学科奥数综述.docx

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学科奥数综述

学科：

奥数

教学内容：

计算综合

计算问题是学习数学必不可少的一个环节。

无论是要学好课内知识，还是要学好奥林匹克数学，解决好计算问题，都是一个很重要的因素。

要掌握较复杂的各类计算，不仅需要熟练的掌握各类运算法则、定律、性质，还需要掌握各类运算的技巧。

关键要对题目进行认真的观察，识别算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活地运用运算定律，使计算变得简单易行。

因此，解决好计算问题，对于开拓学生的视野，启迪学生的思维，培养学生综合应用知识的能力，将会起到重要的作用。

一、利用法则进行运算

在很多的数学竞赛中，经常出现这样一类的运算。

从算式的特征和各数的关系上，并不具备简算和巧算的特点。

这类计算通常是考察同学们的运算能力。

这类题目通常数目较大，并且计算较繁琐，在解题的过程中需要同学们要有足够的耐心，并且要具有扎实的基本功。

例1计算：

分析：

这道题目计算步骤较多，同时又不具备简算和巧算的条件，主要是考察同学们的计算能力。

但在计算的过程中，同学们也要注意合理地运用法则，恰当地使用通分和约分及分数和小数转化的手段，从而使计算变得相对简单，提高计算的准确性。

解答：

说明：

本道例题选自《第八届华罗庚金杯复赛》的第一题，不难看出要准确地解答这道题目，要求学生具备扎实的基本功。

但是“硬算”并不等于傻算。

如果能像解答中合理的控制分数与小数的转化，掌握好约分和通分的时机，也可以使解答变得相对简单。

二、合理、灵活地运用所学的定律和性质进行计算

在较复杂的运算中，利用所学的运算定律和性质进行简算和巧算，是很常见的一种变化类型。

由于一般情况下数比较大，运算比较复杂，因此要求学生要善于观察数与运算符号的特点。

抓住它们之间的联系，合理地运用定律和性质。

例2计算：

分析：

这道例题初看时，并不具备简算的特点，但是仔细观察可以看出两步乘法运算中分数的分母都是19；并且两步乘法运算之间的运算是加法，具备乘法分配率逆运算的运算特征。

如果能找出公因数，就可以进行简算。

进一步观察可以看出；，从而发现公因数，因此可以利用乘法分配率进行运算。

解答：

说明：

竞赛中的题目，通常难度都较大，需要同学们要善于捕捉题目中可利用的条件。

只有善于观察的人，才有可能找到解题的捷径。

但是值得注意的是运用定理和性质必须要合理，不能够为了简算随意编造，这样反而会适得其反。

三、学会使用完全平方公式和平方差公式

完全平方公式和平方差公式在小学的课程并不要求掌握，但是在小学的数学竞赛的计算中，它们却起着相当重要的作用。

这就要求同学们很好的了解并掌握它们。

学会使用这两个公式，将使一些看似复杂的计算变得相对简单。

下面我们首先了解这两个公式的具体内容：

平方差公式：

完全平方公式：

在使用这两个公式时，既可以正向使用，又可以逆向使用。

值得注意的是在使用时，同学们一定要注意计算过程中运算的特点和数的特征。

只有恰当地合理地使用公式，才会起到事半功倍的效果。

例3

分析：

不难看出这道题如果按部就班的进行计算，将会非常复杂。

了解了平方差公式的特点，就可以发现恰好符合平方差公式的特征。

利用公式对算式进行转化，将会使计算变得简单。

解答：

说明：

可以看出，由于合理地利用了平方差公式对算式进行了转化，从而使计算变得相对简单。

但要注意的是（100+99）×（100－99）并没有立刻计算成199，而是在计算时充分利用了数列的特点，将计算转化成了1至100的等差数列，从而使计算变得更加简单。

因此，在使用公式的时候要相对灵活，随时观察运算的特征，善于抓住任何可利用的有利条件。

例4计算：

分析：

这道题数目很大，按常规进行计算很难解决。

尤其是题目中的两个平方数，更是难于计算出结果，分子和分母之间又不具备公因数，不能通过约分使数目简化。

这样一道看似无法解决的题目，如果利用完全平方公式进行合理的转化，就可以使它得以解决。

分母中的200220022可以看成（20022000+2）2=20020002+2×2×20022000+22，这时，分母中的20022002就利用完全平方公式转化成了20022000，再加上分母中本身含有的1个20022000，就可以将分母进一步进行转化，从而确定分母与分子之间的联系，使计算简化，并且得以进行。

解答：

说明：

本道例题选自2002年我爱数学少年夏令营计算竞赛的第7题。

在解答的过程中，巧妙的利用了完全平方公式。

通过合理的转化，使分母中的20022002转化成了20022000，并在此基础上又进行了二次转化，从而得到了分子与分母的公因数20022001，通过约分使计算

得以进行。

题目中公式的使用，隐蔽性很强，需要同学们很好的观察分子与分母数的特征，并根据数之间的联系及运算的特点，合理的选择公式进行使用。

四、巧用字母进行计算

在我们常见的复杂计算中，很多计算数目很大，或者运算很烦琐。

其中有一类情况，就是算式中部分运算或数目相同或相近。

在这种情况下，完全可以利用字母来代替这些相同或相近的运算或数目，从而使运算简化。

例5计算：

分析：

通过观察不难发现，算式中有许多运算和数，多次重复的出现。

如果按正常情况展开计算，不仅繁琐，而且很容易出现重复或遗漏。

容易造成不必要的错误。

如果利用字母来代定相同的算式，并且利用字母来进行计算。

不仅可以使计算简化，避免了重复的环节，而且大大降低了运算的难度、减少了出错的可能。

解答：

设；。

说明：

从解答可以看出，利用字母进行计算，减少了中间的环节，降低了错误率。

但值得注意的是，设定字母要恰当，不是越多越好，设定字母的数量要根据需要，以能够使计算简化为标准。

在这道例题中，设定一个或两个字母均可以。

设定字母过多，有时不能达到简算的目的。

五、要善于运用转化

在前面的例题中，其实我们已经多次提到过转化的问题。

合理的利用定律和性质对运算进行拆解或合并，转化运算的形式，从而使计算简化。

这里，我们再次强调转化的问题，主要是指在解题过程中，合理的转化问题的途径。

通常在没有定律和性质可以利用的前提下，通过转化问题，使复杂的计算得以解决。

例6计算：

分析：

这道题目通过观察不难看出，通分是一个很困难的环节，如果2的次方数再大一些，解决起来就更加困难。

同时，并不具备性质和定律可以使计算简化。

这时，我们不妨通过转化问题，使计算得以简化。

如果我们给算式乘2可以发现算式中每一个加数都相应扩大，再利用错位加减法减去原式，抵消掉中间项。

从而使看似简单的问题变得简单了。

解答：

说明：

通过例题的分析和解答可以发现，利用问题的转化，计算变得简单了。

这需要同学们在遇到计算困难时，要随时具有转化的意识。

只要善于把复杂的问题进行合理的转化，才有可能使复杂的问题得以解决。

阅读材料

趣味24点

“趣味24点”源自于一种“抢24点”的扑克牌游戏。

随机产生的四个数通过四则计算（每个数只能使用一次），使

其结果为24.本游戏对培养我们的注意力、计算力（尤其是心算能力），开阔我们的思路，大有益处。

把下面每组中的四个数按规定组成“24”：

（1）2，5，7，9；

（2）1，5，5，5；

（3）4，4，10，10；

（4）1，3，9，10．

练习题

1．计算：

解答：

2．计算：

解答：

3．计算：

解答：

说明：

题目的解答过程中，运用了乘法的分配率，把看似不相关的分子和分母联系了起来。

当然，这道题转化分母也可以达到同样的效果。

4．计算：

333×332332333－332×333333332

解答：

原式=333×（332×1001001＋1）－332×（333×1001001－1）

=333×332×1001001＋333－332×333×1001001＋332

=333＋332

=665

说明：

第四题和第三题一样都运用了乘法的分配率。

但是与第三题不同的是这道题更侧重因数的组成。

只有观察到因数的组成规律，才有可能使简算得以实施。

5．计算：

解答：

6．计算：

解答：

说明：

本题的解答合理的运用了平方差公式，对算式进行了转化。

与例题不同的是，转化后根据分子和分母的特点，利用乘法的交换律、结合律，对算式进行了分类和组合，从而使计算变得更为简便。

7．计算：

解答：

说明：

这道题目在解答过程中，既利用完全平方公式的逆向使用，又利用了平方差公式。

解题的关键在于同学们对公式特征的熟悉程度。

以及对算式的重新构造。

只有合理的构造出符合公式应用的条件，才可以顺利的使用公式。

8．计算：

解答：

设

说明：

这道题目利用了字母代定算式进行计算，使问题的解决得到了简化。

值得注意的是在字母运算的过程中遇到了减法性质的应用，这时运算符号的变化是比较易错的，解题时要格外小心。

9．计算：

解答：

设，

那么，

说明：

本题的解答利用了合理的转化，通过错位相减，抵消掉了许多中间项，从而使计算简便。

但与例题不同的是数列并不是连续变化的，因此，在抵消时要认真注意数的变化。

切不可简单套用。

10．计算：

解答：

因为，所以

说明：

在计算过程中，有些公式平时并不经常使用，或者有时被遗忘掉。

这时同学们根据题目中的规律，自己进行推导。

然后，根据推导出的公式或规律，对运算进行相应的转化。

从而达到简化运算的目的。