学年中考数学一轮复习 第16课 全等三角形拓展导学案doc.docx
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学年中考数学一轮复习第16课全等三角形拓展导学案doc
2019-2020学年中考数学一轮复习第16课全等三角形（拓展）导学案
【考点梳理】：
一、全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
二、全等三角形的判定
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称：
“SAS”）。
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：
“ASA”）。
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：
“AAS”）。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称：
“SSS”）。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：
“HL”）。
三、全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
【思想方法】
数形结合，分类讨论
【考点一】：
全等三角形的判定
【例题赏析】
（1）（2015•贵州省贵阳,第8题3分）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠CB．∠D=∠BC．AD∥BCD．DF∥BE
考点：
全等三角形的判定与性质．
分析：
利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
解答：
解：
当∠D=∠B时，
思考与收获
在△ADF和△CBE中
∵
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：
B．
点评：
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
（2）（2015•湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3
，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析：
首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
解答：
解：
如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
思考与收获
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=3
，CB=6，
∴BE=
=
=3，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，
∴EF=
=
，
∴（9﹣x）2=9+x2，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF=
=
=2
，
故选A．
点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．
【考点二】：
全等三角形的性质
【例题赏析】（2015，广西柳州，14，3分）如图，△ABC≌△DEF，则EF= 5 ．
思考与收获
考点：
全等三角形的性质．
分析：
利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．
解答：
解：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
则EF=5．
故答案为：
5．
点评：
此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．
【考点三】：
角平分线的性质与判定
【例题赏析】（2015•广东茂名8，3分）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
考点：
角平分线的性质．
分析：
过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．
解答：
解：
如图，
过点P作PE⊥OB于点E，
思考与收获
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：
A．
点评：
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
【考点四】：
尺规作图
【例题赏析】（2015，广西玉林，21，6分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：
OM平分∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）
考点：
作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
分析：
根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．
解答：
解：
结论：
OM平分∠BOA，
证明：
由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，
在△COM和△DOM中，
，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM=∠DOM，
∴OM平分∠BOA．
点评：
本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
思考与收获
【考点五】：
有关全等三角形的探索题
【例题赏析】（2015•辽宁省盘锦,第25题14分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：
BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①
（1）中的结论是否成立？
若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
考点：
几何变换综合题．
分析：
（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
②根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
解答：
解：
（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴AE﹣AB=AD﹣AC，
∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
思考与收获
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；
②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵AC=ED，
∴∠CAD=45°，
∴角α的度数是45°．
点评：
考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：
等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．
【真题专练】
1.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
2.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件 ，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）
思考与收获
3.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
4．（2015，福建南平，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：
BE=CF．
5.（2015，广西河池，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD
（1）作∠A的角平分线交CD于E;
（2）过B作CD的垂线，垂足为F;
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母）,并选择其中一对加以证明.
思考与收获
6.（2015•湖北十堰，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：
AB=DE．
8.（2015•辽宁阜新）（第17题，12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：
△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：
BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
9.（2015•营口，第25题14分）【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
思考与收获
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．
（3）如图3，在
（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
10.（2015•齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：
①EM=DN；②S△CDN=
S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【真题演练参考答案】
1.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF （只需写一个，不添加辅助线）．
考点：
全等三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．
解答：
解：
AC=DF，
理由是：
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：
AC=DF．
点评：
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．
2.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件 AB=CD ，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）
考点：
全等三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．
解答：
解：
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
而BD=DB，
∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．
故答案为AB=CD．
点评：
本题考查了全等三角形的判定：
全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边
3.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）
考点：
全等三角形的判定．
专题：
开放型．
分析：
BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．
解答：
解：
若添加BC=EF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
若添加∠BAC=∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠B=∠E，
∵BD=AE，
∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：
BC=EF或∠BAC=∠EDF
点评：
此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
4．（2015，福建南平，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：
BE=CF．
考点：
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
解答：
证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．（2分）
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．（4分）
∴BE=CF．（5分）
点评：
本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．
5.（2015，广西河池，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD
（1）作∠A的角平分线交CD于E;
（2）过B作CD的垂线，垂足为F;
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母）,并选择其中一对加以证明.
第21题
解:
（3）△ACE≌△ADE,△ACE≌△CFB
证明:
△ACE≌△ADE
∵AE是∠A的平分线,
∴∠CAE=∠DAE,
又AC=AD,AE为公共边,
∴△ACE≌△ADE（SAS）.
6.（2015•湖北十堰，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：
AB=DE．
考点：
全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．
解答：
解：
如图，∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB=DE．
点评：
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．
7.（2015•重庆A20，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,
B=
E。
20题图
求证：
ADB=
FCE.
考点：
全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：
△ABD与△FEC全等，进而得出
∠ADB=∠FCE．
解答：
证明：
∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，
即BD=CE，
在△ABD与△FEC中，
，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB=∠FCE．
点评：
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全
等三角形的判定和性质解答．
8.（2015•辽宁阜新）（第17题，12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图a，求证：
△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：
BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
考点：
四边形综合题．
分析：
（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．
解答：
（1）证明：
∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，
∴∠DEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥DQ；
②∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，
∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
点评：
本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．
9.（2015•营口，第25题14分）【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．
（3）如图3，在
（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．[w~ww.zz#st^ep%.@com]
分析：
（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．
解答：
解：
（1）BD=CE．
理由是：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE．
∵AE=AB=7，
∴BE=
=7
，∠AEC=∠AEB=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=
=
=
，
∴BD=CE=
．
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠E=∠ABC=45°，
∴AE=AB=7，BE=
=7
，
又∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BAE=∠DAC=90°，
∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE，
∵BC=3，
∴BD=CE=7
﹣3（cm）．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造
（1）中的全等三角形是解决本题的关键．
10.（2015•齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：
①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
分析：
①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=
；然后判断出EM=
，即可判断出EM=DN；
②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=
，可得S△CDN=S△ABC，所以S△CDN=
S四边形ABDN，据此判断即可．
③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．
④首先判断出
，DM=
FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．
解答：
解：
∵D是BC中点，N是AC中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，且DN=
；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，
∴M是AB的中点，
∴EM=
，
又∵DN=
，
∴EM=DN，
∴结论①正确；
∵DN∥AB，
∴△CDN∽ABC，
∵DN=
，
∴S△CDN=S△ABC，
∴S△CDN=
S四边形ABDN，
∴结论②正确；
如图1，连接MD、FN，
，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=
；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=
，
又∵DM=
，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四边形AMDN是平行四边形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴结论③正确；
如图2，连接MD，EF，NF，
，
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴M是AB的中点，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∴
，
∵D是BC中点，M是AB中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AC，且DM=
；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，
∴FN=
，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=
，
∴DM=FN=
FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC
=360°
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