精品新人教版高中数学必修4241平面向量数量积的物理背景及其含义优质课教案.docx

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精品新人教版高中数学必修4241平面向量数量积的物理背景及其含义优质课教案

24平面向量的数量积

241平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教分析

前面已经知道向量的线性运算有非常明确的几何意义因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系既然向量可以进行加减运算一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?

如果能运算结果应该是什么呢?

另外距离和角是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算反映向量的长度和两个向量间夹角的关系众所周知向量概念的引入与物理的研究密切相关物理家很早就知道如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图1）那么力F所做的功

图1

W=|F||s|csθ

功W是一个数量其中既涉及“长度”也涉及“角”而且只与向量Fs有关熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算从而引进向量的数量积的定义

a·b=|a||b|csθ

这是一个好定义它不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等）而且还可以用它更加简洁地表述几何中的许多结果

向量的数量积是一种新的向量运算与向量的加法、减法、数乘运算一样它也有明显的物理意义、几何意义但与向量的线性运算不同的是它的运算结果不是向量而是数量

二、教目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：

通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：

通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养生的抽象概括能力。

三、重点难点

教重点平面向量数量积的定义

教难点平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用

四、教设想

（一）导入新课

思路1我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念向量是既有大小、又有方向的量它与物理中的力、运动等有着天然的联系将向量这一工具应用到物理中可以使物理题解答更简捷、更清晰并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具而且用数的思想方法去审视相关物理现象研究相关物理问题可使我们对物理问题认识更深刻物理中有许多量比如力、速度、加速度、位移等都是向量这些物理现象都可以用向量研究

在物理课中我们过功的概念即如果一个物体在力F的作用下产生位移s那么力F所做的功W可由下式计算

W=|F||s|csθ

其中θ是F与s的夹角我们知道力和位移都是向量而功是一个标量（数量）

故从力所做的功出发我们就顺其自然地引入向量数量积的概念[]

思路2前面我们已过任意的两个向量都可以进行加减运算并且两个向量的和与差仍是一个向量我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除（除数不为零）运算就自然地会想到任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？

如果能其运算结果是什么呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①a·b的运算结果是向量还是数量？

它的名称是什么?

②由所知识可以知道任何一种运算都有其相应的运算律数量积是一种向量的乘法运算它是否满足实数的乘法运算律？

③我们知道对任意ab∈R恒有（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）（a-b）=a2-b2对任意向量a、b是否也有下面类似的结论?

（1）（a+b）2=a2+2a·b+b2;

（2）（a+b）·（a-b）=a2-b2

活动已知两个非零向量a与b我们把数量|a||b|csθ叫做a与b的数量积（或内积）记作a·b即

a·b=|a||b|csθ（0≤θ≤π）

其中θ是a与b的夹角|a|csθ（|b|csθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影如图2为两向量数量积的关系并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°

图2

在教师与生一起探究的活动中应特别点拨引导生注意

（1）两个非零向量的数量积是个数量而不是向量它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;

（2）零向量与任一向量的数量积为0即a·0=0;

（3）符号“·”在向量运算中不是乘号既不能省略也不能用“×”代替;

（4）当0≤θ<时csθ>0从而a·b>0;当<θ≤π时csθ<0从而a·b<0与生共同探究并证明数量积的运算律

已知abc和实数λ则向量的数量积满足下列运算律

①a·b=b·a（交换律）;

②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（数乘结合律）;

③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）

特别是

（1）当a≠0时由a·b=0不能推出b一定是零向量这是因为任一与a垂直的非零向量b都有a·b=0

图3

（2）已知实数a、b、c（b≠0）则ab=bca=c但对向量的数量积该推理不正确即a·b=b·c不能推出a=c由图3很容易看出虽然a·b=b·c但a≠c

（3）对于实数a、b、c有（a·b）c=a（b·c）;但对于向量a、b、c（a·b）c=a（b·c）不成立这是因为（a·b）c表示一个与c共线的向量而a（b·c）表示一个与a共线的向量而c与a不一定共线所以（a·b）c=a（b·c）不成立

讨论结果①是数量叫数量积

②数量积满足a·b=b·a（交换律）;

（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（数乘结合律）;

（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）

③

（1）（a+b）2=（a+b）·（a+b）

=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;

（2）（a+b）·（a-b）=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2

提出问题

①如何理解向量的投影与数量积？

它们与向量之间有什么关系？

②能用“投影”解释数量积的几何意义吗？

活动教师引导生总结投影的概念可以结合“探究”让生用平面向量的数量积的定义从数与形两个角度进行探索研究教师给出图形并作结论性的总结提出注意点“投影”的概念如图4

[§§§§§]

图4

　定义|b|csθ叫做向量b在a方向上的投影并引导生思考

1°投影也是一个数量不是向量;

2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|

教师结合生对“投影”的理解让生总结出向量的数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|csθ的乘积

让生思考这个投影值可正、可负也可为零所以我们说向量的数量积的结果是一个实数教师和生共同总结两个向量的数量积的性质

设a、b为两个非零向量e是与b同向的单位向量

1°e·a=a·e=|a|csθ

2°a⊥ba·b=0

3°当a与b同向时a·b=|a||b|;当a与b反向时a·b=-|a||b|

特别地a·a=|a|2或|a|=

4°csθ=

5°|a·b|≤|a||b|

上述性质要求生结合数量积的定义自己尝试推证教师给予必要的补充和提示在推导过程中理解并记忆这些性质

讨论结果①略（见活动）

②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|csθ的乘积

（三）应用示例

思路1

例1已知平面上三点A、B、满足||=2||=1||=求·+·+的值

活动教师引导生利用向量的数量积并结合两向量的夹角求解先分析题设然后找到所需条件因为已知、、的长度要求得两两之间的数量积必须先求出两两之间的夹角结合勾股定理可以注意到△A是直角三角形然后可利用数形结合求解结果

解由已知||2+||2=||2所以△AB是直角三角形而且∠AB=90°

从而sin∠AB=sin∠BA=

∴∠AB=60°∠BA=30°

∴与的夹角为120°与的夹角为90°与的夹角为150°

故·+·+·

=2×1×cs120°+1×cs90°+×2cs150°

=-4

点评确定两个向量的夹角应先平移向量使它们的起点相同再考察其角的大小而不是简单地看成两条线段的夹角如例题中与的夹角是120°而不是60°

变式训练

已知|a|=6|b|=4a与b的夹角为60°求（a+2b）·（a-3b）

解（a+2b）·（a-3b）=a·a-a·b-6b·b

=|a|2-a·b-6|b|2

=|a|2-|a||b|csθ-6|b|2

=62-6×4×cs60°-6×42

=-72

例2已知|a|=3|b|=4且a与b不共线当为何值时向量a+b与a-b互相垂直?

解a+b与a-b互相垂直的条件是（a+b）·（a-b）=0

即a2-2b2=0

∵a2=32=9b2=42=16

∴9-162=0

∴=±

也就是说当=±时a+b与a-b互相垂直

点评本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件

变式训练

已知向量a、b满足a2=9a·b=-12求|b|的取值范围

解∵|a|2=a2=9

∴|a|=3

又∵a·b=-12

∴|a·b|=12

∵|a·b|≤|a||b|

∴12≤3|b||b|≥4

故|b|的取值范围是［4+∞）

思路2

例1已知在四边形ABD中=a=b=c=d且a·b=c·d=b·c=d·a试问四边形ABD的形状如何？

解∵+++=0

即a+b+c+d=0

∴a+b=-（c+d）

由上可得（a+b）2=（c+d）2

即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2

又∵a·b=c·d故a2+b2=c2+d2[]

同理可得a2+d2=b2+c2

由上两式可得a2=c2且b2=d2

即|a|=|c|且|b|=|d|也即AB=D且B=DA

∴ABD是平行四边形

故=即a=-c

又a·b=b·c=-a·b

即a·b=０∴a⊥b即⊥

综上所述ABD是矩形

点评本题考查的是向量数量积的性质应用利用向量的数量积解决有关垂直问题然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状

[]

例2已知ab是两个非零向量且|a|-|b|=|a+b|求向量b与a-b的夹角

活动教师引导生利用向量减法的平行四边形法则画出以ab为邻边的ABD若=a=b则=a+b=a-b由|a|-|b|=|a+b|可知∠AB=60°b与所成角是150°我们还可以利用数量积的运算得出向量b与a-b的夹角为了巩固数量积的有关知识我们采用另外一种角度思考问题教师给予必要的点拨和指导即由cs〈ba-b〉=作为切入点进行求解

解∵|b|=|a+b||b|=|a|∴b2=（a+b）2

∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2

∴a·b=-|b|2

而b·（a-b）=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2①

由（a-b）2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×（）|b|2+|b|2=3|b|2[]

而|a-b|2=（a-b）2=3|b|2

∴|a-b|=3|b|②

∵cs〈ba-b〉=

代入①②得cs〈ba-b〉=-

又∵〈ba-b〉∈［0π］

∴〈ba-b〉=

点评本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题解完后教师及时引导生对本解法进行反思、总结、体会

变式训练

设向量c=a+nb（n∈R）已知|a|=2|c|=4a⊥cb·c=-4且b与c的夹角为120°求n的值

解∵a⊥c∴a·c=0

又c=a+nb∴c·c=（a+nb）·c

即|c|2=a·c+nb·c∴|c|2=nb·c

由已知|c|2=16b·c=-4

∴16=-4n∴n=-4

从而c=a-4b

∵b·c=|b||c|cs120°=-4

∴|b|·4·（）=-4∴|b|=2

由c=a-4b得a·c=a2-4a·b

∴8-4a·b=0即a·b=2①

再由c=a-4b得b·c=a·b-4b2

∴a·b-16=-4即a·b=12②

联立①②得22=12即2=6

∴=±故=±n=-4

（四）课堂小结

1先由生回顾本节习的数知识数量积的定义、几何意义数量积的重要性质