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数学建模D题天然肠衣搭配优化问题答案

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

D题天然肠衣搭配问题

摘要

该题主要研究生产天然肠衣及其搭配问题，并且要求在一定的原料情况下，生产的成品捆数越多越好，该问题属于线性规划并且为取整线性规划来求最优解问题。

根据每种规格的规定，在解题的过程中，我们建立线性方程组作为第一层优化，然后将建立的模型带入到lingo软件中，得到第一层优化最优方案，之后乂根据实际进行了笫二层优化，得到规格一成品捆数的上限为15捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。

在一定的误差允许范圉内，该方案较符合题U所属要求和实际生产情况。

并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。

问题简述：

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：

3-3.4米按3米计•算，3.5米-3・9米按3.5米汁算，其余的依此类推。

成品规格和原料描述如图所示：

表1成品规格表

最短长度

最大长度

根数

总长度

6.5

13.5

表2原料描述表

长度

3-3.4

3.5-3.9

4-4.4

4.5-4.9

5-5.4

5.5-5.9

6-6.4

6.5-

6.9

根数

长度

7-7.4

7.5-7.9

8-8.4

8.5-8.9

9-9.4

9.5-9.9

10-

10.4

10.5-

10.9

根数

长度

li.4

11.5-

11.9

12-12.4

12.5-

12.9

13-

13.4

13.5-

13.9

14-

14.4

14.5-

14.9

根数

长度

15-

15.4

15.5-

15.9

16-16.4

16.5-

16.9

17-

17.4

17.5-

17.9

18-

1&4

18.5-

18.9

根数

长度

19-

19.4

19.5-

19.9

20-20.4

20.5-

20.9

21-

21.4

21.5-

21.9

22-

22.4

22.5-

22.9

根数

长度

23-

23.4

23.5-

23.9

24-24.4

24.5-

24.9

25-

25.4

25.5-

25.9

根数

本题要求建立数学模型设讣一个原料搭配方案,按题中所给规格完成原料搭

配方案，并符合如下要求：

（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

（3）为提高原料使用率，总长度允许有土0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

（5）为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。

模型的假设：

1、肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），原料在组装过程中长度不发生变化；

2、原料按长度分档，分档后原料不可再被分割；

3、将原料长度视为离散变量；

4、为提高原料使用率，每捆总长度允许有±0.5米的误差，每规格的成品总根数允许比标准少一根。

问题分析:

天然肠衣山于规定的档次（长度）不同，规格也不一样，所以每个规格的每捆肠衣成品长度不同，考虑到要在相同的成品捆数方案里找出最短长度最长的方案，我们想到了整数规划问题的解决办法。

我们首先把肠衣成品的分配问题分开考虑，按下表中的成品规格表的规格将原料分成三类，即：

长度分布在3〜6.5米的原料为规格一；长度分布在7〜13.5米的原料为规格二；长度分布在14〜25.5米的原料为规格三。

每种规格需要满足表中的根数约束，总氏度约束，各区间总根数约束及整数约束。

表3成品规格表

规格

最短长度

最大长度

根数

总长度

6.5

13.5

模型建立与求解：

第一层优化

符号声明：

代表三种成品的捆数（取整）；

%代表从第i个区间取得条数；

q代表从第j个区间肠衣的长度，如3-3.4米按3米计算，3.3米-3.9米按

3.5米计算，其余的依此类推；

①为第i个区间总条数。

x*89.5>^^*c,.>88.5*x

i=I

23y*89.5辽i=9

46z*89.5、D*Ci、88.5*zi=24

x*20\>19*x

i=l

《\7*y

i=9

5*z、工g'4*z

i=24

i=46E《v二*

/=1

输入Lingo求得：

{

x=14

y=37

Z=137

理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度，可求得规格一成品捆数的上限为14捆；规格二成品的捆数的上限为37捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆。

结果分析：

第二层优化

表4原料剩余表

长度

3-3.4

3.5-3.9

4-4.4

4.5-4.9

5-5.4

5.5-5.9

6-6.4

6.5-

6.9

剩余根数

16.625

长度

7-7.4

7.5-7.9

8-8.4

8.5-8.9

9-9.4

9.5-9.9

10-

10.4

10.5-

10.9

剩余根数

长度

11-11.4

11.5-

11.9

12-12.4

12.5-

12.9

13-

13.4

13.5-

13.9

14-

14.4

14.5-

14.9

剩余根数

长度

15-15.4

15.5-

15.9

16-16.4

16.5-

16.9

17-

17.4

17.5-

17.9

18-

18.4

18.5-

18.9

长度

19-19.4

19.5-

19.9

20-20.4

20.5-

20.9

21-

21.4

21.5-

21.9

22-

22.4

22.5-

22.9

余数

1.84211

长度

23-23.4

23.5-

23.9

24-24.4

24.5-

24.9

25-

25.4

25.5-

25.9

根据某种规格对应原料如果岀现剩余，可以降级使用的原则。

将4-4.4剩余的

13根与7-7・4的4根组成一捆规格一，所以经过第二层优化后，规格一13捆，规格二37捆，规格三137捆，共189捆。

模型稳定性分析

我们所建立的模型通过对LI标的最优化问题，使得多U标的规划问题转化为单L1标线性规划问题，所以能比较好的反映岀各个U标函数的重要程度。

而且模型在计算中作了一些舍入和取整，不可避免的产生了一些误差，但是这些误差的是可以容忍的。

结论

此模型在一定的误差允许范圉内，较符合题LI所属要求和实际生产情况。

并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。

丄人可以工人根据这个方案“照方抓药"进行生产，在一定程度上可提高生产效率。

并且此模型易于推广，只需稍加改动就可以推广到解决其他分类封装的问题上。

参考文献

[1]姜启源，《数学模型（第三版）》,北京：

高等教育出版社，2003

附：

1、lingo程序代码

model:

sets:

c/cl..c8/:

al;

d/dl..dl4/:

a2;

e/el..e24/:

a3;

r/rl..r8/:

bl;

s/sl..sl4/:

b2;

t/tl..t24/:

b3;

allowed（r）:

ql;

allowedl（s）:

q2;

allowed2（t）:

q3;

endsets

max=x+y+z;

@for（r（i）:

ql（i）<=bl（i））;

@for（s（i）:

q2（i）<=b2（i））;

@for（t（i）:

q3（i）<=b3（i））;

@sum（r（i）:

ql（i）*al（i））>=88.5*x;

@sum（s（i）:

q2（i）*a2（i））>=88.5*y;

@sum（t（i）:

q3（i）*a3（i））>=88.5*z;

@sum（r（i）:

ql（i）*al（i））<=89.5*x;

@sum（s（i）:

q2（i）*a2（i））<=89.5*y;

@sum（t（i）:

q3（i）*a3（i））<=89.5*z;

@sum（r（i）:

ql（i））>=19*x;

@sum（s（i）:

q2（i））>=7*y;

@sum（t（i）:

q3（i））>=4*z;

@sum（r（i）:

ql（i））<=20*x;

@sum（s（i）:

q2（i））<=8*y;

@sum（t（i）:

q3（i））<=5*z;

@gin（x）;

@gin（y）;

@gin（z）;

data:

al=33.544.555.566.5;

a2=77.588.599.51010.51111.51212.51313.5;

a3=1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.52323.5

2424.52525.5;

bl=4359394127283421;

b2=2424202521232118312322591825;

b3=35293042284245495064526349352716122060001;

enddata

2、程序运算结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

188.0000

Objectivebound:

188.0000

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

14.00000

-1.000000

37.00000

-1.000000

137.0000

-1.000000

Al（Cl）

3.000000

0.000000

Al（C2）

3.500000

0.000000

Al（C3）

4.000000

0.000000

Al（C4）

4.500000

0.000000

Al（C5）

5.000000

0.000000

Al（C6）

5.500000

0.000000

Al（C7）

6.000000

0.000000

Al（C8）

6.500000

0.000000

A2（DI）

7.000000

0.000000

A2（D2）

7.500000

0.000000

A2（D3）

8.000000

0.000000

A2（D4）

8.500000

0.000000

A2（D5）

9.000000

0.000000

A2（D6）

9.500000

0.000000

A2（D7）

10.00000

0.000000

A2（D8）

10.50000

0.000000

A2（D9）

11.00000

0.000000

A2（DIO）

11.50000

0.000000

A2（Dll）

12.00000

0.000000

A2（D12）

12.50000

0.000000

A2（D13）

13.00000

0.000000

A2（D14）

13.50000

0.000000

Variable

ValueReducedCost

A3（El）

14.00000

0.000000

A3（E2）

14.50000

0.000000

A3（E3）

15.00000

0.000000

A3（E4）

15.50000

0.000000

A3（E5）

16.00000

0.000000

A3（E6）

16.50000

0.000000

A3（E7）

17.00000

0.000000

A3（E8）

17.50000

0.000000

A3（E9）

18.00000

0.000000

A3（E10）

18.50000

0.000000

A3（Ell）

19.00000

0.000000

A3（E12）

19.50000

0.000000

A3（E13）

20.00000

0.000000

A3（E14）

20.50000

0.000000

A3（E15）

21.00000

0.000000

A3（E16）

21.50000

0.000000

A3（E17）

22.00000

0.000000

A3（E18）

22.50000

0.000000

A3（E19）

23.00000

0.000000

A3（E2O）

23.50000

0.000000

A3（E21）

24.00000

0.000000

A3（E22）

24.50000

0.000000

A3（E23）

25.00000

0.000000

A3（E24）

25.50000

0.000000

Bl（Rl）

43.00000

0.000000

Bl（R2）

59.00000

0.000000

Bl（R3）

39.00000

0.000000

Bl（R4）

41.00000

0.000000

Bl（R5）

27.00000

0.000000

Bl（R6）

28.00000

0.000000

Bl（R7）

34.00000

0.000000

Bl（R8）

21.00000

0.000000

B2（SI）

24.00000

0.000000

B2（S2）

24.00000

0.000000

B2（S3）

20.00000

0.000000

B2（S4）

25.00000

0.000000

B2（S5）

21.00000

0.000000

B2（S6）

23.00000

0.000000

B2（S7）

21.00000

0.000000

B2（S8）

18.00000

0.000000

B2（S9）

31.00000

0.000000

B2（S10）

23.00000

0.000000

B2（S11）

22.00000

0.000000

B2（S12）

59.00000

0.000000

B2（S13）

18.00000

0.000000

B2（S14）

25.00000

0.000000

B3（Tl）

35.00000

0.000000

B3（T2）

29.00000

0.000000

B3（T3）

30.00000

0.000000

B3（T4）

42.00000

0.000000

B3（T5）

28.00000

0.000000

B3（T6）

42.00000

0.000000

B3（T7）

45.00000

0.000000

B3（T8）

49.00000

0.000000

B3（T9）

50.00000

0.000000

B3（T10）

64.00000

0.000000

B3（T11）

52.00000

0.000000

B3（T12）

63.00000

0.000000

B3（T13）

49.00000

0.000000

B3（T14）

35.00000

0.000000

B3（T15）

27.00000

0.000000

B3（T16）

16.00000

0.000000

B3（T17）

12.00000

0.000000

B3（T18）

2.000000

0.000000

B3（T19）

0.000000

B3（T20）

6.000000

0.000000

B3（T21）

0.000000

B3（T22）

0.000000

B3（T23）

0.000000

B3（T24）

1.000000

0.000000

Ql（Rl）

43.00000

0.000000

Ql（R2）

59.00000

0.000000

Ql（R3）

2237500

0.000000

Ql（R4）

41.00000

0.000000

Ql（R5）

27.00000

0.000000

Ql（R6）

28.00000

0.000000

Ql（R刀

34.00000

0.000000

Ql（R8）

21.00000

0.000000

Q2（SI）

0.000000

Q2（S2）

0.000000

Q2（S3）

10.00000

0.000000

Q2（S4）

25.00000

0.000000

Q2（S5）

21.00000

0.000000

Q2（S6）

23.00000

0.000000

Q2（S7）

21.00000

0.000000

Q2（S8）

18.00000

0.000000

Q2（S9）

31.00000

0.000000

Q2（S10）

23.00000

0.000000

Q2（Sil）

22.00000

0.000000

Q2（S12）

59.00000

0.000000

Q2（S13）

18.00000

0.000000

Q2（S14）

25.00000

0.000000

Q3（Tl）

35.00000

0.000000

Q3（T2）

29.00000

0.000000

Q3（T3）

30.00000

0.000000

Q3（T4）

42.00000

0.000000

Q3（T5）

28.00000

0.000000

Q3（T6）

42.00000

0.000000

Q3（17）

45.00000

0.000000

Q3（T8）

49.00000

0.000000

Q3（T9）

50.00000

0.000000

Q3（T1O）

64.00000

0.000000

Q3（TH）

50.15789

0.000000

Q3（T12）

63.00000

0.000000

Q3（T13）

49.00000

0.000000

Q3（T14）

35.00000

0.000000

Q3（T15）

27.00000

0.000000

Q3（T16）

16.00000

0.000000

Q3（T17）

12.00000

0.000000

Q3（T18）

2.000000

0.000000

Q3（T19）

0.000000

Q3（T2O）

6.000000

0.000000

Q3（T21）

Q3（T22）

Q3（T23）

Q3（T24）

Row

0.000000

1.000000

0.000000

SlackorSurplusDualPrice

188.0000

0.000000

16.62500

0.000000

24.00000

10.00000

0.000000

1.000000

0.000000

1.842105

0.000000

0.000

展开阅读全文