材料力学题目及答案文件doc.docx
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材料力学题目及答案文件doc
第3章弹性杆件横截面上的正应力分析
3－1桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。
试求杆CE和杆DE横
截面上的正应力。
解：
图（a）中，
4
cos
（1）
5
15kN5kN
4m
3m
截面法受力图（a）
15kN5kN
M，FCE4（155）30
（2）
0
D
CD
FCE=15kN
F，FDEcos40（3）
0
x
F
DE
（1）代入（3），得FDE=50kN
F
CE
3
F1510
CE
∴CE15MPa
A0.020.05
（a）
FDE
50
MPa
DE
A
习题3-1图
3－2图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p=10kN/m，在自由端D
-4m2，l=4m。
试求：
处作用有集中呼FP=20kN。
已知杆的横截面面积A=2.0×10
40
1．A、B、E截面上的正应力；
Nx
AF（kN）
2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
解：
由已知，用截面法求得
E30
FNA=40kN
FNB=20kN
FNE=30kN
C
20
3
F4010
NA
（1）A200MPa
A2.010
4
B
FB
N
BMPa
100
A
D
FE
N
EMPa
150
A
（a）
（2）maxA200MPa（A截面）
习题3-2图
3－3图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。
试：
1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；
2．若已知d=25mm，D=60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec=105GPa和Ea=70GPa，FP=171kN。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
解：
1．变形谐调：
F
Nc
E
c
A
c
F
E
a
Na
A
a
（1）
FNcFF
（2）
NaP
F
EA
cc
NcF
P
EAEA
ccaa
F
EA
aa
NaF
P
EAEA
ccaa
F
Nc
E
c
F
P
E
c
F
P
c
A
E
A
E
A
c
c
c
a
a
∴
FEF
Naa
E
c
πd
4
2
E
a
π
4
22
（Dd）
P
a
A
a
E
c
πd
4
2
E
a
22
π（Dd）
4
习题3-3图
93
41051017110
2．c83.5MPa
92922
1050
10π.0257010π（0.060.025）
ac
E
a
E
c
83.5
70
105
55
.6
MPa
3－4图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
试：
1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；
—58—
2．已知FP=385kN；Ea=70GPa，Es=200GPa；b0=30mm，b1=20mm，h=50mm。
求铝板与钢板横
截面上的最大正应力。
解：
变形谐调：
F
E
s
Ns
A
s
F
E
a
Na
A
a
（1）
FNsFF
（2）
NaP
F
Ns
E
s
E
s
A
s
A
s
E
a
A
a
F
P
F
Na
E
s
E
A
s
a
A
a
E
a
A
a
F
P
1．
s
F
Ns
A
s
Ebh
s0
E
s
F
P
E
a
E
F
s
P
2bhbhE2bhE
10s1
a
FE
Na
F
a
P
习题3-4图
a
A
a
bhE
0
s
2bhE
1
a
93
200038510
2．s175MPa（压）
99
0.030.052001020.020.057010
a
175
E
s
E
a
175
70
200
61
.25
MPa（压）
3－5从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。
试求下列两种情形下h与b的比值：
1．横截面上的最大正应力尽可能小；
2．曲率半径尽可能大。
解：
1．
MMz6Mz
z
W
z
bh
2bd2b
（
2
）
6
dWz2322
d
（bdb）d3b
dbdb
0
b
3
3
d
2
2222
hdbd3
h
∴2
b
（正应力尽可能小）
习题3-5图
2．
1
M
zEI
z
z
I
z
3dhh
22
bh
1212
3
dI
z，得
0
dh
h
2
3
4
d
2
1
2222
bdhd4
h
∴3
b
（曲率半径尽可能大）
3－6梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。
梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。
设正方形
截面时，梁内最大正应力为
0；去掉上、下角后，最大正应力变为maxk0，试求：
1．k值与h值之间的关系；
2．max为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。
解：
4
h
0
Izh，
0
3
Wz
0
3
h
0
3
M3M
zz
00max
W
3
0h
0
z
I
4
h
h
0
02
zhI22（）d
zhz0
2Iyhyy
00
3
h
习题3-6图
—59—
4
h
0
3
4
3
h
0
（h
3
0
h
3
）
（
4
h
0
h
4
）
4
3
h
0
34
hh
h
3
（
4
3
h
0
h）
MM
zz
maxhmax
W
h
h
2
4
（h0
3
h）
3
h
0
33
hh3
k
（1）
max00
44
2
h（4h3h）22
0
h（hh）3h（hh）
0
00
33
dW
h
dh
d（
2
h
（
4
3
dh
h
0
h））
4
3
h
0
2h
2
3h
0
88
h（h0h，h=0（舍去），0
3）0hh39
3
h1813
0
代入
（1）：
0.492
k
8888
64（128）22
（h）（4h3h）（）（4）
000
9993
6
4，其3－7工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz=20kN·m一个内力分量，Iz=11.3×10mm
他尺寸如图所示。
试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。
解：
F
MM
zz
NxddydA
Ax
AyA
II
AzAz
12
2
M
I
0.070.080
z0.006d0.088d
yyyy
00.07
z
M
I
z
z
6
1
2
70
1
2（802702）10
88
2
9
3
20109222
1037044（8070
6
11.310
）
14310
3kN
143
|N*
F|y
xc
M
2
z
习题3-7图
y
c*
2
20
143
0.0699m70mm
即上半部分布力系合力大小为143kN（压力），作用位置离中心轴y=70mm处，即位于腹板与翼缘交
界处。
3－8图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力
y存在，且沿梁长均匀分布。
试：
1．导出y（y）的表达式；
y
h
2．证明：
maxmax
yx
4
，为中性面的曲率半径。
解：
1．先求y（y）表达式：
F0
y
y
F
y2y
2
yyhx
1dcossin1d
0
2
2
2
yMM
zz
即d0
2y2ysiny，（y
sin
y
h
x）
2I2I
zz
2
习题3-8图
y
O'
2
M
12h
z
即）0
2sin2sin（y
yy
2I224
z
-
2
2
22
d
2
Mh
z
2
∴y）（a）
（y
2I4
yz
x
yx
O
2
x
d
y，得y=0，则2．由（a）式，令0
dy
（a）
—60—
y,max
8
h
2
M
I
y
z
z
4
h
y
M
I
z
z
4
h
y
M
W
z
z
4
h
xmax
（b）
h
2
3－9图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试：
1．导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；
2．已知D1=20mm，D2=36mm，D3=44mm；Mz=800N·m；Es=210GPa，Ea=70GPa。
求钢管和铝
和铝管横截面上的最大正应力
max。
解：
静力平衡：
M
a
（1）
MM
sz
变形谐调：
a得
s
M
E
a
a
I
a
M
s
E
I
s
s
（2）
44
π（DD）
32
I，
a
64
44
π（D
D）
21
I（3）
s
64
由
（2）
EI
aa
M（4）
aM
s
EI
ss
EI
a）
a
代入
（1），得MMz
（1
s
EI
ss
习题3-9图
M
s
E
E
s
I
s
s
I
s
M
E
z（5）
I
aa
EI
aa
∴Mz
Ma（6）
EIEI
ssaa
1．
s
M
I
s
s
y
E
s
E
s
I
s
M64EMy
z，（
sz
y
4444
EI[E（DD）E（DD）]
π
aa
s21a32
D
1D
2
y
22
）
a
MEMz64EMz
aaa
yy
IEIEI
πD
44
[E（D）E
assaa
s21
y
（
a
D
4
3
D
4
2
）]
，（
D
2D
3
y
22
）
3
642108001810
2．s133MPa
max
444412
π[210（3620）70（4436）]10
3
64708002210
aMPa
max
54.1
444412
π
[210（3620）70（4436）]10
3－10由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。
已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec=2Et；Mz=600N·m。
试求：
1．梁内最大拉、压正应力；
2．中性轴的位置。
解：
根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化
∵Ec=2Et，E
∴沿截面高度直线的斜率不同∴中性轴不过截面形心。
1．确定中性轴位置。
设拉压区高度分别为ht、hc
11
由F0，得：
chbhb0
maxctmaxt
x
22
习题3-10图
即
c
t
max
max
h
t
h
c
h
h
c
h
c
（1）
CC
又∵
E2
c2
maxccmaxcmax
E
tmaxttmaxtmax
h
c
h
t
（2）
h
C
由
（1）、
（2），得
h
h
h
c
c22h
h
c
hh
t
c
h
c
即
2
（hhh
c）2
2
c
h
h
c
t
（
（
2
2
1）h
2）h
41
58
.4
.6
mm
mm
（中性轴的位置）
ht
tt
（a）
2．
M
zyAyAyEAyEAyEAyEA
tcttcctttc
ddddd2d
AAAAAA
tctctc
—61—
E
t
A
t
y
t
yyE
t
dA2ydAEydA2ydA（It2Ic
ct
AAA
ctc
）
33
3
bhbhbh
tc
其中I2I2（642）
tc
333
∴
1
M
z
Et（I2I
t
）
c
∴
cmax
E
c
h
c
EM
c
EI
tt
z
2I
c
h
c
I
t
2
M
z
I
2
c
h
c
3
260041.410
MPa（压）8.69
3
50
100
3
（642）10
12
3
EM600（22）10010
tzMPa（拉）∴th6.15
h
maxtt
I2I50100
3
tc12
10（642）3
3－11试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。
解：
（a）为拉弯组合
F
P
4
F
P
a
a
a
F
P
4
3a
3
3
2
aa（a）
22
6
2
（b）为单向拉伸
F
P
b2
a
∴
a
b
4
3
习题3-11图
3－12桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力：
1．在点1、2、3处均有40kN的压缩载荷；
2．仅在1、2两点处各承受40kN的压缩载荷；
3．仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。
3
F4010
解：
2.67
NxMpa
6
A2007510
3
M40100.125
zMPa40
W
2
75100
9
106
3
3F34010
Nx
1．A8MPa
B
A20075
125
2
3
8010
3
2FM24010
Nxz
2．A15.3MPa
2
AW20075
75200
习题3-12图
6
3．在点1加载：
33
FM40104010125
Nxz
AMPa
12.67
2
AW2007575200
6
33
FM40104010125
Nx
z
B7.33MPa
2
AW2007575200
6
由对称性，得
在3点加载：
A7.33MPa，B12.67MPa
3－13图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚=5mm，管在两端承受轴向载荷FP。
已知开孔
处截面的形心为C，形心主惯性矩
4，Fp=25kN。
试求：
6
I0.17710m
z
1．开孔处横截面上点F处的正应力；
—62—
2．最大正应力。
解：
FNxFP25kN
3
MzN·m
F（2518.57）10160.75
p
66
2
Am
（5052405）1070010
FM
Nxz3
1．18.571018.85
F
AI
z
MPa
2．
max
FNx
A
M
z
3
（5018.57）10I
z
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