938三角形综合证明解答题30题有答案ok.docx

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938三角形综合证明解答题30题有答案ok

三角形综合解答证明题专项练习30题

1．已知，如图，∠1=∠2，AD⊥BD于D，∠ACB=90°，AC=BC，证明：

AD=

BE．

2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：

PD=PE．

3．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．求证：

（1）BF=AC；

（2）CE=

BF．

4．如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．

（1）求证：

CD=CG；

（2）若AD=CG，求证：

AB=AC+BH．

5．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．试猜想BD与CE有何关系？

并证明你的猜想．

6．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：

BF=AC+AF．

7．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，

（1）△BCE≌△CAD的依据是　_________　（填字母）；

（2）猜想：

AD、DE、BE的数量关系为　_________　（不需证明）；

（3）当BE绕点B、AD绕点A旋转到图2位置时，线段AD、DE、BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．

8．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．

（1）求证：

BE=DC；

（2）求∠BOD的度数；

（3）求证：

OA平分∠DOE．

9．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：

CF=EH．

10．探究题：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，试问：

（1）DF与BC有何位置关系？

请说明理由．

（2）FG与FE有何数量关系？

请证明你的结论．

11．如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且

．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．

（1）求证：

OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

12．如图

（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）请说明：

△ADC≌△CEB．

（2）请你探索线段DE，AD，EB间的等量关系，并说明理由；

（3）当直线MN绕点C旋转到图

（2）的位置时，其它条件不变，线段DE，AD，EB又有怎样的等量关系？

（不必说理由）．

13．已知，如图：

四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．

（1）求证：

△AED是等腰三角形；

（2）当∠B=∠C=∠AED=90°时，求证：

AB2+BE2=AE2．

14．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．

求证：

BE+CF＞EF．

15．已知：

如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：

（1）△CEM≌△BDM；

（2）△MDE是等腰直角三角形．

16．如图△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．

（1）求证：

AB∥CQ．

（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？

若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．

17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD

（1）试说明CE=CF．

（2）△BCE与△DCF全等吗？

试说明理由．

（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长．

18．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D．

（1）△ACD≌△CBE．

（2）若AD=2.5cm，DE=1.1cm．求BE的长．

19．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？

说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．

求证：

（1）∠BAF=∠ADB；

（2）∠ADB=∠EDC．

21．已知如图，△ABC是等边三角形，边长为6，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，求AD的长．

22．如图：

△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：

MC=MB．

23．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．

求证：

（1）△ACD≌△BEC；

（2）CF⊥DE．

24．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB

．求证：

（1）AP=AQ；

（2）AP⊥AQ．

25．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．

（1）求证：

BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

26．

（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．

①求证：

△ABP≌△ACQ；

②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．

（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

27．已知：

△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．

（1）若BE=CF，求证：

①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．

（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？

请说明理由．

28．如图甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）说明△ADC≌△CEB．

（2）说明AD+BE=DE．

（3）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE=3、AD=5.5，则BE=　_________　．

29．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：

EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：

FE长．

30．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形．

（1）求证：

BD=AE；

（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，

（1）中结论还成立吗？

请给予证明；

（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：

①△CFG为等边三角形；

②FG∥BC．

三角形综合解答证明题30题参考答案：

1．证明：

在Rt△ABD和Rt△NBD中，

，

∴△ABD≌△NBD（ASA），

∴AD=ND=

AN，

∵∠ACB=90°

∴∠3+∠AED=∠AED+∠2，

∴∠3=∠2，

在△ACN和△BCE中，

，

∴△ACN≌△BCE（ASA），

∴BE=AN，

∴AD=

BE

2．证明：

如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．

∵点P为△ABC的边BC的中点，

∴PM为△ABC的中位线，

∴PM=

AC．

又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，

∴NE=AN=

AC，

∴MP=NE．

同理DM=PN．

∵DM=AM，

∴∠1=∠3，

∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．

同理，∠6=2∠2．

又∠1=∠2，

∴∠5=∠6．

又PM∥AC，PN∥AB，

∴∠7=∠9，∠8=∠9，

∴∠7=∠8，

∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，

∴在△MDP与△NPE中，

，

∴△MDP≌△NPE（SAS），

∴PD=PE．

3.　

（1）证明：

∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，

∴∠A=∠DFB，

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，

∴BD=DC，

在△BDF和△CDA中

∵

，

∴△BDF≌△CDA（AAS），

∴BF=AC；

（2）证明：

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=∠CEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

在△AEB和△CEB中

∵

，

∴△AEB≌△CEB（ASA），

∴AE=CE，

即CE=

AC，

∵由

（1）知AC=BF，

∴CE=

BF

4．

（1）解：

∵AD⊥BD，

∴∠ADB=90°，

∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，

∴∠CAD=∠DBH，

∵∠BCG=∠DCA，

∵在△ACD和△BGC中

∴△ACD≌△BGC（ASA），

∴CD=CG；

（2）证明：

延长EC到F使CF=CE，如图，

∵△AGC≌△BCD

∴AG=BD，

∵CG=BD，

∴AG=CG，

∴∠GAC=∠GCA，

∵△CDG为等腰直角三角形，

∴∠CGD=45°，

∴∠GAC=22.5°，

∵AC⊥BC，CF=CE，

∴△AEF为等腰三角形，

∴∠FAC=∠EAC=22.5°，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，

∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，

∴∠F=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠F=∠FAB，

∴AB=BF，

而BF=BC+CF=AC+CE，

∴AB=AC+CE．

5．解：

BD和CE的关系是BD=CE，BD⊥CE，

证明：

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠CBM+∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠CBM+∠ACB=90°，

∴∠BMC=90°，

∴BD⊥CE，

即BD=CE，BD⊥CE．

6．

证明：

过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，

则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），

又∵DF⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DFB=∠DNC=90°，

在Rt△DBF和Rt△DCN中

∵

，

∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）

∴BF=CN，

在Rt△DFA和Rt△DNA中

∵

，

∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）

∴AN=AF，

∴BF=AC+AN=AC+AF，

即BF=AF+AC　

7．

（1）解：

AAS．

（2）证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵AD⊥DE，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，BE=CD，

DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）解：

DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵AD⊥DE，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，

DE=CD﹣CE=BE﹣AD　

8．

（1）证明：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，

∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，

即∠BAE=∠DAC．

在△ABE和△ADC中

∵

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE=DC．

（2）解：

由

（1）知：

△ABE≌△ADC，

∴∠ADC=∠ABE

∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°

∴在△BOD中，∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE

=180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）

=180°﹣60°﹣60°

=60°．

（3）证明：

过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．

∵由

（1）知：

△ABE≌△ADC，

∴S△ABE=S△ADC

∴

∴AM=AN

∴点A在∠DOE的平分线上，

即OA平分∠DOE．

9．证明：

（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，

∴∠EAF=∠CAB=90°

∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，

∵CF⊥BD，

∴∠BFC=90°=∠CAB，

∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，

∵∠ADB=∠FDC，

∴∠ABD=∠DCF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

（2）∵由

（1）知△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=90°，

∴∠AEF=∠AFE=45°，

∵AH⊥BF，

∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，

∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF，

∴AH=EH，

∵D为AC中点，

∴AD=CD，

在△ADH和△CDF中，

，

∴△ADH≌△CDF（AAS），

∴AH=CF，

∴EH=CF　

10．解：

（1）DF∥BC，

理由是：

∵AF平分∠BAC，

∴∠CAF=∠DAF，

在△CAF和△DAF中

，

∴△CAF≌△DAF（SAS），

∴∠ADF=∠ACF，

∵CE⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，

∴∠B=∠ACF=∠ADF，

∴DF∥BC．

（2）FG=EF，

证明：

∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，

∴∠AGF=∠ACB=90°，

∴FG⊥AC，

∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，

∴FG=EF．

11．

（1）证明：

延长EF交AD于G（如图），

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，

∵EF∥CA，EG∥CA，

∴四边形ACEG是平行四边形，

∴AG=CE，

又∵

，AD=BC，

∴

，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠ECF，

在△CEF和△DGF中，

∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，

∴△CEF≌△DGF（AAS），

∴CF=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∴OF∥BC．

（2）解：

如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．

证明：

∵OF∥CE，EF∥CO，

∴四边形OCEF是平行四边形，

∴EF=OC，

又∵梯形OBEF是等腰梯形，

∴BO=EF，

∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

12．解：

（1）理由：

因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，

所以∠ACD+∠BCE=90°．

又AD⊥MN，BE⊥MN，则∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°．

故∠DAC=∠ECB

而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）等量关系：

DE=AD+EB．

理由：

由

（1）知△ADC≌△CEB．则AD=CE，DC=EB．

因为DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．

（3）等量关系：

DE=AD﹣EB

13．

（1）证明：

∵∠B=∠C=∠AED，

设∠B=∠C=∠AED=α

∴∠1+∠2=180°﹣α，∠2+∠3=180°﹣α，

∴∠1=∠3，

在△ABE和△ECD中，

∴△ABE≌△ECD（AAS）

∴AE=DE，

即△AED是等腰三角形．

（2）解：

∵∠B=90°，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：

AB2+BE2=AE2　

14．证明：

延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC，

∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，

∴∠1=∠4=

∠ADB，∠3=∠5=

∠ADC，

∴∠1+∠3=∠4+∠5=

∠ADB+

∠ADC=

×180°=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠3+∠2=90°，

即∠EDF=∠FDH，

在△EFD和△HFD中，

，

∴△EFD≌△HFD（SAS），

∴EF=FH，

在△BDE和△CDH中，

，

∴△BDE≌△CDH（SAS），

∴BE=CH，

在△CFH中，由三角形三边关系定理得：

CF+CH＞FH，

∵CH=BE，FH=EF，

∴BE+CF＞EF　

15．证明：

（1）∵∠ACB=90°，BC=AC，

∴∠A=∠B=45°，

∵M是AB的中点，

∴CM⊥AB，∠ACM=∠BCM=45°，CM=BM=AM，

∴∠DBM=∠ECM，

∵在△CEM和△BDM中，

，

∴△CEM≌△BDM（SAS）；

（2）∵△CEM≌△BDM，

∴EM=DM，∠EMC=∠DMB，

∵∠DMC+∠DMB=90°，

∴∠DMC+∠EMC=90°，即∠DME=90°，

∴△MDE是等腰直角三角形　

16．

（1）证明：

∵△ABC和△APQ都是等边三角形，

∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，

∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△ABP和△ACQ中

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，

∴AB∥CQ；

（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：

∵由

（1）知，△ABP≌△ACQ，

∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，

∵P为BC中点，

∴PC=BP=CQ，

∴∠CQP=∠QPC=

（180°﹣∠PCQ）=

×（180°﹣60°﹣60°）=30°，

∵△APQ是等边三角形，

∴∠AQP=60°，

∴∠AQC=60°+30°=90°，

∴AQ⊥QC，

即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．

17．解

（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF．

（2）△BCE≌△DCF．

理由是：

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴△BCE与△DCF都是直角三角形，

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∵

，

∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；

（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BE=DF，

∵CF⊥AF，CE⊥AB，

∴∠F=∠CEA=90°，

∵AC平分∠BAF，

∠FAC=∠EAC，

在△FAC和△EAC中

∵

，

∴△FAC≌△EAC（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则AE=21﹣x，DF=x，AF=9+x，

∴21﹣x=9+x，

∴x=6，即BE=6，

在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，

∴由勾股定理得：

CE=8　

18．解：

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE，∠CBE=90°﹣∠BCE，（三角形角和定理）

∴∠ACD=∠CBE，

在△ACD与△CBE中

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）．

（2）由

（1）知，△ACD≌△CBE，

∴CE=AD=2.5

BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4．

答：

BE的长是1.4cm．　

19．解：

BD平分EF，理由是：

证法一、连接BE、DF．

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中

，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴BD平分EF；

证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中

，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE，

∴DE=BF，

∵在△BFG和△DEG中

，

∴△BFG≌△DEG（AAS），

∴EG=FG，

即BD平分EF．

20．

（1）证明：

∵∠BAC=90°，

∴∠BAF+∠DAF=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFD=90°，

∴∠DAF+∠ADB=90°，

∴∠BAF=∠ADB．

（2）证明：

过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，

则∠ACM=90°=∠BAC，

∴CM∥AB，

∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，

∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，

∴∠ABD=∠CAM，

在△ABD和△CAM中

∵

，

∴△ABD≌△CAM（ASA），

∴∠ADB=∠M，AD=CM，

∵D为AC中点，

∴AD=DC=CM，

在△CDE和△CME中，

∵

，

∴△CDE≌△CME（SAS），

∴∠M=∠EDC，

∵∠M=∠ADB，

∴∠ADB=∠EDC．　

21．解：

由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

又∵DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，

∴△DEF为等边三角形，

∴△ADF≌△DEB≌△EFC，

∴AD=BE=CF，

∵FD⊥AB，∠AFD=30°，

∴AD=

=

，

解得：

AD=2．

答：

AD的长为2．　

22．证明：

延长CM、DB交于G，

∵△ABD和△ACE都是Rt△，

∴CE∥BD，即CE∥DG，

∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD

又∵M是DE中点，即DM=EM，

∴△ECM≌△DMG，

∴CM=MG，

∵G在DB的延长线上，

∴△CBG是Rt△CBG，

∴在Rt△CBG中，

23．证明：

（1）∵AD∥BE，

∴∠A=∠B，

在△ACD和△BEC中

∴△ACD≌△