九年级数学下册 第二十七章 相似 272 相似三角形 2723 相似的应用举例教案 新版新.docx

九年级数学下册 第二十七章 相似 272 相似三角形 2723 相似的应用举例教案 新版新.docx

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九年级数学下册第二十七章相似272相似三角形2723相似的应用举例教案新版新

《27.2.3相似的应用举例

（1）》

教学模式介绍：

数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体．核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。

教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。

课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。

设计思路说明：

本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

因此在教学设计中突出了“审题

画示意图

明确数量关系

解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。

教材的的例3需要有预备知识，所以在第一环节设疑导入新课后，第二环节安排了“初步体验”，从身边较常见的实物出发设置问题让学生尝试解决，追问环节把问题解决上升到不同的模型建构，为后面的问题解决提供了方法上的引导，降低难度．在解决教材例题的问题后，设置了问题5，需要学生变式思考，发展学生思维。

整体上是

逐步递进、螺旋上升，重视画图建模和方法提炼。

教材分析

本节课是在学习了相似三角形的判定方法和相似三角形的性质后，利用相似三角形的有关知识解决实际问题。

相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多，主要在测量方面。

教材安排了例4、例5和例6三个例子，分两个课时，第一课时是要分析完例4和例5。

例4是利用太阳光线测量金字塔的高度，例5是测量河宽，都是没办法直接测量，需要构造相似三角形，测量出部分边的长度，再利用相似三角形对应边成比例求出所要测量物体的高度。

利用太阳光的影子构造相似三角形，实际上是把太阳光线近似看成平行光线，在生活中的应用就比较广，如测量旗杆、大树、高塔等不能直接测量的物体的高度．测量河宽可以有不同的构造相似三角

形的方法，教材在后面习题用的是不同例题解答的方法，在教学时可以根据课堂生成灵活教学。

在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题，提高学生的核心素养。

教学目标

（1）运用相似三角形的判定和性质解决实际问题。

（2）经历“实际问题——建立模型——应用解决”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。

（3）经历运用相似相关知识解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，增强学生数学应用意识。

重点难点

教学重点：

运用相似三角形的判定和性质解决实际问题。

教学难点：

构造两个相似三角形。

课前准备:

多媒体课件，实物投影

教学过程：

1．导入新课

【问题1】

（1）世界上最大的石佛在哪里？

（2）世界上最大的树是什么树？

（3）世界上最高的楼是那座？

（4）世界上最宽的河是哪条？

师生活动：

教师出示问题，学生回答，教师用多媒体展示出这些物体相应的图片。

设计意图：

激发学生兴趣，引出这节课的问题——测量高大的物体的高度或距离等。

教师追问：

怎样测量这些高大物体的高度？

怎样测出河宽？

师生活动：

学生思考讨论片刻，教师展示展示课题，这节课要利用刚学的相似的知识来解决这样的问题。

设计意图：

让学生带着问题进入这节课，对新知更加期待和投入。

2.初步体验

【问题2】在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？

师生活动：

教师给出问题，学生独立思考书写解答过程．教师要先引导学生理解好将太阳光线看成是平行光线。

给学生做好示范画出示意图，帮助理解和想到相似的相关知识。

设计意图：

影子是我们常见的，太阳光线也是常见的，但一下想到太阳光线是平行的，有三角形相似可以解决问题，还是比较难．所以在教材的例题前先设置更常见的、更简单的问题让学生尝试解决，初步体验构造相似三角形的方法探索。

教师追问：

除了利用影子，还有其他的办法可以测得高楼的高度吗？

师生活动：

学生独自思考会相互交流讨论，最后教师引导学生得出另两种方法，一是利用标杆的高度，二是利用镜面反射：

方法二：

如图1测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，测出眼睛距地面AB和标杆CF的距离，量出BC和CD，再根据三角形相似求树高ED．

（图1）（图2）

方法三：

如图2，把镜子放在C处，然后沿着直线BC后退到E，这时恰好在镜子里看到楼顶A，量得BC和CE的长度，知道观察者的目高ED后就可以根据相似的判定和性质来解。

设计意图：

让学生思考用不同的方法解这个求楼高的问题，希望以此丰富学生解决问题的策略和方法，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力，也为后面解决问题打开思路。

3．问题解决

【问题4】你知道怎么测量金字塔的高度吗？

师生活动：

教师先介绍古埃及金字塔的情况：

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。

塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基

呈正方形，每边长约230多米。

据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间。

原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀。

所以高度有所降低。

教师给出例4：

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．

学生写出解答过程，教师评价。

设计意图：

教材这富有故事性的问题，既让学生了解了历史文化，也让学生看到利用数学知识可以解决这样大工程的问题，增强其数学有用和运用数学的意识。

教师追问：

你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？

师生活动：

学生讨论后个别发言，教师注意关注学生是否用到前面的方法，引导学生去说清楚：

还可以利用标杆和镜面反射的方法来测量。

设计意图：

加深学生对几种问题解决的方法的认识，进一步巩固对相似的判定和性质的掌握，同时也增强其应用意识和解决问题的意识。

【问题5】怎样测量河的宽度？

例2：

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在对岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。

如果测得QS＝45m，ST＝90m，

QR＝60m，求河的宽度PQ。

师生活动：

教师给出问题，学生独立完成，可请学生板演。

教师追问：

你还可以用什么方法来测量河的宽度？

师生活动：

学生画出示意图，解释说明。

教师注意规范学生的语言表达。

设计意图：

一题多解，再次强化学生对相似基本图形的构造和运用能力。

学生熟悉的相似基本图

形出现在问题解决中，减弱学好对实际问题解决的惧怕。

4.巩固应用

【问题5】某同学想利用树影测量树高。

他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上。

经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?

师生活动：

教师出示问题，学生独立思考，写出解答过程，找学生板演讲解。

设计意图：

这是一个变式拓展题，前面指导影子长度可以很快用比例得出想要的高度，但这里设置了一堵强，物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分，需要学生灵活处理，也会出现不同的处理办法，截断AB或延长AD，考查学生对此类问题的灵活度和综合运用知识的能力。

5.方法总结

师生共同总结：

1.面对不易直接测量的物体的高度或长度：

实际问题→构造数学模型→利用相似三角形的性质建立方程→解决问题。

2.这节课用到的求不能直接测量的物体的高度或宽度的方法：

（1）利用阳光下的影长测物体的高度

（2）利用标杆测物体的高度

（3）利用镜子的反射测物体的高度

设计意图：

总结本节课解决问题的经验，提炼方法，构建数学模型。

教学反思：

1.难点的突破

相似的应用主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度及盲区问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。

初三学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识。

在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体

及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。

在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。

另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。

课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦。

运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，所以增加课时，把盲区问题留在第二课时。

2.挖掘例题的示范功能

相似三角形的应用主要有如下两个方面：

（1）测高（不能直接使用皮尺

或刻度尺量的）；

（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）。

本节课通过教材例3是测量金字塔高度问题；例4是测量河宽问题的讲解，使学生掌握测高和测距的方法。

知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解。

讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解

决实际问题的能力。

应让学生多见些不同类型的有关

相似三角形的应用问题，便于学生理解：

世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：

运用相似三角形相似比的相关知识解决问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法。

《27.2.3相似的应用举例

（2）》

教学模式介绍：

数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。

核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。

教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索

、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。

课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。

设计思路说明：

本节教材安排只有例6一个例题，由于设计较多学生比较陌生的词，如“盲区”、“仰角”、“视线”等，所以解决例题6的盲区问题前，先设计了一个简单的相关问题“问题1”，让学生动笔画出视线，画出图形，为例题6的数学模型的建立打下一定的基础。

例题6的解决注重引导，师生共同分析，而后再引导学生去动笔书写解答过程。

问题3是利用食指做标杆构造相似三角形，是上一节课方法的演变，问题4也是一个很贴合学生生活的实际问题，是盲区问题的一个方位上的变式，加强学生对相关问题解决的方法的理解，促使学生更好地掌握相关知识。

此节课设计问题不多，但也是层层递进，需要好好引导、分析，注重学生的口头表达和书面解答。

最后的方法小结注意要总结之前学过的所有方法，建构完整的知识体系和基本模型的归纳小结。

教材分析

本节课是利用相似三角形的有关知识解决实际问题的第二节课，上一节课学生学习了利用太阳的平行光线、利用标杆、利用镜面反射等方法得出不能直接测量的物体的高度或宽度。

这节课主要是解决教材中的例题6的盲区问题。

有要学生理解的“盲区”、“仰角”、“视线”等新的名词，需要结合实际进行说明.其实与上节课例4的立标杆的问题解决是一致的，把左边的树看出是标杆，右边的树看成是要测量的物体，党视线同时看到两棵树的树顶时，就能构造出两个共线的相似直角三角形，利用两个直角三角形的一条直角边和斜边对应成比例，就可以求得当前状态下观察者距离左边树的距离。

这些利用构造相似三角形解决生活中的问题，让学生进一步感悟数学知识的实用价值。

在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题，提高学生的核心素养。

教学目标

（1）能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的实际问题（盲区问题）。

（2）经历探究相似三角形在实际问题中的应用过程，进一步地体会相似三角形的应用方法。

（3）通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力。

重点难点

教学重点：

运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的高度（盲区问题）．

教学难点：

如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型．

课前准备:

多媒体课件，实物投影

教学过程：

1．情境引入

【问题1】小强站在一座木板墙前，小丽在墙后活动。

你认为小丽应在什么区域内活动，才能不被小强看见？

请在图1的俯视图图2中画出小丽的活动范围并用阴影部分表示。

（图1）（图2）

师生活动：

教师给出问题，投影展示图片，学生思考，讨论交流，画出范围。

教师请学生展示并说理。

设计意图：

用实际生活中的问题引入新课，贴近生活，激发学生的兴趣并为理解盲区的相关概念做铺垫。

教师追问：

生活中还有哪些类似的例子？

师生活动：

学生各抒己见。

设计意图：

让学生联系生活，打开思维，活跃课堂气氛。

教师：

上一节课我们学会了用相似三角形的知识去测量金字塔的高度和河流的宽度，这节课我们继续用相似三角形这一数学模型解决实际生活类似于上面中的问题。

2．问题解决

【问题2】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

师生活动：

教师给出问题，引导学生建立数学模型，把实际问题转化为数学问题首先让学生尝试画出数学示意图，通过画图逐步审清题意，明确问题中的数量关系和位置关系，同时教师引导学生了解仰角、俯角、盲区的概念，在此基础上产生解题思路。

教师根据学生的完成情况，适时进行必要点拨。

学生分析、推理、计算，独立得到问题结论。

设计意图：

学生通过画图，把实际问题转化为数学问题，在画图过程中弄清题意，从而解决问题。

培养学生的数学建模能力和探索精神，进一步体验数学与生活的密切关系。

解题思路：

利用AB∥CD，∴∆AFH∽∆CFK，根据对应边成比例可求得FH=8.所以如果观察者继续前进，当他与左边的树的距离小于8m的时候，由于这棵树的遮挡，右边的树顶端点D在观察者的盲区之内，观察者看不到它。

师小结：

解决本例题的关键首先要搞清楚不能看到右边较高的树的顶端点C的状态是眼睛、两棵树的顶端A、C在同一条直线上，其次找到相应的相似三角形。

3.巩固应用

【问题3】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？

请说出你的思路。

师生

活动：

教师提出问题，学生独立思考、分析，写出规范解题过程，之后，师生交流，达成共识。

教师要注意引导分析出：

解决这个问题重点还是如何将实际问题转化成相似三角形这一数学模型.解题思路是∵BC⊥AF,DE⊥AF,∴BC∥DE，∴∆ABC∽∆ADE，∆ABG∽∆ADF ，根据对应边成比例可求得DE=40m.即敌方建筑物的高度40米.注意：

单位要统一。

设计意图：

通过解题，又学习了一种解决问题的方法.巩固了知识，培养学生应用数学的意识和能力，发散思维。

【问题4】如图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖

立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）。

广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC。

一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）。

师生活动：

教师提出问题，组织学生独立完成，选学生板书，然后小组交流，师生共评。

设计意图：

此题是盲区问题，类似问题2，也有所变化。

及时反馈学生的掌握情况，进一步加深对相似三角形的理解和应用，优化教学，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力，并为此获得成功的体验。

5.课堂总结

教师引导学生作系统的归纳：

（1）熟练的应用相似三角形的性质与判定；

（2）能够利用转化思想,将实际问题转化成数学问题；

（3）注意渗透数形结合的思想。

设计意图：

总结方法，形成技能，提高学生的学习效果。

教学反思：

1.要密切联系生活

相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多，能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多。

“相似三角形应用举例”的内容，给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不能直接测量物体长度的问题（测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）。

在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。

另外，还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。

本节课例题6出现了几个概念，在讲此例题时可以给学生介绍，都是生活中常遇到的：

（1）视点：

观察者眼睛的位置称为视点；

（2）视线：

由视点出发的线称为视线；（3）仰角：

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；（4）盲区：

人眼看不到的地方称为盲区。

2.注意方法小结

相似三角形的应用，实际上就是从实际问题中抽象出数学

模型，研究数学模型，得出数学模型的结论从而解决实际问题。

教材涉及的常见的各种问题解决都可以归为几类，在教学中每次都要强化基本模型的类型，让问题模型化，解决问题方法论化，也就是应用一些简单的相似三角形模型解决实际问题.如利用平行光线、利用镜面反射、利用标杆等，构造A或X型相似三角形。

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