材料力学题目及答案文件doc.docx
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材料力学题目及答案文件doc
第3章弹性杆件横截面上的正应力分析
3-1桁架结构受力如图示,其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。
试求杆CE和杆DE横
截面上的正应力。
解:
图(a)中,
4
cos
(1)
5
15kN5kN
4m
3m
截面法受力图(a)
15kN5kN
M,FCE4(155)30
(2)
0
D
CD
FCE=15kN
F,FDEcos40(3)
0
x
F
DE
(1)代入(3),得FDE=50kN
F
CE
3
F1510
CE
∴CE15MPa
A0.020.05
(a)
FDE
50
MPa
DE
A
习题3-1图
3-2图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷,其集度p=10kN/m,在自由端D
-4m2,l=4m。
试求:
处作用有集中呼FP=20kN。
已知杆的横截面面积A=2.0×10
40
1.A、B、E截面上的正应力;
Nx
AF(kN)
2.杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。
解:
由已知,用截面法求得
E30
FNA=40kN
FNB=20kN
FNE=30kN
C
20
3
F4010
NA
(1)A200MPa
A2.010
4
B
FB
N
BMPa
100
A
D
FE
N
EMPa
150
A
(a)
(2)maxA200MPa(A截面)
习题3-2图
3-3图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆,轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。
试:
1.写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式;
2.若已知d=25mm,D=60mm;铜和铝的单性模量分别为Ec=105GPa和Ea=70GPa,FP=171kN。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
解:
1.变形谐调:
F
Nc
E
c
A
c
F
E
a
Na
A
a
(1)
FNcFF
(2)
NaP
F
EA
cc
NcF
P
EAEA
ccaa
F
EA
aa
NaF
P
EAEA
ccaa
F
Nc
E
c
F
P
E
c
F
P
c
A
E
A
E
A
c
c
c
a
a
∴
FEF
Naa
E
c
πd
4
2
E
a
π
4
22
(Dd)
P
a
A
a
E
c
πd
4
2
E
a
22
π(Dd)
4
习题3-3图
93
41051017110
2.c83.5MPa
92922
1050
10π.0257010π(0.060.025)
ac
E
a
E
c
83.5
70
105
55
.6
MPa
3-4图示由铝板钢板组成的复合材料柱,纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
试:
1.导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式;
—58—
2.已知FP=385kN;Ea=70GPa,Es=200GPa;b0=30mm,b1=20mm,h=50mm。
求铝板与钢板横
截面上的最大正应力。
解:
变形谐调:
F
E
s
Ns
A
s
F
E
a
Na
A
a
(1)
FNsFF
(2)
NaP
F
Ns
E
s
E
s
A
s
A
s
E
a
A
a
F
P
F
Na
E
s
E
A
s
a
A
a
E
a
A
a
F
P
1.
s
F
Ns
A
s
Ebh
s0
E
s
F
P
E
a
E
F
s
P
2bhbhE2bhE
10s1
a
FE
Na
F
a
P
习题3-4图
a
A
a
bhE
0
s
2bhE
1
a
93
200038510
2.s175MPa(压)
99
0.030.052001020.020.057010
a
175
E
s
E
a
175
70
200
61
.25
MPa(压)
3-5从圆木中锯成的矩形截面梁,受力及尺寸如图所示。
试求下列两种情形下h与b的比值:
1.横截面上的最大正应力尽可能小;
2.曲率半径尽可能大。
解:
1.
MMz6Mz
z
W
z
bh
2bd2b
(
2
)
6
dWz2322
d
(bdb)d3b
dbdb
0
b
3
3
d
2
2222
hdbd3
h
∴2
b
(正应力尽可能小)
习题3-5图
2.
1
M
zEI
z
z
I
z
3dhh
22
bh
1212
3
dI
z,得
0
dh
h
2
3
4
d
2
1
2222
bdhd4
h
∴3
b
(曲率半径尽可能大)
3-6梁的截面形状为正方形去掉上、下角,如图所示。
梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。
设正方形
截面时,梁内最大正应力为
0;去掉上、下角后,最大正应力变为maxk0,试求:
1.k值与h值之间的关系;
2.max为尽可能小的h值,以及这种情形下的k值。
解:
4
h
0
Izh,
0
3
Wz
0
3
h
0
3
M3M
zz
00max
W
3
0h
0
z
I
4
h
h
0
02
zhI22()d
zhz0
2Iyhyy
00
3
h
习题3-6图
—59—
4
h
0
3
4
3
h
0
(h
3
0
h
3
)
(
4
h
0
h
4
)
4
3
h
0
34
hh
h
3
(
4
3
h
0
h)
MM
zz
maxhmax
W
h
h
2
4
(h0
3
h)
3
h
0
33
hh3
k
(1)
max00
44
2
h(4h3h)22
0
h(hh)3h(hh)
0
00
33
dW
h
dh
d(
2
h
(
4
3
dh
h
0
h))
4
3
h
0
2h
2
3h
0
88
h(h0h,h=0(舍去),0
3)0hh39
3
h1813
0
代入
(1):
0.492
k
8888
64(128)22
(h)(4h3h)()(4)
000
9993
6
4,其3-7工字形截面钢梁,已知梁横截面上只承受Mz=20kN·m一个内力分量,Iz=11.3×10mm
他尺寸如图所示。
试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。
解:
F
MM
zz
NxddydA
Ax
AyA
II
AzAz
12
2
M
I
0.070.080
z0.006d0.088d
yyyy
00.07
z
M
I
z
z
6
1
2
70
1
2(802702)10
88
2
9
3
20109222
1037044(8070
6
11.310
)
14310
3kN
143
|N*
F|y
xc
M
2
z
习题3-7图
y
c*
2
20
143
0.0699m70mm
即上半部分布力系合力大小为143kN(压力),作用位置离中心轴y=70mm处,即位于腹板与翼缘交
界处。
3-8图示矩形截面(b·h)直梁,在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲,且不超出弹性范围,假定在梁的纵截面上有y方向正应力
y存在,且沿梁长均匀分布。
试:
1.导出y(y)的表达式;
y
h
2.证明:
maxmax
yx
4
,为中性面的曲率半径。
解:
1.先求y(y)表达式:
F0
y
y
F
y2y
2
yyhx
1dcossin1d
0
2
2
2
yMM
zz
即d0
2y2ysiny,(y
sin
y
h
x)
2I2I
zz
2
习题3-8图
y
O'
2
M
12h
z
即)0
2sin2sin(y
yy
2I224
z
-
2
2
22
d
2
Mh
z
2
∴y)(a)
(y
2I4
yz
x
yx
O
2
x
d
y,得y=0,则2.由(a)式,令0
dy
(a)
—60—
y,max
8
h
2
M
I
y
z
z
4
h
y
M
I
z
z
4
h
y
M
W
z
z
4
h
xmax
(b)
h
2
3-9图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管,在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲,试:
1.导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式;
2.已知D1=20mm,D2=36mm,D3=44mm;Mz=800N·m;Es=210GPa,Ea=70GPa。
求钢管和铝
和铝管横截面上的最大正应力
max。
解:
静力平衡:
M
a
(1)
MM
sz
变形谐调:
a得
s
M
E
a
a
I
a
M
s
E
I
s
s
(2)
44
π(DD)
32
I,
a
64
44
π(D
D)
21
I(3)
s
64
由
(2)
EI
aa
M(4)
aM
s
EI
ss
EI
a)
a
代入
(1),得MMz
(1
s
EI
ss
习题3-9图
M
s
E
E
s
I
s
s
I
s
M
E
z(5)
I
aa
EI
aa
∴Mz
Ma(6)
EIEI
ssaa
1.
s
M
I
s
s
y
E
s
E
s
I
s
M64EMy
z,(
sz
y
4444
EI[E(DD)E(DD)]
π
aa
s21a32
D
1D
2
y
22
)
a
MEMz64EMz
aaa
yy
IEIEI
πD
44
[E(D)E
assaa
s21
y
(
a
D
4
3
D
4
2
)]
,(
D
2D
3
y
22
)
3
642108001810
2.s133MPa
max
444412
π[210(3620)70(4436)]10
3
64708002210
aMPa
max
54.1
444412
π
[210(3620)70(4436)]10
3-10由塑料制成的直梁,在横截面上只有Mz作用,如图所示。
已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec,且已知Ec=2Et;Mz=600N·m。
试求:
1.梁内最大拉、压正应力;
2.中性轴的位置。
解:
根据平面假设,应变沿截面高度作直线变化
∵Ec=2Et,E
∴沿截面高度直线的斜率不同∴中性轴不过截面形心。
1.确定中性轴位置。
设拉压区高度分别为ht、hc
11
由F0,得:
chbhb0
maxctmaxt
x
22
习题3-10图
即
c
t
max
max
h
t
h
c
h
h
c
h
c
(1)
CC
又∵
E2
c2
maxccmaxcmax
E
tmaxttmaxtmax
h
c
h
t
(2)
h
C
由
(1)、
(2),得
h
h
h
c
c22h
h
c
hh
t
c
h
c
即
2
(hhh
c)2
2
c
h
h
c
t
(
(
2
2
1)h
2)h
41
58
.4
.6
mm
mm
(中性轴的位置)
ht
tt
(a)
2.
M
zyAyAyEAyEAyEAyEA
tcttcctttc
ddddd2d
AAAAAA
tctctc
—61—
E
t
A
t
y
t
yyE
t
dA2ydAEydA2ydA(It2Ic
ct
AAA
ctc
)
33
3
bhbhbh
tc
其中I2I2(642)
tc
333
∴
1
M
z
Et(I2I
t
)
c
∴
cmax
E
c
h
c
EM
c
EI
tt
z
2I
c
h
c
I
t
2
M
z
I
2
c
h
c
3
260041.410
MPa(压)8.69
3
50
100
3
(642)10
12
3
EM600(22)10010
tzMPa(拉)∴th6.15
h
maxtt
I2I50100
3
tc12
10(642)3
3-11试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。
解:
(a)为拉弯组合
F
P
4
F
P
a
a
a
F
P
4
3a
3
3
2
aa(a)
22
6
2
(b)为单向拉伸
F
P
b2
a
∴
a
b
4
3
习题3-11图
3-12桥墩受力如图所示,试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力:
1.在点1、2、3处均有40kN的压缩载荷;
2.仅在1、2两点处各承受40kN的压缩载荷;
3.仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。
3
F4010
解:
2.67
NxMpa
6
A2007510
3
M40100.125
zMPa40
W
2
75100
9
106
3
3F34010
Nx
1.A8MPa
B
A20075
125
2
3
8010
3
2FM24010
Nxz
2.A15.3MPa
2
AW20075
75200
习题3-12图
6
3.在点1加载:
33
FM40104010125
Nxz
AMPa
12.67
2
AW2007575200
6
33
FM40104010125
Nx
z
B7.33MPa
2
AW2007575200
6
由对称性,得
在3点加载:
A7.33MPa,B12.67MPa
3-13图示侧面开有空洞的正方形截面管,管壁厚=5mm,管在两端承受轴向载荷FP。
已知开孔
处截面的形心为C,形心主惯性矩
4,Fp=25kN。
试求:
6
I0.17710m
z
1.开孔处横截面上点F处的正应力;
—62—
2.最大正应力。
解:
FNxFP25kN
3
MzN·m
F(2518.57)10160.75
p
66
2
Am
(5052405)1070010
FM
Nxz3
1.18.571018.85
F
AI
z
MPa
2.
max
FNx
A
M
z
3
(5018.57)10I
z