Dijkstra算法寻找有向图中最短路径.docx
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Dijkstra算法寻找有向图中最短路径
Dijkstra算法-寻找有向图中最短路径
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。
算法解决的是有向图中最短路径问题。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
图中的每一个边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
（u,v）表示从顶点u到v有路径相连。
假设E为所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:
E→[0,∞]定义。
因此，w（u,v）就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost）。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径（i.e.最短路径）。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法描述
这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]=∞）。
当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者是无穷大（如果路径不存在的话）。
Dijstra算法的基础操作是边的拓展：
如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边（u,v）添加到s到u的尾部来拓展。
这条路径的长度是d[u]+w（u,v）。
如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。
拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。
这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候，每条边（u,v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集S和Q。
集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。
集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。
这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。
当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边（u,v）进行拓展。
算法思想
设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
初始化时，只有源点s的最短距离是已知的（SD（s）=0），故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD（v）。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
距离为：
源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点（若有中间点，则必为红点）的"最短"路径长度（简称估计距离）。
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i]i∈V-S}，则D[k]=SD（k）。
初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边。
注意：
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：
P=。
且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径和边组成。
所以，当length（P）=D[k]+w小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。
（5）Dijkstra算法
Dijkstra（G，D，s）{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；D[s]=0；//设置初始的红点集及最短距离
for（alli∈V-S）do//对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]；//设置i初始的估计距离为w
//以下是扩充红点集
for（i=0;i D[k]=min{D[i]：
alliV-S}；//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if（D[k]等于∞）
return；//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}；//将蓝点k涂红后扩充到红点集
for（allj∈V-S）do//调整剩余蓝点的估计距离
if（D[j]>D[k]+G[k][j]）
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
}
}
已经利用优先队列实现了查找最短路径长度的dijkstra算法，怎么回溯出最短距离路线上经过的点呢？
2011-5-2520:
47
提问者：
帝星卡卡22|浏览次数：
291次
//此程序成功找到了邻接矩阵中两点的最短距离长度，但是没有实现路径中经过的点的显示
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
#defineINF200//最大距离表示节点之间不通
#defineMAXN1100
structway//放入优先队列Q中的结构体
{
ints;//v->s=d
intd;//distance
booloperator<（constwayk）const
{
returnk.d}
};
intn;
intmap[MAXN][MAXN];//存储邻接矩阵中节点间距离的数组
intpoint[MAXN][MAXN];//point[i][j]存储节找到的点间最短距离的数组
voiddijk（intv）//找到节点v到每个点的最短距离point[v][i]
{
priority_queueQ;
boolflag[MAXN]={false};//flag[i]==1meansitisintheendpointset
waytemp,now;
now.s=v;//初始化way的实例now，并将节点加入队列
now.d=0;
Q.push（now）;
point[v][v]=0;//初始化最短距离
//prev[v]=0;
while（!
Q.empty（））
{
now=Q.top（）;//队列重排列
Q.pop（）;//使用优先队列的pop功能使已找到的最短距离节点出队列
if（flag[now.s]）
continue;
flag[now.s]=1;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（!
flag[i]&&map[now.s][i]!
=INF&&point[v][i]>point[v][now.s]+map[now.s][i]）//修改经过now.s到集合任意点上可达的最短距离
{
temp.s=i;
temp.d=point[v][now.s]+map[now.s][i];
point[v][i]=temp.d;
prev[v]=temp.s;
Q.push（temp）;
}
}
}
}
voidinit（）//初始化
{
inti,j;
inta,b,c;
prev=（int*）malloc（sizeof（int）*n）;
cout<<"请输入邻接矩阵，权值间以空格分隔"<for（i=1;i<=n;i++）
{
for（j=1;j<=n;j++）
point[i][j]=INF;//初始化最短路径
}
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
scanf（"%d",&map[i][j]）;//输入邻接矩阵，200表示不通
}
intmain（）
{
intm;
cout<<"请输入节点个数"<while（scanf（"%d",&n）!
=EOF&&n!
=0）//输入节点个数
{
init（）;
for（inti=1;i<=n;i++）
dijk（i）;//findminimaldistancebetweenvtoeachpointi
inta,b;
cout<<"请输入起点a和终点b，以空格间隔"<while（scanf（"%d%d",&a,&b））
{
if（a==0&&b==0）
{
cout<break;
}
else
printf（"%d\n",point[a][b]）;//显示两点ab间最短路径距离
}
}
//此程序成功找到了邻接矩阵中两点的最短距离长度，但是没有实现路径中经过的点的显示
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
#defineINF200//最大距离表示节点之间不通
#defineMAXN1100
structway//放入优先队列Q中的结构体
{
ints;//v->s=d
intd;//distance
booloperator<（constwayk）const
{
returnk.d }
};
intn;
intmap[MAXN][MAXN];//存储邻接矩阵中节点间距离的数组
intpoint[MAXN][MAXN];//point[i][j]存储节找到的点间最短距离的数组
voiddijk（intv）//找到节点v到每个点的最短距离point[v][i]
{
priority_queueQ;
boolflag[MAXN]={false};//flag[i]==1meansitisintheendpointset
waytemp,now;
now.s=v;//初始化way的实例now，并将节点加入队列
now.d=0;
Q.push（now）;
point[v][v]=0;//初始化最短距离
//prev[v]=0;
while（!
Q.empty（））
{
now=Q.top（）;//队列重排列
Q.pop（）;//使用优先队列的pop功能使已找到的最短距离节点出队列
if（flag[now.s]）
continue;
flag[now.s]=1;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（!
flag[i]&&map[now.s][i]!
=INF&&point[v][i]>point[v][now.s]+map[now.s][i]）//修改经过now.s到集合任意点上可达的最短距离
{
temp.s=i;
temp.d=point[v][now.s]+map[now.s][i];
point[v][i]=temp.d;
prev[v]=temp.s;
Q.push（temp）;
}
}
}
}
voidinit（）//初始化
{
inti,j;
inta,b,c;
prev=（int*）malloc（sizeof（int）*n）;
cout<<"请输入邻接矩阵，权值间以空格分隔"< for（i=1;i<=n;i++）
{
for（j=1;j<=n;j++）
point[i][j]=INF;//初始化最短路径
}
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
scanf（"%d",&map[i][j]）;//输入邻接矩阵，200表示不通
}
intmain（）
{
intm;
cout<<"请输入节点个数"< while（scanf（"%d",&n）!
=EOF&&n!
=0）//输入节点个数
{
init（）;
for（inti=1;i<=n;i++）
dijk（i）;//findminimaldistancebetweenvtoeachpointi
inta,b;
cout<<"请输入起点a和终点b，以空格间隔"< while（scanf（"%d%d",&a,&b））
{
if（a==0&&b==0）
{
cout< break;
}
else
printf（"%d\n",point[a][b]）;//显示两点ab间最短路径距离
}
}
return0;
}
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。
算法解决的是有向图中最短路径问题。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
图中的每一个边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
（u,v）表示从顶点u到v有路径相连。
假设E为所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:
E→[0,∞]定义。
因此，w（u,v）就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost）。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径（i.e.最短路径）。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法描述
这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]=∞）。
当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者是无穷大（如果路径不存在的话）。
Dijstra算法的基础操作是边的拓展：
如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边（u,v）添加到s到u的尾部来拓展。
这条路径的长度是d[u]+w（u,v）。
如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。
拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。
这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候，每条边（u,v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集S和Q。
集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。
集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。
这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。
当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边（u,v）进行拓展。
算法思想
设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
初始化时，只有源点s的最短距离是已知的（SD（s）=0），故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意：
①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD（v）。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
距离为：
源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点（若有中间点，则必为红点）的"最短"路径长度（简称估计距离）。
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i]i∈V-S}，则D[k]=SD（k）。
初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边。
注意：
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：
P=。
且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径和边组成。
所以，当length（P）=D[k]+w小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。
（5）Dijkstra算法
Dijkstra（G，D，s）{
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s}；D[s]=0；//设置初始的红点集及最短距离
for（alli∈V-S）do//对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]；//设置i初始的估计距离为w
//以下是扩充红点集
for（i=0;iD[k]=min{D[i]：
alliV-S}；//在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if（D[k]等于∞）
return；//蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}；//将蓝点k涂红后扩充到红点集
for（allj∈V-S）do//调整剩余蓝点的估计距离
if（D[j]>D[k]+G[k][j]）
//新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j]；
}
}
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