容要求的高低层次采用不同的词汇加以区别，对概念、理论方面的知识从高到低分别用“深刻理解”、“理解”、“了解”或“知道”三级区分，对运算和方法方面的知识从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“会”或“能”三级区分，这样，将教学内容分为三个教学目标层次，它既是教学要求，同时也是考试大纲。
“深刻理解”：
对概念要求明确概念的外延和内涵，对概念及其矛盾概念能严格、准确地予以刻画，并能正确地应用概念解决有关问题。
对理论知识要求明确定理条件和结论之间的关系，清楚地懂得证明思路，并能进行严谨的推导，能应用这些知识解决有关问题。
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“理解”：
对概念要求明确概念的外延和内涵，并能正确地叙述。
对理论知识要求明确定理条件和结论，懂得教材上的严谨证明，基本上会用这些知识解决一些有关问题。
“了解”或“知道”：
明确概念的外延和内涵，明确定理条件和结论，对该定理能作一些简单的应用。
“熟练掌握”：
在深刻理解有关运算所需的概念、性质、公式和法则的基础上，正确、迅速地应用有关法则进行准确的运算。
“掌握”：
在理解有关运算所需的概念、性质、公式和法则的基础上，正确地进行运算。
“会”或“能”：
在了解有关运算所需的性质、公式和法则的基础上，基本能正确地进行运算。
3参考教材：
华东师范大学数学系,《数学分析》（上、下册）,高等教育出版社,2001年6月，第三版。
《要求与大纲》以此教材编排顺序拟订，教材中加“
”号的章节，作为选学内容，在《要求与大纲》中也加“
”号。
第一章实数集与函数
主要内容
实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：
有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
考查点及目标层次
1了解实数及其性质
2理解区间与邻域的概念，理解绝对值与不等式的性质，会解绝对值与不等式
3理解确界概念及确界原理，会用确界概念证明某些问题。
4深刻理解“映射”观点下的一元函数概念。
5深刻理解函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数及基本初等函数的概念，熟练掌握函数的复合运算。
6理解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性概念，，并会用定义判断一个函数是否具有这些性质
7了解并记住一些非初等函数，例如整数部分函数、符号函数、狄利克雷函数。
第二章数列极限
主要内容
数列。
数列极限的ε-N定义,无穷小数列。
收敛数列性质：
唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
数列极限存在的条件：
数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。
考查点及目标层次
1深刻理解数列极限的ε-N定义及它的几何意义,它的几何意义
2了解无穷小数列、子列及子列定理。
3深刻理解收敛数列性质，并掌握其应用。
4理解数列极限存在的条件，并学会它的一些应用。
5熟练掌握数列极限的运算。
第三章函数极限
主要内容
时函数的极限，
时函数的极限，单侧极限。
函数极限的性质：
唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。
函数极限存在的条件：
归结原则、函数极限的单调有界定理和柯西准则。
两个重要极限。
无穷小量及其阶的比较,无穷大量，曲线的渐近线。
考查点及目标层次
1深刻理解各种趋势函数极限（包括单侧极限）的定义,以及它们的几何意义，并会用
定义及其否定叙述证明某些函数的极限,。
3深刻理解函数极限的性质，并掌握其应用。
4理解函数极限的存在的条件，并学会它的一些应用。
理解两个重要极限，并掌握熟练它们的应用。
5理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小阶的比较，并会使用兰道符号。
会用等价无穷小求极限。
6会求曲线的渐近线。
7熟练掌握函数极限的运算。
第四章函数的连续性
主要内容
函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。
连续函数的局部性质：
局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质：
最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。
指数函数的连续性，初等函数连续性。
考查点及目标层次
１深刻理解函数在一点连续（包括单侧连续），以及在在区间上连续的概念，并能用定义证明函数在一点是否连续。
2掌握不连续点的判断方法及其分类。
3理解连续函数的局部性质，并掌握其应用。
4理解闭区间上连续函数的性质、反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理,初等函数连续性，并掌握其应用。
第五章导数与微分
主要内容
导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。
导数的四则运算法则，反函数的导数,复合函数的导数，基本求导法则与公式。
参变量函数的导数,隐函数的导数，初等函数的导数。
高阶导数。
微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。
考查点及目标层次
1深刻理解导数的概念及其几何意义，了解导数的物理意义。
会求平面曲线
的切线方程和法线方程。
2深刻理解函数的可导性与连续性之间的关系。
3掌握利用导数定义计算函数（含分段函数）的导数（包括单侧导数）,熟练掌握导数基本公式和求导法则（四则运算、反函数、复合函数、隐函数及用参数方程表示的函数的求导法则）。
4掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
5深刻理解微分的概念、微分的几何意义以及导数与微分的异同。
6熟练掌握微分运算，理解一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。
4理解函数的高阶导数和高阶微分概念，掌握高阶导数和高阶微分的求法。
会应用莱不尼兹公式计算两个函数乘积的高阶导数。
8理解极值概念和费马定理。
第六章微分中值定理及其应用
主要内容
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。
柯西中值定理。
不定式极限，罗比塔法则。
带有皮亚诺（Peano）型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式，泰勒公式在近似计算上的应用。
函数单调性与极值。
最大值与最小值。
函数的凸性与曲线的拐点。
函数图象的讨论。
方程的近似解
。
考查点及目标层次
1深刻理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，理解柯西中值定理，并掌握这些定理的应用。
2熟练掌握用罗必塔法则求七种不定式极限的方法。
3理解泰勒公式，并能将一些初等函数展成带有皮亚诺（Peano）余项、拉格朗日余项的泰勒公式。
记住教材中的六个Maclaurin公式。
4掌握利用导数讨论函数的单调性和极值、函数的凹凸性和曲线的拐点的方法，掌握函数最大值、最小值的求法及简单应用。
5了解描绘函数图像的步骤和方法，会描绘常见函数的图像。
6了解求方程近似解的牛顿切线法
。
第七章实数的完备性
主要内容
关于实数集完备性的基本定理：
闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性
。
闭区间上连续函数性质的证明。
上极限与下极限
。
注：
确界原理安排在第一章第一节
考查点及目标层次
1理解区间套定理、聚点定理，致密性定理，了解有限覆盖定理的证明。
理解柯西收敛准则及其证明，会用它来讨论数列极限。
2了解实数完备性基本定理的等价性
。
3理解闭区间上连续函数性质的证明，并掌握这些性质的应用。
4了解上极限与下极限
。
第八章不定积分
主要内容
原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。
换元积分法，分部积分法。
有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。
考查点及目标层次
1深刻理解原函数与不定积分的概念。
2熟练掌握不定积分的性质、运算法则、不定积分的基本公式。
3.熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。
4会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
第九章定积分
主要内容
概念引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义，定积分的几何意义。
牛顿－莱布尼兹公式。
可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类：
闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。
定积分的基本性质，积分中值定理。
变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。
可积性理论补叙
考查点及目标层次
1深刻理解定积分概念,掌握构造积分和与积分和极限的意义。
2理解可积的必要条件，了解可积的充要条件以及几种可积函数类，并记注相关的条件和结论
3理解定积分的基本性质：
线性性质、函数乘积的可积性、关于积分区间的可加性、不等式性质、绝对可积性、积分第一中值定理，并能应用这些性质进行一些有关的证明。
4了解积分第一中值定理，知道积分第二中值定理、积分型余项和柯西型的泰勒公式。
5深刻理解变限积分、微积分学基本定理。
熟练掌握变限积分的求导运算。
6熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法。
7知道大和与小和的性质、可积的充要条件的证明
。
第十章定积分的应用
主要内容
微元法。
平面图形的面积。
由平行截面面积求体积，旋转体体积。
平面曲线的弧长、曲率
。
旋转曲面的面积。
定积分在物理中的某些应用。
定积分的近似
计算
考查点及目标层次
1掌握“微元法”，会应用“微元法”解决一些有关定积分的实际问题。
2熟练掌握应用定积分求平面图形的面积，掌握应用定积分求体积、平面曲线的弧长，旋转曲面的面积。
3了解定积分在物理上的应用：
变力作功、液体静压力，引力、功与平均功率。
4了解定积分的近似计算
。
5知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径
。
第十一章反常积分
主要内容
问题的提出，两类反常积分（无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分）的定义。
柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利
克雷判别法，阿贝尔判别法。
瑕积分的性质与收敛判别。
考查点及目标层次
1理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题。
第十二章数项级数
主要内容
数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。
拉贝判别法
。
交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
考查点及目标层次
1深刻理解数项级数收敛、发散和的概念，以及收敛级数的基本性质。
2理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。
3熟练掌握正顶级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法，并记注几何级数与P级数的收敛性。
4掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会用其它判别法。
5会应用级数收敛定义、收敛级数的性质及判别法证明级数中的有关问题。
第十三章函数列与函数项级数
主要内容
函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。
考查点及目标层次
1深刻理解函数列、函数项级数收敛和一致收敛概念。
2会计算函数列的极限函数、函数项级数的和函数及收敛域。
3熟练掌握M判别法，会用其它判别法判定函数列与函数项级数的一致收敛性。
4会应用连续性、可积性与可微性定理讨论函数列极限函数、函数项级数和函数的分析性质。
第十四章幂级数
主要内容
阿贝尔第一定理,幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数
的性质，幂级数的四则运算。
泰勒级数，函数可以展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式。
复变量的指数函数和欧拉公式
。
考查点及目标层次
1熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
2理解幂级数的和函数在收敛区间内的分析性质，并能运用逐项微积分和逐项积分在收敛区间内求幂级数的和函数。
3理解函数展开成泰勒级数的充分必要条件。
4掌握
的麦克劳林展开式，会用直接法和间接法将初等函数和某些非初等函数展开成幂级数。
第十五章傅里叶级数
主要内容
三角级数,三角函数系的正交性,按段光滑，傅里叶级数的收敛定理,以
为周期的函数的傅里叶级数。
以2L为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数,余弦级数和正弦级数。
收敛定理的证明。
考查点及目标层次
1了解三角函数系的正交性。
2了解傅里叶级数收敛定理的条件与结论。
3会将函数展开成傅里叶级数、正弦级数和余弦级数。
4初步具有应用傅里叶级数理论和方法证明问题的能力。
第十六章多元函数的极限与连续
主要内容
平面点集概念，R2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。
二重极限,累次极限。
二元函数的连续性,复合函数的连续性。
有界闭域上连续函数的性质。
考查点及目标层次
1理解平面点集有关概念：
距离、邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、开域、闭域、直径、有界点集、有界区域、无界区域等
2了解R2上的完备性定理：
闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
3深刻理解二元函数和多元函数概念。
4理解二重极限和累次极限概念,了解二重极限与累次极限的的区别与联系，会计算二重极限。
5理解二元函数连续定义及其性质、复合函数的连续性概念、有界闭域上连续函数性质，并能应用它们证明一些理论问题。
第十七章多元函数的微分学
主要内容
多元函数的可微性与全微分，偏导数及其几何意义,全微分存在的必要条件、充分条件，可微性的几何意义及应用。
复合函数的求导法则，复合函数的全微分。
方向导数与梯度。
高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。
考查点及目标层次
1深刻理解偏导数、全微分的概念,偏导数及全微分的几何意义。
2熟练掌握计算多元函数偏导数和全微分的方法，特别是求复合函数的偏导数的运算。
掌握求高阶偏导数的运算
3理解全微分存在的必要条件和充分条件。
理解多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系，混合偏导数与求导顺序无关的条件。
4了解全微分在近似计算中的应用
5理解方向导数和梯度的概念、并掌握其计算方法。
6了解二元函数的中值定理和秦勒公式，能够将简单的二元函数展成秦勒公式
7理解多元函数（无条件）极值的概念、多元函数取极值的必要条件，充分条件，会求二元函数的极值和最大（小）值，会解一些简单应用题。
8会求显函数给出的空间曲面的切平面和法线。
第十八章隐函数定理及其应用
主要内容
隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定
理，隐函数求导。
隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，
反函数组与坐标变换。
几何应用。
条件极值与拉格朗日乘数法。
考查点及目标层次
1深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数（组）定理的条件和结论。
2掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。
3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。
4掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
第十九章含参量积分
主要内容
含参量的正常积分概念及其性质（连续性、可积性与可微性）。
含参量反常积分概念、性质（连续性、可积性与可微性）、一致收敛及其判别法。
欧拉积分（
函数与
函数）。
考查点及目标层次
1理解含参变量有正常积分与反常积分概念及性质（连续性、可积性与可微性）。
2理解含参变量无穷积分的一致收敛性，掌握维尔斯特拉斯M判别法，会用阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
3会用积分号下的连续性、可积性和可微性，计算一些定积分与反常积分。
4了解
函数与
函数定义、性质，以及它们之间的联系，并利用它们计算一些定积分与反常积分。
第二十章曲线积分
主要内容
第一型曲线积分的定义与计算。
第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。
考查点及目标层次
1理解两类曲线积分的概念及性质，了解两类曲线积分的关系及物理意义。
2掌握两类曲线积分的计算方法。
第二十一章重积分
主要内容
平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。
直角坐标系下二重积分的计算（化为累计积分）。
格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。
二重积分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。
三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。
重积分在的应用：
曲面的面积，重心，转动惯量，引力。
考查点及目标层次
1深刻理解二重、三重积分概念和性质。
2了解二重积分存在的必要条件和充要条件，了解二重积分的可积函数类。
3熟练掌握二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法，会用二重积分的变量替换公式。
4掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球坐标系下的各种计算方法，熟练掌握直角坐标系下“先一后二”的三重积分的计算方法。
5掌握应用二重积分计算由显函数给出的光滑曲面面积的方法，会用二重积分计算质量、重心坐标、转动惯量、引力等物理量
6熟练掌握格林公式极其应用,会应用平面曲线积分与路线无关的等价条件计算和证明某些问题，会求全微分的原函数。
第二十二章曲面积分
主要内容
第一型曲面积分概念、性质和计算。
曲面的侧,第二型面积分概念、性质和计算，两类曲面积分之间的联系。
高斯公式,斯托克斯公式，空间曲线积分与路线无关的等价条件。
场论初步
。
考查点及目标层次
1理解两类曲面积分的概念及性质，了解两类曲面积分的关系及物理意义。
2掌握两类曲面积分的计算方法。
3熟练掌握高斯公式及其应用，会用斯托克斯公式。
6了解空间曲线积分与路线无关的等价条件。
7了解场论初步知识
。
《数学分析》课程建设小组
执笔人：
王浚岭
2003年9月
2004年1月18日修改
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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