高数之函数.docx

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高数之函数

函数

余切函数

对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯

一确定的余切值cotx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余切函数。

余切函数的定义

形式是f（x）=cotx=

余切函数的图像

在平面直角坐标系中，函数y=cotx的图像叫做余切曲线。

具体图像如附图示，它是由相互平行的x=kπ（k∈Z）直线隔开的无穷多支曲线所组成的。

正切函数和余切函数是关于x=kπ/2（k∈Z）对称的，也就是说cotx=tan（-x+π/2），性质和正切函数的性质基本一样。

利用三角比也可定义余切函数y=cotx=x/y

余切函数的性质

（1）、定义域：

{x|x≠kπ，k∈Z}；

（2）、值域：

R

（3）、奇偶性：

奇函数；

可由诱导公式cot（－x）=－cotx推出。

图像关于（kπ/2,0）k∈z对称，实际上所有的零点和使cotx无意义的点都是它的对称中心。

（4）、周期性；

是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π；

（5）、单调性；

在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性。

（6）、对称性。

中心对称：

关于点（kπ/2,0）k∈Z成中心对称。

正割函数（secant /ˈsiːkənt/）

正割指的是直角三角形,斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec（角）表示。

正割是余弦函数的倒数

定义

设△ABC，∠C=90°（初中是锐角三角函数）AC=b，BC=a，AB=c，正割函数：

sec∠A=c/b（斜边/邻边），y=secx。

在y=secx中，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为（x，y）。

在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线。

正割函数图像（值域：

（-∞,-1]∪[1,+∞））

性质

sec在三角函数中表示正割

直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割，用sec（角）表示。

正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数。

即：

secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ

在y=secθ中，以x的任一使secθ有意义的值与它对应的y值作为（x，y）．在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像，也叫正割曲线．

y=secθ的性质：

（1）定义域,θ不能取90度,270度,-90度,-270度等值;即为{θ| θ≠kπ+π/2（k∈Z）}

（2）值域,|secθ|≥1．即secθ≥1或secθ≤－1;

（3）y=secθ是偶函数，即sec（－θ）=secθ．图像对称于y轴;

（4）y=secθ是周期函数．周期为2kπ（k∈Z，且k≠0），最小正周期T=2π．

余割函数（cosecant /kəʊˈsiːkənt/）

一个角的顶点和该角终边上另一个任意点之间的距离除以后一个点的非零纵坐标所得之商，这个角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，而其始边则与正X轴重合。

记作cscx.它与正弦的比值表达式互为倒数。

余割的函数图像为奇函数，且为周期函数。

定义域

{x|x≠kπ，k∈Z}

值    域

{y|y≥1或y≤-1}

性质

1、在三角函数定义中，cscα=r/y

　　2、余割函数与正弦互为倒数：

cscx=1/sinx

　　3、定义域：

{x|x≠kπ，k∈Z}

　　4、值域：

{y|y≥1或y≤-1}

　　5、周期性：

最小正周期为2π

　　6、奇偶性：

奇函数。

　　（图像渐近线为：

x=kπ余割函数与正弦函数互为倒数）

函数定义

对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的余割值cscx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余割函数。

记作f（x）=cscx

f（x）=cscx=1/sinx

函数图象：

函数性质

1、定义域：

{x|x≠kπ，k∈Z}

2、值域：

{y|y≤-1或y≥1}

3、奇偶性：

奇函数

4、周期性：

最小正周期为2π

图像渐近线为：

x=kπ，k∈Z

反三角函数

反三角函数的主值：

三角函数的反函数，是多值函数。

它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx，反正割Arcsecx=arc（1/cosx），反余割Arccscx=arc（1/sinx）等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2

例如ArcSin[1/2]=π/6+2k*π,k取任意整数,而π/6,就是主值。

分类

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是

 。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2

反正弦函数

y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

绿的为y=arccos（x）红的为y=arcsin（x）

y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1]，值域[0，π]。

反正切函数

y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反余切函数

y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx

绿的为y=arccot（x）红的为y=arctan（x）

，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。

定义域R，值域（0，π）。

反正割函数

y=secx在[0,π/2）U（π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。

记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2）U（π/2,π]区间内。

定义域（-∞,-1]U[1,+∞）,值域[0,π/2）U（π/2,π]。

反余割函数

y=cscx在[-π/2,0）U（0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。

记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0）U（0,π/2]区间内。

定义域（-∞,-1]U[1,+∞）,值域[-π/2,0）U（0,π/2]。

反正弦函数

函数y=sinx，x∈[-1，1]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.

定义

函数y=sinx，x∈[-1，1]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.

习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式

请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。

这点必须牢记

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的

定义域 [-1，1]

arcsin图像

值域 [－π/2，π/2]

是单调递增函数

图像关于原点对称，是奇函数

所以有arcsin（-x）=-arcsinx，注意x的取值范围:

x∈[-1，1]

导函数：

，导函数不能取|x|=1

单调性

在x，y∈[-π/2,π/2]x

sinx-siny=2sin[（x-y）/2]cos[（x+y）/2]

∵2sin[（x-y）/2]∈[-π,0]<>0cos[（x+y）/2]∈[-π,0]><0

∴sinx-siny<0,sinx

奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函数，∴y=arcsina也是奇函数

反余弦函数

函数y=cosx（x∈[0,π]）的反函数叫做反余弦函数，

记作y=arccosx（x∈[-1,1]）.

反余弦函数图像

简介

符号arccosx（|x|≤1）表示属于[0,π]的唯一确定的一个角，这个角的余弦恰好等于x.

定义域：

[-1,1]值域:

[0,π]单调性:

减函数奇偶性:

非奇非偶函数

arccos（-x）=π-arccosx=arcsinx+π/2

arccos（cosx）=x

cos（arccosx）=x

导函数

反正切函数

定    义：

函数y=tanx定义域：

R单调性：

增函数

定义

函数y=tanx,（x∈R）的反函数，记作y=arctanx，叫做反正切函数。

其值域为（-π/2,π/2）。

反正切函数是反三角函数的一种。

同样，由于正切函数y=tanx在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。

注意这里选取是正切函数的一个单调区间。

性质

定义域：

R值域：

（-π/2,π/2）单调性：

增函数奇偶性：

奇函数

周期性：

不是周期函数单调性：

（－∞，﹢∞）单调递增

tan（arctana）=a

arctan（-x）=-arctanx

arctanA+arctanB

=arctan（A+B）/（1-AB）

arctanA-arctanB

=arctan（A-B）/（1+AB）

反三角函数在无穷小替换公式中的应用：

当x→0时，arctanx~x

图像

反正切函数的大致图像如图所示，显然与函数y=tanx,（x∈R）关于直线y=x对称，且渐近线为y=π/2和y=-π/2

反余切函数

定义域R值域（0,π）单调性减函数

奇偶性既不是奇函数，也不是偶函数

反余切函数介绍

余切函数y=cotxx∈（0,，π）的反函数叫做反余切函数,记做:

y=arccotx.

图像大致为

反余切函数性质

1、反余切函数y=arccotx在定义域R内是减函数。

2、2、反余切函数y=arccotx既不是奇函数，也不是偶函数。

3、由诱导公式和反余切函数的定义得：

arccot（-x）=π-arccotx。

可应用此公式计算负值的反余切。

4、反余切函数y=arccotx的一阶导数为y'=-1/（1+x*x）。