整式的乘除练习01教师版含答案及解析.docx
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整式的乘除练习01教师版含答案及解析
整式的乘法练习
一．解答题（共30小题）
1．下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？
若不能，请说明理由．
（1）4x2+4x﹣1；
（2）1﹣4x﹣4x2；
（3）﹣4x+4x2+1；
（4）x2+x+1；
（5）﹣x+x2﹣
；
（6）x2+
y2﹣xy．
考点：
完全平方式．
分析：
（1）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；
（2）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；
（3）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；
（4）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；
（5）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；
（6）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可．
解答：
解：
（1）不能写成一个整式的平方的形式，因为4x2+4x+1=（2x+1）2，而4x2+4x﹣1不能；
（2）不能写成一个整式的平方的形式，因为1﹣4x+4x2=（1﹣2x）2，而1﹣4x﹣4x2不能；
（3）能写成一个整式的平方的形式，是（1﹣2x）2；
（4）不能写成一个整式的平方的形式，x2+2x+1=（x+1）2，而x2+x+1不能；
（5）不能写成一个整式的平方的形式，﹣x+x2+
=（x﹣
）2，而﹣x+x2﹣
不能；
（6）能写成一个整式的平方的形式，是（x﹣
y）2．
点评：
本题考查了对完全平方公式的应用，注意：
完全平方公式有两个：
a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
2．①若x2+kx+4是完全平方式，则k= ±4 ；
②若x2﹣18xy+m是完全平方式，则m= 81y2 ；
③若x2﹣14x+m2是完全平方式，则m= ±7 ；
④若9x2+6xy+m是完全平方式，则m= y2 ．
考点：
完全平方式．
分析：
①这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，故k=±4；
②先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可；
③先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可；
④先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．
解答：
解：
①中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，
故k=±4；
②中间项为两数乘积的2倍，即：
18xy=2•x•9y，
而首项为x的平方，
所以尾项为（9y）2，
故m=81y2；
③∵x2﹣14x+m=x2﹣2•x•7+m2，
∴m2=72，
∴m=±7；
④∵9x2+6xy+m=（3x）2+2•3x•y+m，
∴m=y2．
故答案为±4；81y2；±7；y2．
点评：
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
3．求证：
a（a+1）（a+2）（a+3）+1是完全平方式．
考点：
完全平方式．
专题：
证明题．
分析：
先利用乘法的交换律与结合律将把a（a+1）（a+2）（a+3）变形为：
（a2+3a）（a2+3a+2），再把a2+3a看成一个整体，利用单项式和多项式的乘法法则展开，写成完全平方式的形式即可．
解答：
解：
∵a（a+1）（a+2）（a+3）+1
=（a2+3a）[（a2+3a）+2]+1
=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴a（a+1）（a+2）（a+3）+1是完全平方式．
点评：
本题主要考查了乘法的运算律，单项式和多项式的乘法，完全平方式，运用整体思想使求解更加简便，把a2+3a看成整体是关键．
4．利用平方差公式计算：
（1）（3x﹣5）（3x+5）；
（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；
（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；
（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．
考点：
平方差公式．
分析：
（1）直接利用平方差公式进行计算即可；
（2）直接利用平方差公式进行计算即可；
（3）直接利用平方差公式进行计算即可；
（4）两次运用平方差公式进行计算即可；
解答：
解：
（1）（3x﹣5）（3x+5）=（3x）2﹣52=9x2﹣25；
（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）=（﹣2a）2﹣b2=4a2﹣b2；
（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）=（﹣7m）2﹣（8n）2=49m2﹣64n2；
（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）=（x2﹣4）（x2+4）=x4﹣16．
点评：
本题主要考查平方差公式：
（1）两个两项式相乘；
（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
5．利用乘法公式计算：
（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）：
（2）（﹣x﹣y）（x+y）；
（3）
；
（4）2（m+n）（m﹣n）﹣（m+n）2﹣（m﹣n）2．
考点：
平方差公式；完全平方公式．
分析：
（1）原式利用平方差公式化简即可得到结果；
（2）原式变形后利用完全平方公式展开即可得到结果；
（3）原式变形后利用平方差公式即可得到结果；
（4）原式第一项利用平方差公式化简，后两项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
解答：
解：
（1）原式=（﹣5）2﹣（2a）2
=25﹣4a2；
（2）原式=﹣（x+y）2
=﹣x2﹣2xy﹣y2；
（3）原式=（60+
）×（60﹣
）
=3600﹣
=3599
；
（4）原式=2m2﹣2n2﹣m2﹣2mn﹣n2﹣m2+2mn﹣n2
=﹣4n2．
点评：
此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．化简：
．
考点：
平方差公式．
分析：
分为两种情况：
①把a=1代入，根据同底数幂的乘法求出；②当a≠1时，依次运用平方差公式进行计算即可．
解答：
解：
当a=1时，原式=2×2×2×…×2=21001；
当a≠1时，原式=（a﹣1）
÷
=
．
点评：
本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力．有一定的难度．
7．（3﹣4y）（3+4y）+（3+4y）2
考点：
平方差公式；完全平方公式．
分析：
首先提取公因式（3+4y），再去括号，计算即可．
解答：
解：
（3﹣4y）（3+4y）+（3+4y）2，
=（3+4y）（3﹣4y+3+4y），
=6（3+4y），
=18+24y．
点评：
此题考查了平方差公式与完全平方公式的应用，以及提公因式法．此题比较简单，注意整体思想的应用．
8．计算
（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；
（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．
考点：
平方差公式．
专题：
计算题．
分析：
根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．
解答：
解：
（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]
=（c﹣b﹣d）2﹣a2
=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，
（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2
∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3
=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3
=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．
点评：
本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．
9．计算：
（1）（2a﹣b）（b+2a）﹣（3a+b）2
（2）
（3）简便方法计算：
（﹣0.25）2009×42010．
考点：
平方差公式；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂．
专题：
计算题．
分析：
（1）首先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式的乘法和平方，再计算整式的加减运算；
（2）首先运用负整数指数幂、零指数幂的意义计算乘方，再计算减法；
（3）首先将42010改写成42009×4，然后逆用积的乘方的运算性质，计算（﹣0.25）2009×42009，即可得出结果．
解答：
解：
（1）原式=4a2﹣b2﹣（9a2+6ab+b2）
=4a2﹣b2﹣9a2﹣6ab﹣b2
=﹣5a2﹣2b2﹣6ab；
（2）原式=4﹣1=3；
（3）原式=（﹣0.25）2009×42009×4=（﹣0.25×4）2009×4=﹣1×4=﹣4．
故答案为﹣5a2﹣2b2﹣6ab、3、﹣4．
点评：
本题主要考查了整式及有理数的混合运算．首先确定运算顺序，然后根据运算法则计算．
10．计算：
（1）（﹣5x）•（3x2﹣4x+5）：
（2）﹣2a•（3ab2﹣5ab3）：
（3）（﹣a2b）（2a﹣ab+3b）；
（4）﹣2xn•（﹣3xn+1+4xn﹣1）．
考点：
单项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
原式各算式利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．
解答：
解：
（1）原式=﹣15x3+20x2﹣25x；
（2）原式=﹣6a2b2+10a2b3；
（3）原式=﹣2a3b+a3b2﹣3a2b2；
（4）原式=6x2n+1﹣8x2n﹣1．
点评：
此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．计算：
（1）（﹣12a2b2c）•（﹣
abc2）2= ﹣
a4b4c5 ；
（2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）= ﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2 ．
考点：
单项式乘多项式；单项式乘单项式．
分析：
（1）先根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式的法则计算；
（2）根据单项式乘多项式，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加的法则计算即可．
解答：
解：
（1）（﹣12a2b2c）•（﹣
abc2）2，
=（﹣12a2b2c）•
，
=﹣
；
故答案为：
﹣
a4b4c5；
（2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2），
=3a2b•（﹣2ab2）﹣4ab2•（﹣2ab2）﹣5ab•（﹣2ab2）﹣1•（﹣2ab2），
=﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2．
故答案为：
﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2．
点评：
本题考查了单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
12．计算：
（1）﹣6x（x﹣3y）；
（2）
；
（3）
．
考点：
单项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
三个式子都利用单项式乘以多项式法则计算可得最后结果．
解答：
解：
（1）原式=﹣6x•x+6x•3y=﹣6x2+18xy；
（2）原式=﹣2a•2ab+2a•
ab2=﹣4a2b+
a2b2；
（3）原式=y2•
y﹣y2•y2=
y3﹣y4．
点评：
此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
13．①3a（2a﹣1）
②（x2﹣2y）（xy2）3
③（
a2b2）（
a2+ab﹣0.6b2）
④12ab[2a+
（a﹣b）+
b]
⑤（﹣a）3•（﹣2ab2）3﹣4ab2（7a5b4+
ab3﹣5）
考点：
单项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
解答：
解：
①原式=6a2﹣3a；
②原式=（x2﹣2y）（x3y6）=x5y6﹣2x3y7；
③原式=2a4b2+
a3b3﹣
a2b4；
④原式=12ab（
﹣
b）=33a2b﹣ab2；
⑤原式=8a6b6﹣28a6b6﹣2a2b5+20ab2=﹣20a6b6﹣2a2b5+20ab2．
点评：
本题考查了单项式乘多项式的知识，掌握运算法则是关键．
14．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
考点：
多项式乘多项式．
分析：
根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得
（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答案．
解答：
解
（1）原式=3x•2x﹣3x+2×2x﹣2=62+x﹣2；
（2）原式=2x•x﹣2x•3y﹣8y•x+8y•3y=2x2﹣14xy+24y2；
（3）原式=2m•3m﹣2m•4n﹣3m•n+n•4n=6m2﹣11mn+4n2；
（4）原式=2x2•2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3=4x3﹣6x2﹣2x+3；
（5）原式=（2a）2﹣2•2a•3+32=4a2﹣12a+9；
（6）原式=（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6=3x2﹣6x+2．
点评：
本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．
15．阅读材料并回答问题：
我们已经知道，完全平方公式、平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如，（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图
（1）的图形的面积表示．
（1）请你写出图
（2）所表示的代数恒等式 （2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2 ；
（2）试在图（3）的矩形框中画出一个几何图形，使它的面积能表示：
（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2．
考点：
多项式乘多项式．
分析：
（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形．
解答：
解：
（1）根据图形可得：
（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
故答案为：
（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
（2）画图如下：
点评：
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
16．请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是 （a+b）（2a+3b）=2a2+5ab+3b2 ．
考点：
多项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
根据图形中面积两种求法验证即可．
解答：
解：
根据题意得：
（a+b）（2a+3b）=a2+a2+ab+ab+ab+ab+ab+b2+b2+b2=2a2+5ab+3b2，
故答案为：
2a2+5ab+3b2．
点评：
此题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．已知（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，如图是正方形和长方形卡片（各有若干张），你能用拼图的方法说明上式吗？
考点：
多项式乘多项式．
专题：
应用题．
分析：
拼成图形，如图所示，即可做出验证．
解答：
解：
如图所示，大正方形2个，小正方形2个，长方形5个，构成图形的面积为（a+2b）（2a+b），
面积也可以为2a2+5ab+2b2，
则（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
点评：
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．很多代数原理可以用几何模型解释，用图
（1）来表示1×1的正方形面积，它的长和宽都是一个单位，用图
（2）来表示1×x的矩形的面积，它的宽是一个单位，长是x个单位．请你用上述若干个1×1的正方形和若干个1×x的矩形来拼出3（x+2）和3x+2（要求画出简单的示意图，且使得拼出的图形为矩形），由此请你简单地加以说明这两个代数式的不同之处．
考点：
多项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
3（x+2）表示宽为3，长为x+2的矩形，即3个
（2）和6个
（1）组成3×2矩形；3x+2表示宽为1，长为3x+2的矩形，即3个
（2）和2个
（1），画出图形，如图所示．
解答：
解：
3（x+2）表示宽为3，长为x+2的矩形，即3个
（2）和6个
（1）组成3×2矩形；
3x+2表示宽为1，长为3x+2的矩形，即3个
（2）和2个
（1）．
如图所示：
点评：
此题考查了多项式乘以多项式，画出相应的图形是解本题的关键．
19．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图，1号卡片为边长为a的正方形，2号卡片为边长为b的正方形，3号卡片为一边长为a、另一边长为b的长方形．
（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请在横线上画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．这个等式是 （a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 ．
（2）小明想用类似的方法解释多项式乘法（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，那么需用2号卡片 6 张，3号卡片 7 张．
考点：
多项式乘多项式．
分析：
（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积；
（2）先求出1号、2号、3号图形的面积，然后由（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2即可得出答案．
解答：
解：
（1）根据题意画图如下：
这个等式是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2；
故答案为：
（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2；
（2）∵（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，
2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，
∴需用2号卡片6张，3号卡片7张，
故答案为：
6，7．
点评：
本题主要考查了多项式乘多项式，用到的知识点是长方形的面积公式和正方形的面积公式以及多项式乘多项式的法则．
20．阅读下列文字：
利用图①中的三种材料各若干可以拉萨同一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：
（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：
（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2 （答案直接填在题中横线上）
（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为2a2+7ab+3b2，并标出此长方形的长和宽；
（3）用图①中长、宽分别为b、a的长方形四个拼在如图④所示的图形，图④中大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，观察图形，指出以下关系中正确的有 ①②③④ ．（将正确答案的序号直接填在题中横线上）
①b+a=m②b﹣a=n③ba=
④b2﹣a2=m•n．
考点：
多项式乘多项式．
分析：
（1）根据图形和长方形正方形的面积公式即可得出等式；
（2）根据图形求出长方形的长和宽，再画图即可；
（3）根据图④所示的图形，利用面积之间的关系进行判断即可．
解答：
解：
（1）图③可以解释为等式：
（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（2）此长方形的长和宽为：
a+3b和2a+b；
如图：
（3）正确的有①②③④．
故答案为：
（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，①②③④．
点评：
本题主要考查多项式乘以多项式的法则，用到的知识点是多项式的乘法法则、长方形正方形的面积公式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
21．如图，有许多个边长为a的小正方形、边长为b的大正方形以及长为b宽为a的长方形，取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形使其面积为（a+b）（a+2b），画出图形并根据图形回答（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2 ．
考点：
多项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．
解答：
解：
（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，
故答案为：
a2+3ab+2b2
点评：
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．小思同学用如图所示的A、B、C三类卡片若干张，拼出了一个长为2a+b宽为a+b长方形图形．请你通过拼图求出小思同学拼这个长方形所用A、B、C三类卡片各几张（要求：
所拼图形中，卡片之间不能重叠，不能有空隙）．
考点：
多项式乘多项式．
专题：
计算题．
分析：
根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解．
解答：
解：
根据题意得：
（2a+b）（a+b）=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2；
∵A、B、C三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，
∴所以A、B、C三类卡片分别为3张，1张，2张；
点评：
此题考查了多项式乘多项式的应用，弄清题意是解本题的关键．
23．发现公式需要一个过程，下面让我们一起去发现．多项式乘以多项式大家都会，下面我们尝试利用列表法试一试．
例题：
（x﹣1）（x+2）
×
x
2
x
x2
2x
﹣1
﹣x
﹣2
解填表结果为x2+x﹣2．根据所学完成下列问题．
（1）如表，填表计算（x+2）（x2﹣x+4），（m+3）（m2﹣3m+9），先填表并直接写出结果．
×
x2
﹣2x
4
x
2
结果为 x3+8
×
m2
﹣3m
9
m
3
结果为 m3+27
（2）根据以上获得的经验填表：
×
△
△3
○
○3
结果为△3+○3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 （a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3
（3）用公式
计算：
（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）= 8x3+27y3 ；因式分解：
27m3+8n3= （3m+2n）（9m2﹣6mn+4n2） ．
考点：
多项式乘多项式；因式分解的应用．
专题：
规律型．
分析：
（1）根据题意填写表格即可；
（2）依此类推填写表格即可；
（3）利用得出的公式计算即可得到结果．
解答：
解：
（1）如表，填表计算（x+2）（x2﹣x+4），（m+3）（m2﹣3m+9），先填表并直接写出结果．
×
x2
﹣2x
4
x
x3
﹣2x2
4x
2
2x2
﹣4x
8
结果为x3+8；
×
m2
﹣3m
9
m
m3
﹣3m2
9m
3
3m2
﹣9m
27
结果为m3+27；
（2）根据以
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