创新设计一轮复习 第三章 第1节.docx
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创新设计一轮复习第三章第1节
第1节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数；6.会使用导数公式表.
知识梳理
1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
（1）定义：
称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率
＝
为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝
＝
.
（2）几何意义：
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′（x0）（x－x0）.
2.函数y＝f（x）的导函数
如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，函数f′（x）＝lim称为函数y＝f（x）在开区间内的导函数.
3.导数公式表
基本初等函数
导函数
f（x）＝c（c为常数）
f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q*）
f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sinx
f′（x）＝cosx
f（x）＝cosx
f′（x）＝－sinx
f（x）＝ex
f′（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0）
f′（x）＝axlna
f（x）＝lnx
f′（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，a≠1）
f′（x）＝
4.导数的运算法则
若f′（x），g′（x）存在，则有：
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；
（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
（3）′＝（g（x）≠0）.
5.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
[微点提醒]
1.f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））′是函数值f（x0）的导数，且（f（x0））′＝0.
2.′＝－.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（ ）
（2）函数f（x）＝sin（－x）的导数f′（x）＝cosx.（ ）
（3）求f′（x0）时，可先求f（x0），再求f′（x0）.（ ）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（ ）
解析
（1）f′（x0）表示y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，
（1）错.
（2）f（x）＝sin（－x）＝－sinx，则f′（x）＝－cosx，
（2）错.
（3）求f′（x0）时，应先求f′（x），再代入求值，（3）错.
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2.（选修2－2P19B2改编）曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A.－9B.－3C.9D.15
解析 因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线方程为y－12＝3（x－1）.令x＝0，得y＝9.
答案 C
3.（选修2－2P3例题改编）在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度（单位：
m）是h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝______m/s2.
解析 v＝h′（t）＝－9.8t＋6.5，a＝v′（t）＝－9.8.
答案 －9.8t＋6.5 －9.8
4.（2019·青岛质检）已知函数f（x）＝x（2018＋lnx），若f′（x0）＝2019，则x0等于（ ）
A.e2B.1C.ln2D.e
解析 f′（x）＝2018＋lnx＋x×＝2019＋lnx.
由f′（x0）＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.
答案 B
5.（2018·天津卷）已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′
（1）的值为________.
解析 由题意得f′（x）＝exlnx＋ex·，则f′
（1）＝e.
答案 e
6.（2017·全国Ⅰ卷）曲线y＝x2＋在点（1，2）处的切线方程为________.
解析 设y＝f（x），则f′（x）＝2x－，
所以f′
（1）＝2－1＝1，
所以在（1，2）处的切线方程为y－2＝1×（x－1），
即y＝x＋1.
答案 y＝x＋1
考点一 导数的运算
多维探究
角度1 根据求导法则求函数的导数
【例1－1】分别求下列函数的导数：
（1）y＝exlnx；
（2）y＝x；
（3）f（x）＝ln.
解
（1）y′＝（ex）′lnx＋ex（lnx）′＝exlnx＋＝ex.
（2）因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.
（3）因为y＝ln＝ln，
所以y′＝··（1＋2x）′＝.
角度2 抽象函数的导数计算
【例1－2】（2019·天津河西区调研）已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）＝2xf′
（1）＋ln，则f
（1）＝（ ）
A.－eB.2C.－2D.e
解析 由已知得f′（x）＝2f′
（1）－，令x＝1得f′
（1）＝2f′
（1）－1，解得f′
（1）＝1，则f
（1）＝2f′
（1）＝2.
答案 B
规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
【训练1】
（1）若y＝x－cossin，则y′＝________.
（2）已知f（x）＝x2＋2xf′
（1），则f′（0）＝________.
解析
（1）因为y＝x－sinx，
所以y′＝′＝x′－′＝1－cosx.
（2）∵f′（x）＝2x＋2f′
（1），
∴f′
（1）＝2＋2f′
（1），即f′
（1）＝－2.
∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4.
答案
（1）1－cosx
（2）－4
考点二 导数的几何意义
多维探究
角度1 求切线方程
【例2－1】（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A.y＝－2xB.y＝－x
C.y＝2xD.y＝x
解析 因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.
答案 D
角度2 求切点坐标
【例2－2】
（1）（2019·聊城月考）已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A.3B.2C.1D.
（2）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x>0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
解析
（1）设切点的横坐标为x0（x0>0），
∵曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，
∴y′＝－，即－＝，
解得x0＝3或x0＝－2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3.
（2）∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，
∴曲线y＝ex在点（0，1）处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P（x0，y0）（x0>0），∵函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝（x>0）在点P处的切线的斜率k2＝－，
由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1.
又∵点P在曲线y＝（x>0）上，∴y0＝1，故点P的坐标为（1，1）.
答案
（1）A
（2）（1，1）
角度3 求参数的值或取值范围
【例2－3】
（1）函数f（x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2]B.（－∞，2）
C.（2，＋∞）D.（0，＋∞）
（2）（2019·河南六市联考）已知曲线f（x）＝x＋＋b（x≠0）在点（1，f
（1））处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.
解析
（1）由题意知f′（x）＝2在（0，＋∞）上有解.
∴f′（x）＝＋a＝2在（0，＋∞）上有解，则a＝2－.
因为x＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是（－∞，2）.
（2）f′（x）＝1－，∴f′
（1）＝1－a，
又f
（1）＝1＋a＋b，∴曲线在（1，f
（1））处的切线方程为y－（1＋a＋b）＝（1－a）（x－1），即y＝（1－a）x＋2a＋b，
根据题意有解得
∴a－b＝－1－7＝－8.
答案
（1）B
（2）－8
规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【训练2】
（1）（2019·东莞二调）设函数f（x）＝x3＋ax2，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为（ ）
A.（0，0）B.（1，－1）
C.（－1，1）D.（1，－1）或（－1，1）
（2）（2018·全国Ⅱ卷）曲线y＝2ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为________________.
解析
（1）由f（x）＝x3＋ax2，得f′（x）＝3x2＋2ax.
根据题意可得f′（x0）＝－1，f（x0）＝－x0，
可列方程组
解得或
当x0＝1时，f（x0）＝－1，
当x0＝－1时，f（x0）＝1.
∴点P的坐标为（1，－1）或（－1，1）.
（2）由题意得y′＝.在点（0，0）处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y－0＝2（x－0），即y＝2x.
答案
（1）D
（2）y＝2x
[思维升华]
1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.
[易错防范]
1.求导常见易错点：
①公式（xn）′＝nxn－1与（ax）′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：
′＝，（cosx）′＝
sinx；③复合函数求导分不清内、外层函数.
2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.
基础巩固题组
（建议用时：
35分钟）
一、选择题
1.下列求导数的运算中错误的是（ ）
A.（3x）′＝3xln3
B.（x2lnx）′＝2xlnx＋x
C.′＝
D.（sinx·cosx）′＝cos2x
解析 因为′＝，C项错误.
答案 C
2.（2019·日照质检）已知f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（ ）
A.e2B.eC.D.ln2
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋1，由f′（x0）＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
答案 B
3.函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为（ ）
A.y＝xB.x＝0
C.y＝0D.不存在
解析 函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0（x－0），即y＝0.
答案 C
4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是（ ）
A.1秒末B.1秒末和2秒末
C.4秒末D.2秒末和4秒末
解析 s′（t）＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′（t），
令s′（t）＝0，得t＝2或4，
即2秒末和4秒末的速度为零.
答案 D
5.（2019·南阳一模）函数f（x）＝x－g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g
（2）＋g′
（2）＝（ ）
A.7B.4C.0D.－4
解析 ∵f（x）＝x－g（x），∴f′（x）＝1－g′（x），又由题意知f
（2）＝－3，f′
（2）＝－1，
∴g
（2）＋g′
（2）＝2－f
（2）＋1－f′
（2）＝7.
答案 A
6.已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点（1，ae＋1）处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝（ ）
A.B.C.D.
解析 ∵y′＝aex＋1，∴在点（1，ae＋1）处的切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，
∴ae＋1＝2e，解得a＝.
答案 B
7.如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（ ）
解析 由y＝f′（x）的图象知，y＝f′（x）在（0，＋∞）上是单调递减的，说明函数y＝f（x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也是单调递减的，故可排除A，C；
又由图象知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图象在x＝x0处相交，说明y＝f（x）与y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
答案 D
8.（2019·广州调研）已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为（ ）
A.ln2B.1
C.1－ln2D.1＋ln2
解析 由y＝xlnx得y′＝lnx＋1，设切点为（x0，y0），则k＝lnx0＋1，∵切点（x0，y0）（x0>0）既在曲线y＝xlnx上又在直线y＝kx－2上，∴∴kx0－2＝x0lnx0，∴k＝lnx0＋，则lnx0＋＝lnx0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln2＋1.
答案 D
二、填空题
9.已知曲线f（x）＝2x2＋1在点M（x0，f（x0））处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.
解析 由题意得f′（x）＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，
∴f（x0）＝9，∴点M的坐标是（－2，9）.
答案 （－2，9）
10.（2017·天津卷）已知a∈R，设函数f（x）＝ax－lnx的图象在点（1，f
（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
解析 f
（1）＝a，切点为（1，a）.f′（x）＝a－，则切线的斜率为f′
（1）＝a－1，切线方程为：
y－a＝（a－1）（x－1），令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1.
答案 1
11.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2＋3xf′
（2）＋lnx，则f′
（2）＝________.
解析 因为f（x）＝x2＋3xf′
（2）＋lnx，
所以f′（x）＝2x＋3f′
（2）＋，
所以f′
（2）＝4＋3f′
（2）＋＝3f′
（2）＋，
所以f′
（2）＝－.
答案 －
12.已知函数y＝f（x）的图象在点（2，f
（2））处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g（x）＝x2＋f（x）在点（2，g
（2））处的切线方程为________________.
解析 由题意，知f
（2）＝2×2－1＝3，∴g
（2）＝4＋3＝7，
∵g′（x）＝2x＋f′（x），f′
（2）＝2，∴g′
（2）＝2×2＋2＝6，
∴曲线g（x）＝x2＋f（x）在点（2，g
（2））处的切线方程为y－7＝6（x－2），即6x－y－5＝0.
答案 6x－y－5＝0
能力提升题组
（建议用时：
15分钟）
13.（2019·深圳二模）设函数f（x）＝x＋＋b，若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线经过坐标原点，则ab＝（ ）
A.1B.0C.－1D.－2
解析 由题意可得，f（a）＝a＋＋b，f′（x）＝1－，所以f′（a）＝1－，故切线方程是y－a－－b＝（x－a），将（0，0）代入得－a－－b＝（－a），故b＝－，故ab＝－2.
答案 D
14.已知函数f（x）＝|x3＋ax＋b|（a，b∈R），若对任意的x1，x2∈[0，1]，f（x1）－f（x2）≤2|x1－x2|恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 当x1＝x2时，f（x1）－f（x2）≤2|x1－x2|恒成立；当x1≠x2时，
由f（x1）－f（x2）≤2|x1－x2|得≤2，故函数f（x）在[0，1]上的导函数f′（x）满足|f′（x）|≤2，函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，其中[0，1]上的值域为[a，a＋3]，则有解得－2≤a≤－1.综上所述，实数a的取值范围为[－2，－1].
答案 [－2，－1]
15.函数g（x）＝lnx图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________.
解析 设点（x0，lnx0）是曲线g（x）＝lnx的切线中与直线y＝x平行的直线的切点，因为g′（x）＝（lnx）′＝，则1＝，∴x0＝1，则切点坐标为（1，0），
∴最短距离为（1，0）到直线y＝x的距离，
即为＝.
答案
16.若函数f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵f（x）＝x2－ax＋lnx，定义域为（0，＋∞），
∴f′（x）＝x－a＋.
∵f（x）存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）存在零点，
即x＋－a＝0有解，
∴a＝x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号）.
答案 [2，＋∞）
新高考创新预测
17.（新定义题型）定义1：
若函数f（x）在区间D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在区间D上也可导，则称函数f（x）在区间D上存在二阶导数，记作f″（x）＝[f′（x）]′.
定义2：
若函数f（x）在区间D上的二阶导数恒为正，即f″（x）>0恒成立，则称函数f（x）在区间D上为凹函数.已知函数f（x）＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________.
解析 因为f（x）＝x3－x2＋1，因为f′（x）＝3x2－3x，f″（x）＝6x－3，令f″（x）>0，解得x>，故x的取值范围是.
答案
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