平面向量的数量积的性质.docx
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平面向量的数量积的性质
半面向量的数量积的性质
【问题导思】
已知两个非零向量a,b,6为a与b的火角.
1.若ab=0,则a与b有什么关系？
【提示】ab=0,a^0,b^0,'cosA0,M90°,a±b.
2.aa等丁什么？
【提示】|a||a|cos0二|a|2.
（1）如果e是单位向量，贝Uae=ea=|a|cosa,e>；
（2）a±b?
ab=0;
（3）aa=|a|2即|a|=\[a~a；
一ab_
（4）cosa，b〉=而旧叶0）；
（5）|ab|<|a||b|.
平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
ab=ba；
（2）分配律：
（a+b）c=ac+bc；
（3）数乘向量结合律：
对任意实数入，入（a・b）=（入a）•b=a•（入b）.
I向量的数量积运算
＞例口（2013海淀高一检测）已知|a|=5,|b|=4,a与b的火角为120°,
（1）求ab；⑵求a在b方向上的射影的数量.
【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.
【自主解答】
（1）ab=|a||b|cos9
=5X4Xcos120=5x4X（一；）=—10.
5
（2）■•|a|cosA5Xcos120=—§,
5
a在b万向上的射影的数量为一2.
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“-连接，而不能用“X”连接，更不能省
略不写.
2.求平■面向量数量积的方法
（1）若已知向量的模及其火角，则直接利用公式ab=|a||b|cosQ
（2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求ab.
1.（2013玉溪高一检测）已知|a|=6,|b|=3,ab=—12,则a在b方向上的射影的数量是
（）
A.—4B.4C.—2D.2
-…一ab—122，，『
【解析】cos=面而=6^3=—3，向重a在向重b方向上的射影的数重为|a|cos=6x1—|U—4,故选A.
3
2.已知|a|=6,e为单位向量，当向量a、e之间的火角0分别等丁45,90,135时，分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.
【解】当向量a和e之间的火角0分别等丁45°,90°,135°时,
2
|a||&Cos45=6X1x2=3成;
|a||e|cos90=6x1x0=0；
|a||e|cos135=6X1x（一软=—3也.
当向量a和e之间的火角0分别等丁45°,90°,135时，a在e方向上的正射影的数量分别为：
|a|cosA6xcos45二^2;
|a|cosA6xcos90二0;
|a|cosA6xcos135二一W2.
与向量模有关的问题
＞例❷已知向量a与b的火角为120。
，且|a|=4,|b|=2,求：
（1）|a+b|;
（2）|（a+b）（a-2b）|.
【思路探究】利用aa=a2或|a|=捐求解.
自主解答】由已知ab=|a||b|cos0=4X2Xcos120二一4,a2=|a|2=16,b2=|b|2=4.
（1）.|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=16+2X（-4）+4=12,..|a+b|=2”.
⑵.（a+b）（a—2b）=a2—ab-2b2=16-（—4）-2X4=12,..|（a+b）（a-2b）|=12.
1.
2.利用aa=a2=
此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系
|a|2或|a|=寸孑，可以实现实数运算与向量运算的相互转化
设ei、e2是火角为45°的两个单位向量，且a=ei+2e2,b=2ei+e2,试求|a+b|的值.
【解】'-3+b=（e1+2e2）+（2e1+e2）=3（e1+e2）,
■|a+b|=|3（ei+e2）|=3|ei+e2|=3寸?
ei+e2?
2
=3\je2+2e1e2+e2=3^2^772.
与向量火角有关的问题
（2014济南高一检测）若向量a,b,c两两所成的角均为120°，且|a|=1,
|b|=2,|c|=3,求向量a+b与向量a+c的火角0的余弦值.
【思路探究】先利用已知条件，分别求出（a+b）（a+c）,|a+b|和|a+c|的大小，再根据
向量的火角公式求解.
【自主解答】-（a+b）（a+c）=a2+ab+ac+bc
9=1+1x2xcos120+1x3xcos120+2x3xcos120——七
|a+b|=寸?
a+b¥=\ja2+2ab+b2
=寸12+2X1X2Xcos120+22=柬,
|a+c|=\/a2+2ac+c2=由,
9
III——~I
#+b?
宓+c?
23^21
——14，
所以向量a+b与a+c的火角0的余弦值是—3121.
1.
求向量a,b火角的流程图
2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运
（1）（2014辽宁帅大附中高一检测）若向量a与b不共线，a*0,且c=a-
与c的火角为（）
⑵（2014贵州省四校高一联考
2兀兀4兀
A.yB.3C.a
）若|a|=2,|b|=4且（a+b）±a,则a与b的火角是（）
2兀
D.-—
3
2
a
a与c的火角为2,故选D.
⑵因为（a+b）±a,所以（a+b）a=a2+ab=0,即ab=—a2=—4,所以cos=
ab—41一一_2兀，，、.，
商面=2^4=—2,乂因＜a,b＞€[0,扃所以a与b的火角是耳，故选A.
【答案】
（1）D
（2）A
混淆两向量火角为钝角与两向
量数量积为负之间关系致误
卜典例设两向量⑶e2满足：
|助=2,|e21=1,e〔，e2的火角为60°.若向量2te〔+7女与向量e〔+te2的火角为钝角，求实数t的取值范围.
1一
【错解】由已知得e1e2=2x1x~=1,丁是
（2tei+7e2）（ei+1&）=2te2+（2t2+7）eie2+7te2=2t2+15t+7.
因为2tei+7e2与ei+te2的火角为钝角，
2i
所以2t2+i5t+7<0,解得—7【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但火角不是钝角而是平角.
【防范措施】若两向量的火角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为
两向量反向共线时，火角为平角，即i80；其数量积也为负.
i一
【正解】由已知侍eie2=2xix2=i,丁是
（2tei+7e?
）（ei+1e2）=2tei+（2t2+7）eie2+7te2=2t2+i5t+7.
因为2tei+7e2与ei+te2的火角为钝角，
2i
所以2t+i5t+7<0,解得—7但是，当2tei+7e2与ei+te2异向共线时，它们的火角为i80；
2
也有2t+i5t+7<0,这是不符合题意的
此时存在实数入使得
i4
2tei+7e2=*ei+te2），即2t=入且7=?
t,解得t=±2.
故所求实数t的取值范围是一乙
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a^0,
b^0,0V0<90°时），也可以为负（当a^0,b^0,90或0=90°时）.
2.数量积对结合律一般不成立，因为（ab）c=|a||b|cos〈a,b>c是一个与c共线的向量，而（ac）b=|a||c|cosa,c>b是一个与b共线的向量，两者一般不同.
3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.
i.对丁向量a,b,c和实数入下列命题中正确的是（）
A.若ab=0,WJa=0或b=0
B.若2a=0,则a=0或口0
C.若a2=b2,贝Ua=b或a=—b
D.若ab=ac，贝Ub=c
【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.
【答案】B
2.（2013安徽高考）若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b火角的余弦值为
.
【解析】由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=（a+2b）2=|a|2+4|b|2+4ab,所以ab=一
2_ab—|bf1
|b|.乂|a|=3|b|,所以cosa,b〉=丽=1^=一3.
1
【答案】-3
3
3.已知|a|=4,|b|=6,a与b的火角为60°,则向量a在向量b方向上的射影是
1
【解析】向重a在向重b方向上的射影是|a|cos60=4X^=2.
【答案】2
4.已知|a|=4,|b|=5,当
（1）a//b;
（2）a±b;（3）a与b的火角为30°时，分别求a与b的数
量积.
【解】
（1）当a//b时，若a与b同向，WJA0°,
ab=|a||b|cos0=4x5=20；
若a与b反向，WJ0=180；
ab=|a||b|cos180=4次5X（—1）=—20.
兀
⑵当a±b时，=§.
项，---
ab=|a||b|cos2=4X5X0=0.
（3）当a与b的火角为300时，
a-b=|a||b|cos300=4X5X乎=10市.
一、选择题
1.|a|=1,|b|=2,c=a+b且cLa,见Ja与b的火角为（）
A.300B.600
C.1200D.1500
【解析】cLa,设a与b的火角为0,则（a+b）a=0,所以a2+ab=0,所以a2+
|a||b|cos0=0,
1
则1+2cosM0,所以cosM—2，所以A120.放选C.
【答案】C
2.若向量a与b的火角为60°,|b|=4,且（a+2b）（a—3b）=—72,则a的模为（）
A.2B.4C.6D.12
【解析】（a+2b）（a-3b）=a2-ab-6b2
=|a|2-|a||b|cos60-6|b|2
=|a|2—2|a|-96=—72,
.•.|af—2|a|-24=0,
..|a|=6.
【答案】C
3.AABC中，ABAC<0,则△ABC是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
一一一一
【解析】.ABAC=|AB|AC|cosA<0,
•••cosA<0.-'A是钝角..,./ABC是钝角三角形.
【答案】C
4.（2014怀远高一检测）已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j,b=i+J且a与b的火角为锐角，则实数入的取值范围是（）
A.（——-2）U"—2,2）
D1
B.2+J
C.（-2,2"（3,+8）
D.「2）
【解析】ab=（i-2j）（i+j）=1-2。
0,
1
2，乂a、b同向共线时，ab>0,设此时a=kb（k>0）,贝Ui—2j=k（i+J）,
|k=1,
•.*—2,a、b火角为锐角时，入的取值范围是（一8,—2）U一2=k入
2,2故选A.
【答案】A
5.（2014皖南八校高一检测）在左OAB中，已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平■分
线l上的任一点，则OPAB=（）
A.6B.-6C.12D.-12
1
【解析】设AB的中点为M,则OPAB=（OM+MP）AB=OMAB=；（OA+OB）（OB-
OA）=2（0B2—OA2）=—6.故选B.
【答案】B
二、填空题
6.（2014北大附中高一检测）向量a与b的火角为120°,|a|=1,|b|=3,贝U|5a—b|=
.
【解析】因为ab=|a||b|cos120°=—2,所以|5a—b|2=25a2—10ab+b2=25一
3…
10x（—2J+9=49,所以|5a—b|=7.
【答案】7
7.已知a±b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与白一b垂直，见J入等丁.
【解析】...（3a+2b）±（2a-b）
..（•—b）（3a+2b）=0,
…22_
-3la+（2-3）ab—2b—0.
乂.|a|=2,|b|=3,aXb,
12计（2入一3）X2X3Xcos90—18=0,
3
.12入一18=0,.•口2
3
【答案】2
8.（2014温州高一检测）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b（a-b）=0,则|b|的取值范围是.
【解析】设a,b的火角为9,由b（a-b）=0,得|b||a|cos卜|b|2=0.解得|b|=0或|b|=|a|cos0=cos哭1,所以|b|的取值范围是[0,1].
【答案】[0,1]
三、解答题
9.已知向量a、b的长度|a|=4,|b|=2.
（1）若a、b的火角为120°,求|3a-4b|;
（2）若|a+b|=2^3,求a与b的火角Q
【解】
（1）ab=|a||b|cos1200
…c、，1/
=4X2X、一21=一4.
乂|3a-4bf=（3a—4b）2=9a2—24ab+16b2
=9X42—24X（-4）+16X22=304,
.•|3a—4b|=4而.
（2）.|a+b「=（a+b）2=a2+2ab+b2
=42+2ab+22=（2佝2,
蛭二1
..ab——4,.cosM|a||b|-4x2--2.
一一「„2兀
乂[0,tt]...。
=y.
10.已知a±b,且|a|=2,|b|=1,若有两个不同时为零的实数k,t,使得a+（t—3）b与一ka+tb垂直，试求k的最小值.
【解】'-aXb,ab=0,
乂由已知得[a+（t-3）b]（-ka+1b）=0,
22
.ka+t（t—3）b=0.
.|a|=2,|b|=1,...—4k+t（t-3）=0.
121329
••k=4（t—3t）=4（t-2）-制丰0）.
3..9
故当t=2时，k取取小值一诟.
11.（2014淄博高一检测）设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=“.
（1）求a与b火角的大小；
（2）求a+b与b火角的大小；
J3a+b|5⑶求N的值.
【解】
（1）设a与b的火角为9,（3a-2b）2=9|a|2+4|b|2—12ab=7,
1
乂|a|=|b|=1,•ab=§,
1
•|a||b|cosM2,
所八1
即cos0=2
一一,，，一、，兀
乂9€[0,两.2与b的火角为3.
⑵设a+b与b的火角为％•（a+b）b=b2+ab=1+2=|,
|a+b|=、/a27b2T2ab=寸3,|b|=1,
3
a+bbA共
-COSa==厂=d,
|a+b||b|.32
一一，，，,八兀
乂如[0,tt].-.a+b与b的火角为&
（3）（3a+b）2=9|a|2+6ab+|b「=9+3+1=13,
（3a—b）2=9|a|2—6ab+|b|2=9-3+1=7,
|3a+b|巡晅
|3a-b|—寸—7
（教师用书独具）
已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|,求证：
（a+b）±（a—b）.
【思路探究】证明a+b与a-b垂直，转化为证明a+b与a-b的数量积为零.
【自主解答】•..|2a+b|=|a+2b|,
22
..（2a+b）2=（a+2b）2,
4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2,
a2=b2,（a+b）（a—b）=a2—b2=0.
乂a与b不共线，a+b^0,a—b^0,
.•.（a+b）_L（a—b）.
1.解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b的关系.
2.非零向量ab=0?
a±b是非常重要的性质，它对丁解决平■面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的火角为60°,c=3a+5b,d=ma—3b,求当m为何值时，c与dft直？
【解】由已知得ab=3x2xcos60二3.
由cLd,得cd=0,
cd=（3a+5b）（ma—3b）
=3ma2+（5m—9）ab—15b2
=27m+3（5m-9）—60=42m—87.
29.42m—87=0,•m=何
即m=29时，c与d垂直.
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