高中数学第2章 24 曲线与方程新教材人教B版高中数学选择性必修第一册讲义.docx

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高中数学第2章24曲线与方程新教材人教B版高中数学选择性必修第一册讲义

2.4　曲线与方程

学习目标

核心素养

1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．

2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．（重点、易混点）

3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．

4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．

5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．（重点、难点）

6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．

1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．

2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．

3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．

4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．

我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用．

1．曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成F（x，y）＝0的形式，其中F（x，y）是关于x，y的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）＝0之间具有如下关系：

①曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解；

②以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

那么，方程F（x，y）＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．

思考1：

如果曲线与方程仅满足“以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？

举例说明．

[提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝

表示的曲线是半圆，而非整圆．

思考2：

如果曲线C的方程是F（x，y）＝0，那么点P（x0，y0）在曲线C上的充要条件是什么？

[提示]　若点P在曲线C上，则F（x0，y0）＝0；若F（x0，y0）＝0，则点P在曲线C上，所以点P（x0，y0）在曲线C上的充要条件是F（x0，y0）＝0．

2．两条曲线的交点坐标

曲线C1：

F（x，y）＝0和曲线C2：

G（x，y）＝0的交点坐标为方程组

的实数解．

3．解析几何研究的主要问题

（1）由曲线求它的方程．

（2）利用方程研究曲线的性质．

4．求曲线的方程的步骤

5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法

（1）由已知曲线的方程讨论曲线的对称性

设曲线C的方程为：

f（x，y）＝0，一般有如下规律：

①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；

②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；

③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．

另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P（x，y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1（x，－y）必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2（－x，y）必在曲线上．因为P（x，y），P2（－x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

（2）根据曲线的方程画曲线

①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f（x）的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．

②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．

③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f（x，y）＝0，即为曲线C的方程．（　　）

（2）方程x＋y－2＝0是以A（2,0），B（0,2）为端点的线段的方程．

（　　）

（3）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．（　　）

（4）求轨迹方程就是求轨迹．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

[提示]　

（1）×　曲线的方程必须满足两个条件．

（2）×　以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M（－4,6）就不在线段AB上．

（3）√　对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．

（4）×　求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．

2．点P（a＋1，a＋4）在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为（　　）

A．1或－5　　　　　　　B．－1或－5

C．－2或3D．2或－3

B　[由点P（a＋1，a＋4）在曲线y＝x2＋5x＋3上，得a＋4＝（a＋1）2＋5（a＋1）＋3，即a2＋6a＋5＝0得a＝－1或a＝－5．]

3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线（　　）

A．关于x轴对称　　　　B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．关于直线x－y＝0对称

C　[将（－x，－y）代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C．]

4．平面上有三点A（－2，y），B

，C（x，y）若

⊥

，则动点C的轨迹方程为．

y2＝8x（x≠0）　[

＝

，

＝

，由

⊥

得2x－

＝0，即y2＝8x（x≠0）．]

曲线与方程关系的应用

【例1】　已知方程x2＋（y－1）2＝10．

（1）判断点P（1，－2），Q（

，3）是否在此方程表示的曲线上；

（2）若点M

在此方程表示的曲线上，求m的值．

[解]　

（1）∵12＋（－2－1）2＝10，

（

）2＋（3－1）2＝6≠10，

∴点P（1，－2）在方程x2＋（y－1）2＝10表示的曲线上，

点Q（

，3）不在方程x2＋（y－1）2＝10表示的曲线上．

（2）∵点M

在方程x2＋（y－1）2＝10表示的曲线上，∴x＝

，y＝－m适合上述方程，

即

＋（－m－1）2＝10，解得m＝2或m＝－

，

∴m的值为2或－

．

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

1．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点（a，－a）（a∈R），则k的取值范围是．

　[由曲线y2＝xy＋2x＋k通过点（a，－a），

所以（－a）2＝a×（－a）＋2×a＋k，

即k＝2a2－2a＝2

－

，

所以k≥－

．]

由方程研究曲线的性质

【例2】　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C关于直线y＝x对称；

③曲线C所围成的区域的面积大于π．

其中，所有正确结论的序号是．

[思路探究]　分析关于原点对称的两个点（x，y），（－x，－y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点（x，y），点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．

①③　[将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；

将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；

在曲线C上任取一点M（x0，y0），x

＋y

＝1，∵|x0|≤1，

∴x

≤x

，

∴x

＋y

≥x

＋y

＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，

故③正确．

故正确的结论的序号是①③．]

讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：

（1）研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；

（2）研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；

（3）研究曲线的对称性（关于x轴、y轴、原点）；

（4）研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；

（5）根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．

2．画出方程y＝

的曲线．

[解]　∵y＝

＝

＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0．

用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y，所以曲线关于y轴对称．

当x≥0时，y＝|x－1|＝

分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝

的图像，如图所示．

直接法求曲线方程

【例3】　一个动点到直线x＝8的距离是它到点A（2，0）的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

[思路探究]　利用动点到直线x＝8的距离是它到点A（2,0）的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程．

[解]　设动点P（x，y），

由题意，|x－8|＝2

，

两边平方可得：

x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．

整理得：

＋

＝1．

所以动点的轨迹方程为：

＋

＝1．

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（x，y），然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．

（1）题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

（2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．

提醒：

求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．

3．如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a（a＞0），|CD|＝2b（b＞0），动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．

[解]　以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系（图略），则A（－a，0），B（a,0），C（0，－b），D（0，b），设P（x，y）是曲线上的任意一点，

由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，

·

＝

·

，

化简得x2－y2＝

．

故动点P的轨迹方程为x2－y2＝

．

代入法求曲线方程

[探究问题]

1．当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，怎样求P点的轨迹？

提示：

设所求动点P的坐标为（x，y），再设与P相关的已知点坐标为Q（x0，y0），找出P、Q之间的坐标关系，并表示为x0＝f（x），y0＝f（y），根据点Q的运动规律得出关于x0，y0的关系式，把x0＝f（x），y0＝f（y）代入关系式中，即得所求轨迹方程．

2．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？

[提示]　在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．

【例4】　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B（3,0）连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

[思路探究]　所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．

[解]　设P（x，y），M（x0，y0），∵P为MB的中点．

∴

即

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴（2x－3）2＋4y2＝1，

∴P点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2＝1．

1．（变换条件）本例中把条件“M和定点B（3,0）连线的中点为P”改为“

＝2

”，求P点的轨迹方程．

[解]　设P（x，y），M（x0，y0），

则

＝（x－x0，y－y0），

＝（3－x，－y），

由

＝2

得

即

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴（3x－6）2＋9y2＝1，

∴点P的轨迹方程为（3x－6）2＋9y2＝1．

2．（变换条件）本例中把条件“M和定点B（3,0）连线的中点为P”改为“一动点P和定点B（3,0）连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．

[解]　设P（x，y），M（x0，y0），∵M为PB的中点．

∴

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴

＋

＝1，即（x＋3）2＋y2＝4，

∴P点轨迹方程为（x＋3）2＋y2＝4．

代入法求解曲线方程的步骤

（1）设动点P（x，y），相关动点M（x0，y0）；

（2）利用条件求出两动点坐标之间的关系

（3）代入相关动点的轨迹方程；

（4）化简、整理，得所求轨迹方程．

其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．

1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：

曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．

2．点（x0，y0）在曲线C上的充要条件是点（x0，y0）适合曲线C的方程．

坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．

3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x，y），而不要设成（x1，y1）或（x′，y′）等．

4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f（x，y）＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．

5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：

求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．

1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是（　　）

A　　　　B　　　　C　　　D

D　[对于A，点（0，－1）满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点（1，－1）满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C．]

2．若M（1,2）在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为（　　）

A．

　　　　B．4

C．

D．3

A　[因为M（1,2）在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝

．]

3．方程（x2－4）2＋（y2－4）2＝0表示的图形是．

4个点　[由方程得

表示4个点．]

4．曲线y＝

和y＝－x＋

公共点的个数为．

1　[由

得－x＋

＝

，两边平方并整理得（

x－1）2＝0，所以x＝

，y＝

，故公共点只有一个

．]

5．已知点A（1,0），直线l：

y＝2x－4，点R是直线l上的一点，

＝

，求点P的轨迹方程．

[解]　由

＝

知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P（x，y），R（x1，y1），由

＝

，得（1－x1，－y1）＝（x－1，y），

得

即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x．

即点P的轨迹方程为y＝2x．

高考数学：

试卷答题攻略

　　一、“六先六后”，因人因卷制宜。

　　考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

　　二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

　　审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

　　三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

　　对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：

1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

　　四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

　　对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范

　　第一：

认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

　　第二：

先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

　　第三：

选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

　　第四：

客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：

关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。