上海市中学生数学知识应用竞赛.docx

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上海市中学生数学知识应用竞赛

第一部分选择题（共50分）

、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，有

1

1

1

7

（A）-

（B）-

（C）-

（D）-

2

4

8

8

11

2.与

4

终边相冋的角为（

）.

3

3

（A）

（B）

一

（C）

（D）

4

4

4

4

2

2

3.已知集合

S（X,y）16

y

9

1,M

（X,y）X2y2

1,则S与M的关系是（

）.

（A）S

M

（B）M

S

（C）SM

（D）SMM

且只有一项是符合题目要求的•请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上

1•一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）

Inx的增区间为（

5•观察下列四个电路图，结论正确的是

（A）图开关A是灯泡的充分要条

（B）图

开关A闭合是灯泡

B亮的充分且必要条件；

B亮的不充分又不必要条件

AB4i2j,AC3i4j，则ABC的面积等于（）.

（A）15（B）10（C）7.5（D）5

7.fX与gX是定义在R上的可导函数•若fXgX，贝UfX与gX满足（）

8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的

1cc

面积为1，小正方形的面积为，则sin2cos2的值为（

25

9•若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设an是公比为q、前n项和

为Sn的无穷等比数列，下列an的四组量：

①$!

与S2；②a2与S3；3玄!

与an;@q与a.中,一定能成为该数列的“基本量”的是（）•

（A）①②（B）①④（C）③④（D）①②③

10•已知直线m、n及平面，其中m//n,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点

的集合可能为①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（）•

（A）①②③；（B）①②④；（C）①④；（D）②④.

第二部分非选择题（共100分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，满分20分•请将答案填在第4页的答题卷中

11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有nnN*行，在这些数中非1的数字之和是

1

11

121

1331

14641

0距离的最小值

12•若点P为抛物线y210x上的动点，则点P到直线xy5

13.定义在R上的函数fx,对任意实数x,都有f

2，且f11，贝Uf2005的值为

15sin2x

的值.

cosx—

4

3j2

cosxsinx时，试求

5

17.（本题满分13分）女口图，直角梯形OABC中，AO丄OC,AB//OC,

OC2,OSOAAB1.SO平面OABC.以OC,OA,OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.

ab8.

（I）求异面直线SC与OB所成角；

（n）设n1,p,q，满足n平面SBC.求:

1n的坐标；

2OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）;

3点O到平面SBC的距离.

18.（本题满分14分）设x,yR,i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向

量，若axi（y2）j,bxi（y2）j，且

（I）求点M（x,y）的轨迹C的方程;

（n）过点（0,3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB，是否存在这样的直线I，使得四边形OAPB是矩形若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管

的可靠度为0.8（即正常工作时）•若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：

画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）

20（本题满分14分）直线xynn3,且nN与x轴、y轴所围成区域内部（不包

括边界）的整点个数为an,所围成区域（包括边界）

的整点个数为bn（整点就是横、纵坐标均为整数的

点）.

（I）求an及bn的表达式；

（n）对区域内部的an个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为An，对所围区域

的bn个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小.

2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案

11.2n2n12.--,（-,5）13.f2005=2005

42

14.⑴水面是矩形;

⑵四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形;

⑶水面的大小是变化的，水面与平面CDEF所成二面角越小，水面的面积越大;

⑷形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等;

⑸侧面积不变;

⑹侧面中两组对面的面积之和相等;

⑺形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值;

⑻AB+CD为定值;

⑼如果长方体的倾斜程度为a时，则水面与与底面所成的角为90-a；

⑽底面的面积=水面的面积Xcos（90-a）=水面的面积xsina；

（11）当倾斜程度增大，点A在BD之间时，A与B重合时，BD=2h（h为水面原来的高度）;

（12）若容器的高度PD<2h，当A与B重合时，水将溢出;

（13）点A在BD内部时，△ADC的面积为定值.

由条件及图像可知A（0,3）,B（4,2）,

令C（b,b）（b>0）

法二：

.xax

依题意，上式等价于a.x2\x、、b0

a2,b

1

-f—

3

2a.b

2

a0

8

36

15sin2x

16.（本题满分13分）已知函数yfx的图象关于直线x3对称，当f

（1）320,

且cosxsinx

cosx

且sin2x=—

25

又•••yfx是关于x=3对称的函数,

=f（-1）

=320…

17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC中，AO丄OC,AB//OC,

（I）求异面直线SC与OB所成角；

（U）设n1,p,q，满足n平面SBC.求:

①n的坐标;

②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）

•••SC20,1OB1,10

过O作OH丄SE于H，则OH丄面SBC

•/OE=、、2:

.SE=,3

•••点O到平面SBC的距离为空

3

（法二）（注：

也可以利用法向量n求解，相应给分）

③延长CB与OA交于F，贝UOF=2

连FH，则/OFH为所求角

此时sin

18.（本题满分

14分）设x,yR,i,j为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单

OAOB，是否

（I）求点M（x,y）的轨迹C的方程;

（n）过点（0,3）作直线I与曲线C交于A、B两点，设OP

存在这样的直线I，使得四边形OAPB是矩形若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由.

解：

（I）（解法一）

由ab8知点M（x,y）到两个定点Fl（0.-2）、F2（0,2）的距离之和为8

22

•••轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，它的方程是—厶1

1216

（解法二）：

由题意得，x2y22x2y228

两次平方得4x2y228y2

22

整理得：

—J1

1216

（n）Vl过y轴上的点（0，3），

若I是y轴时，则A、B两点是椭圆的顶点

由OPOAOB0知P与O重合这与四边形OAPB是矩形矛盾,

•直线l是y轴不可能

当直线1

的斜率存在时，可设直线1

的的万程是y—kx+3

y

kx3

由题意得

2x

2

y

1

12

16

此时

18k

244

3k221

0恒成立

且Xa

Xb

18k

21

2,AB

2

43k

43k

•/OP

OA

OB，•••

四边形OAPB是平行四边形.

若存在直线l,使四边形OAPB是矩形,则OAOB,即OAOB0,

有XaXbgB0

2

•1kxAxB3kxAxB90

k22k空

164

.■5

当k一时，存在直线l:

y

一3使四边形OAPE是矩形

4

4

19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成•已知

每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：

画出相应的设计图形，并有相

应的计算说明）.

解：

⑴全部并联，可靠度1-0.24=0.9984>0.85

22

⑵每两个串联后再并联，可靠度110.82=0.8704>0.85

22

⑶每两个并联后再串联，可靠度10.2=

]1

0.9216>0.85

⑷三个串联后再与第四个并联，ff可靠度

MI1M

3

1-0.210.8=0.9024>0.85

2c

⑸两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.210.82=0.9856>0.85

20.（本题满分14分）直线xynn3,且nN与x轴、y轴所围成区域内部

（不包括边界）的整点个数为an，所围成区域（包括边界）的整点个数为bn（整点就是横、纵坐标均为整数的点）.

（I）求an及bn的表达式；

（U）对区域内部的an个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为An，

对所围区域的bn个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An

与Bn的大小.

解：

1.求区域内部（不包括边界）的整点个数an,就是求不等式x+yvn的正整数解,

当x=1时，

当x=2时，

y=1,2,…,（n-2），共n-2个值，y=1,2,…,（n-3），共n-3个值，

依此类推得：

n2n1

an=1+2+…+（n-2）=2.

求区域（包括边界）的整点个数bn,就是求不等式x+y

同上得：

n2n1

bn=（n+1）+n+…+2+1+=

2

n.对区域内部的an个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知:

An3an

同理Bn

2bn

3n1n2

Bn

时有—n

4

⑵当An

35

10

28

10

2抽

Bn

15

得n215n

4

n1n2

有

n

-1n2

5

2

2n

13n20…

得

n12

nN

•nw12时，AnVBn.

最后，n=13、14时，比较An与Bn的大小

由43366,B132105

有IgA1366Ig3660.477131.4886

所以n=13时，AnvBn.

同理，n=14时，An>Bn

故3wnW13时，AnVBn.nA14时，An>Bn.