MATLAB多元函数导数求极值或最优值.docx
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MATLAB多元函数导数求极值或最优值
实验六多元函数的极值
【实验目的】
1.多元函数偏导数的求法。
2.多元函数自由极值的求法
3.多元函数条件极值的求法•
4.学习掌握MATLAB软件有关的命令。
【实验内容】
42
求函数zx8xy2y3的极值点和极值
【实验准备】
1.计算多元函数的自由极值
对于多元函数的自由极值问题，根据多元函数极值的必要和充分条件，可分为以下几个步
骤：
步骤1.定义多元函数zf（x,y）
步骤2.求解正规方程fx（x,y）0,fy（x,y）0,得到驻点
2
如果ACB0,则该驻点不是极值点.
2.计算二元函数在区域D内的最大值和最小值
设函数zf（x,y）在有界区域D上连续，则f（x,y）在D上必定有最大值和最小值。
求f（x,y）在D上的最大值和最小值的一般步骤为:
步骤1.计算f（x,y）在D内所有驻点处的函数值；
步骤2•计算f（x,y）在D的各个边界线上的最大值和最小值；
步骤3.将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。
3.函数求偏导数的MATLAB命令
MATLAB中主要用diff求函数的偏导数用jacobian求Jacobian矩阵。
diff（f,x,n）求函数f关于自变量x的n阶导数。
jacobian（f,x）求向量函数f关于自变量x（x也为向量）的jacobian矩阵。
可以用helpdiff,helpjacobian查阅有关这些命令的详细信息
【实验方法与步骤】
练习1求函数zx48xy2y23的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y
的偏导数
>>clear;symsxy;
>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;
>>diff（z,x）
>>diff（z,y）
结果为
ans=4*xA3-8*y
ans=-8*x+4*y
即一z4x38y,—z8x4y.再求解正规方程，求得各驻点的坐标。
一般方程组的符
xy
号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。
求解正规方程的
MATLAB代码为:
>>clear;
>>[x,y]=solve（'4*xA3-8*y=0'，'-8*x+4*y=0'，‘x','y'）
结果有三个驻点，分别是P（-2,-4）,Q（0,0）,R（2,4）.下面再求判别式中的二阶偏导数：
>>clear;symsxy;
>>z=xA4-8*x*y+2*yA2-3;
>>A=diff（z,x,2）
>>B=diff（diff（z,x）,y）
>>C=diff（z,y,2）
结果为
A=2*xA2
B=-8
C=4
由判别法可知P（4,2）和Q（4,2）都是函数的极小值点，而点Q（0,0）不是极值点，实际上,
P（4,2）和Q（4,2）是函数的最小值点。
当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍
点。
>>clear;
>>x=-5:
0.2:
5;y=-5:
0.2:
5;
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;
>>Z=X.A4-8*X.*Y+2*Y.A2-3;
>>mesh（X,Y,Z）
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）,zlabel（'z'）
结果如图6.1
500
0
^500
5
图6.1函数曲面图
可在图6.1种不容易观测极值点与鞍点，这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图
局部信息丢失较多，观测不到图像细节•可以通过画等值线来观测极值.
>>contour（X，丫,Z,600）
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）
结果如图6.2
图6.2等值线图
由图6.2可见，随着图形灰度的逐渐变浅，函数值逐渐减小，图形中有两个明显的极小值点
P（4,2）和Q（4,2）.根据提梯度与等高线之间的关系，梯度的方向是等高线的法方向且指
向函数增加的方向•由此可知，极值点应该有等高线环绕而点Q（0,0）周围没有等高线环绕，不是极值点，是鞍点.
练习2求函数zxy在条件xy1下的极值..构造Lagrange函数
L（x,y）xy（xy1）
求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,的一阶偏导数
>>clear;symsxyk
>>l=x*y+k*（x+y-1）;
>>diff（l,x）
>>diff（l,y）
>>diff（l,k）
得丄y，丄x，—xy1,再解正规方程
xy
>>clear;symsxyk
>>[x,y,k]=solve（'y+k=0','x+k=0','x+y-仁O','x','y','k'）
111
得x-,y—,—,进过判断此点为函数的极大值点，此时函数达到最大值.
222
22
练习3抛物面zxy被平面xyz1截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最
长与最短距离.
这个问题实际上就是求函数
222
f（x,y,z）xyz
在条件zx2y2及xyz1下的最大值和最小值问题构造Lagrange函数
22222
L（x,y,z）xyz（xyz）（xyz1）
求Lagrange函数的自由极值.先求L关于x,y,z,,的一阶偏导数
>>clear;symsxyzuv
>>l=xA2+yA2+zA2+u*（xA2+yA2-z）+v*（x+y+z-1）;
>>diff（l,x）
>>diff（l,y）
>>diff（l,z）
>>diff（l,u）
>>diff（l,v）
再解正规方程
>>clear;
从而存在最大值与最小值），故由
1.313
f（,,2,3.）95...3
22
求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为953，最短距离为953。
2222
练习4求函数zxy4x2y7在上半圆xy16,y0上的最大值和
最小值。
首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为：
>>clear;
>>x=-4:
0.1:
4;y=-4:
0.1:
4;
>>[X,Y]=meshgrid（x,y）;
>>Z=X.A2+Y.A2-4*X-2*Y+7;
>>contour（X,Y,Z,100）
>>xlabel（'x'）,ylabel（'y'）
结果如图6.3
图6.35等值线
4
2
yo
-2
（2,1）在该点处汉书趣的最
观测图6.3可看出，在区域D内部有唯一的驻点，大约位于
小值。
在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于（4,2）。
下面通过计算加以验证。
求函数在区域D内的驻点，计算相应的函数值。
求z关于x,y的偏导数
>>clear;symsxy;
>>z=xA2+yA2-4*x-2*y+7;
>>diff（z,x）
>>diff（z,y）
结果得—2x4,—2y2,解正规方程
xy
>>clear;[x,y]=solve（'2*x-4=0','2*y-2=0','x','y'）
得驻点为（2,1）,相应的函数值为2。
求函数在直线边界y0,4x4上的最大值和最小值。
将y0代入原函数，则二
元函数变为一元函数
2
zx4x7,4x4.
首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：
>>x=-4:
0.01:
4;y=x.A2-4*x+7;
>>plot（x,y）;
>>xlabel（'x'）,ylabel（'z'）
40
35
30
25
15
10
5
0
图6.4函数图
0
x
z20
结果如图6.4所示
由图6.4可看出，当x4时函数取得最大值，x2时函数取得最小值。
下面用计算
验证。
对函数求导
>>clear;symsx;
>>z=xA2-4*x+7;diff（z,x）
dz
得Z-2x4，可知驻点为x2，而边界点为x4，计算着三个点上的函数值可得当
dx
x4时函数取得最大值39，x2时函数取得最小值3。
22
求函数在圆弧边界线上xy16,y0的最大值和最小值。
此边界线可用参数方程
x4cost,y4sint,0t
表示。
则二元函数变为一元函数
z16cost8sint23
首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：
>>t=0:
0.01*pi:
pi;z=-16*cos（t）-8*sin（t）+23;
>>plot（t,z）;
>>xlabel（'t'）,ylabel（'z'）
结果如图6.5所示
40r11r
35--
30--
25-/-
z
20--
15-・
10--
5£c11Ec
00.511.522.533.5
t
图6.5函数图
由图6.5可看出，当t0.5时函数取得最小值，x时函数取得最大值。
下面用计
算验证。
对函数求导
>>clear;symst;
>>z=-16*cos（t）-8*sin（t）+23;diff（z,t）
18sint
8cost,解正规方程
dt
>>clear;
>>t=solve（
'16*sin（t）-8*cos（t）=0'
't'）
>>numeric（t）
%求岀t的数值
得tarctan1
2
0,4636，边界点为
t0,
，计算着三个点上的函数值可得当
t0.4636时
函数取得最小值
0.5111,t,（x
4,y
0）时函数取得最小值39。
综上所述，在点（2,1）处函数取得最小值2，在点（-4,0）处函数取得最大值39
【练习与思考】
1.
求zx4
4y
4xy
1的极值，并对图形进行观测。
2.
求函数fx,
y
2x
2y2在圆周x2y21的最大值和最小值。
3.
2
在球面x
2
y
2z
1求出与点（3,1,-1）距离最近和最远点。
4.
求函数f（x,y,z）x
22
2y3z在平面xyz1与柱面xy1的交线上
的最大值。
5.
求函数z
x2
y2在三条直线x1,y1,xy1所围区域上的最大值和最小
值。
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