八年级数学全等三角形培优数学竞赛.docx

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八年级数学全等三角形培优数学竞赛

八年级培优班数学全等三角形复习题

1．如图1，已知在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于P，则∠APE的度数是　　　。

2．如图2，点E在AB上，AC＝AD，BC＝BD，图中有　　　对全等三角形。

3．如图3，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED等于　　　度。

4．如图4所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1＋∠2＝　　　度。

5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。

（　　　）

①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C。

6．如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝

AB，点E、F分别为边BC、AC的中点。

（1）求证：

DF＝BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：

AG＝DG。

7．如图7，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（　　　）

A.　AB－AD＞CB－CD　　　B.　AB－AD＝CB－CD

C.　AB－AD＜CB－CD　　　D.　AB－AD与CB－CD的大小关系不确定

9．如图9，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是　　　　。

10．如图10，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。

求证：

（1）AP＝AQ；

（2）AP⊥AQ。

11．如图11，在△ABC中，∠C＝60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC。

（1）证明：

△C′BD≌△B′DC；

（2）证明：

△AC′D≌△DB′A；

12．如图12，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌EDB≌EDC，则∠C的度数为　　　　。

13．如图13，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是　　　　　　。

14．如图14，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于H点，请你添加一个适当的条件：

　　　　　　　　　　　　　　　　　，使△AEH≌△CEB。

15．如图15，在△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需要添加的一个条件是　　　　　　　　　。

16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有　　　个不同的四边形。

17．如图16，△ABF和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：

∠2：

∠3＝28：

5：

3，则∠α的度数为　　　　。

18．如图17，已知CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，你能说明△BDF和△CDE全等吗？

若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是　　　　　　　　　　　　　　，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程。

19．如图19，在△ABC中，AB＝AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G。

试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。

20．如图20，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：

①AD＝CB；②AE＝CF；③∠B＝∠D；④AD∥BC。

请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。

21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB＝DC；又剪了一个等边△EFG，同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD与FG恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD与△EFG粘在一起，并沿EB、EC剪下。

小华得到的△EBC是什么三角形？

请你作出判断并说明理由。

22．如图22，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：

①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠F；⑥∠A＝∠D，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　　）

A.　①⑤②　　B.　①②③　　C.　④⑥①　　D.　②③④

23．如图23

（1），在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图23

（2），下列关于图23

（2）的四个结论中，不一定成立的是（　　　　）

A.　点A落在BC边的中点　B.　∠B＋∠1＋∠C＝180°

C．　△DBA是等腰三角　D.　DE∥BC

24．如图24，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（　　　）

A.　∠M＝∠N　　B.　AB＝CD　　C.　AM＝CN　　D.　AM∥CN

25．如图25，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE。

（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明，你添加的条件是：

　　　　　　　　　　。

并给出证明。

（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：

　　　　　　　　　　（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）。

26．如图26，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D点，E在AD上，且DE＝CD，求证：

BE＝AC。

27．已知：

如图27，给出下列三个式子：

①EC＝BD；②∠BDA＝∠CEA；③AB＝AC；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（收发室形式：

如果……，那么……），并给出证明。

28．如图28，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：

AO＝BO。

29．如图29，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。

①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。

30．如图30，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形。

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？

写出变化过程。

31．如图31，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（写一个即可）。

32．如图32，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。

①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC。

33．如图33，要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离。

请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。

（1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）设计AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。

34．如图34，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE，AB与CF有什么位置关系？

证明你的结论。

35．如图35，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD。

求证：

AB＝CD。

36．如图36，已知AB＝AC，

（1）若CE＝BD，求证：

GE＝GD；

（2）若DE＝mBD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系。

（只写结论，不证明）

37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题：

“如图37

（1），已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP。

”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图

（2）的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP，之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图

（2）给出证明。

38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：

“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；

彬彬：

“作△ABC的角平分线AD”。

数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：

“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。

”

（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。

39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39

（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。

（1）将△ECD沿直线

向左平移到图

（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′＝　　　；

（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数＝　　　　；

（3）将△ECD沿直线翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于F，求证：

AF＝FD′。

40．已知：

点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。

（1）如图40

（1），若点O在边BC上，求证：

AB＝AC；

（2）如图

（2），若点O在△ABC的内部，求证：

AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？

请画图表示。

41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　　）

A.　两个锐角相等　　　　　　　　B.　两条边对应相等

C.　一条边与一个锐角对应相等　　D.　斜边与一个锐角对应相等

42．如图43，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（　　　）

A.　BE＋CF＞EF　　B.　BE＋CF＝EF

C.　BE＋CF＜EF　　D.　BE＋CF与EF的大小关系不确定

43．如图44，在△ABC中，E、D分别是边AB、AC上的点，BD、CE交于F，AF的延长线交BC于H点，若∠1＝∠2，AE＝AD，则图中的全等三角形共有（　　）对。

A.　3　　　B.　5　　　C.　6　　　D.　7

44．如图45，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°，B点落在B′点位置，A点落在A′点位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝　　　。

45．如图46，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4。

将矩形ABCD沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为　　　　。

46．如图47，设正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为s和t，则s2－t2＝　　　。

47．如图48，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BF＝AB，∠DBF＝∠DBC，则∠BFD的度数为　　　°。

48．如图49，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是∠ACB、A′C′B′的角平分线，且CD＝C′D′，AB＝A′B′，∠ADC＝∠A′D′C′。

你能判断△ABC与△A′B′C′全等吗？

如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由。

49．如图50，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边于C2、C3、A2、A3、B2、B3，已知A2C3＝C2B3＝B2A3，且C2C32＋B2B32＝A2A32，请你证明：

A1B1⊥C1A1。

提示：

如图过A3作A3M∥C1A1，过B3作B3M∥AB。

连结C2M、A2M。

△MB3C2为正三角形。

四边形MC2C3A2是平行四边形

有MA22＋A3M2＝A2A32

A3M⊥A2M

A1B1⊥C1A1。

50．如图51，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度数。

提示：

连结AE、BD

△ABE≌△FCA　　△ABD≌△CFB

△AEF　△BDF都等腰直角三角形。

51．如图52，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积。

提示：

旋转△AED至△ABF处。

△ACF≌△ACD

图52

52．如图53，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且BF＝CE。

求证：

FK∥AB。

提示：

过E作EG⊥AB于G。

△CKF≌△EGB

∠CFK＝∠B

53．已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的3个项点分别在等腰Rt△ABC（∠C＝90°）的三边上。

求△ABC直角边长的最大可能值。

解：

　注：

其中

，为韦达定理：

当

时，一元二次方程有两个实数根；当

时，一元二次方程有一个实数根；当

，一元二次方程无实数根。

54．如图54，AA′、BB′、CC′交于点O，且AA′＝BB′＝CC′＝1，∠AOC′＝∠BOA′＝∠COB′＝60°。

求证：

（1）S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜

；

（2）S△AOC′、S△BOA′、S△COB′中至少有一个不大于

。

证明：

（1）延长C′C至D，取CD＝C′O，延长BB′至E，取B′E＝BO。

则△ODE为正三角形

在ED上取EF＝OA′，连接B′F、CF。

则△EB′F≌△OBA′，△CDF≌△C′OA

S△EOD＝

∴S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜

。

（2）假设S△AOC＞

、S△BOA′＞

、S△COB＞

。

记OA＝

，OB＝

，OC＝

，则根据余弦定理求面积公式，有：

整理后：

三式相乘

。

而

，故

。

矛盾。

因此，题目结论成立。

55．如图55，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为　　　　。

56．如图56，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，则△AMN的周长＝　　　　　。

57．如图57，已知四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证：

BC＋DC＝AC。

58．如图58，ABCDEF为一正六边形，问：

风筝形ABCF的面积是正六边形面积的几分这几？

59．如图59，△ABC中阴影面积占总面积的分数是多少？

60．如图60，一个等腰直角三角形XYZ外接于正方形PQRS。

三角形XYZ的面积是

。

请问：

正方形PQRS的面积是多少？

61．如图61，三个正六边形大小相同。

X、Y、Z表示六边形中阴影部分的面积。

下面哪一个说法正确？

（　　　）

A.　X等于Y，但不等于Z　　B.　X等于Z，但不等于Y

C.　Y等于Z，但不等于X　　D.　X等于Y，也等于Z

E.　X、Y、Z不相同

62．如图62，ABCDEF是一个面积为60的正六边形。

请问：

风筝形状ABCE的面积是多少？

63．如图63，外面的等边三角形面积为1，A、B、C三点位于三条边的

位置上。

请问等边△ABC的面积是多少？