创新设计一轮复习 第三章 第1节.docx
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创新设计一轮复习第三章第1节
第1节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;6.会使用导数公式表.
知识梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
=
为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=
=
.
(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
2.函数y=f(x)的导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f′(x)=lim称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.
3.导数公式表
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>0)
f′(x)=axlna
f(x)=lnx
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有:
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.
[微点提醒]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))′=0.
2.′=-.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cosx.( )
(3)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( )
(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
解析
(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,
(1)错.
(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,则f′(x)=-cosx,
(2)错.
(3)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(选修2-2P19B2改编)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9B.-3C.9D.15
解析 因为y=x3+11,所以y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.
答案 C
3.(选修2-2P3例题改编)在高台跳水运动中,ts时运动员相对于水面的高度(单位:
m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员的速度v=________m/s,加速度a=______m/s2.
解析 v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8.
答案 -9.8t+6.5 -9.8
4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)=x(2018+lnx),若f′(x0)=2019,则x0等于( )
A.e2B.1C.ln2D.e
解析 f′(x)=2018+lnx+x×=2019+lnx.
由f′(x0)=2019,得2019+lnx0=2019,则lnx0=0,解得x0=1.
答案 B
5.(2018·天津卷)已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′
(1)的值为________.
解析 由题意得f′(x)=exlnx+ex·,则f′
(1)=e.
答案 e
6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为________.
解析 设y=f(x),则f′(x)=2x-,
所以f′
(1)=2-1=1,
所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),
即y=x+1.
答案 y=x+1
考点一 导数的运算
多维探究
角度1 根据求导法则求函数的导数
【例1-1】分别求下列函数的导数:
(1)y=exlnx;
(2)y=x;
(3)f(x)=ln.
解
(1)y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+=ex.
(2)因为y=x3+1+,所以y′=3x2-.
(3)因为y=ln=ln,
所以y′=··(1+2x)′=.
角度2 抽象函数的导数计算
【例1-2】(2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x),且满足f(x)=2xf′
(1)+ln,则f
(1)=( )
A.-eB.2C.-2D.e
解析 由已知得f′(x)=2f′
(1)-,令x=1得f′
(1)=2f′
(1)-1,解得f′
(1)=1,则f
(1)=2f′
(1)=2.
答案 B
规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
【训练1】
(1)若y=x-cossin,则y′=________.
(2)已知f(x)=x2+2xf′
(1),则f′(0)=________.
解析
(1)因为y=x-sinx,
所以y′=′=x′-′=1-cosx.
(2)∵f′(x)=2x+2f′
(1),
∴f′
(1)=2+2f′
(1),即f′
(1)=-2.
∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
答案
(1)1-cosx
(2)-4
考点二 导数的几何意义
多维探究
角度1 求切线方程
【例2-1】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-x
C.y=2xD.y=x
解析 因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以a-1=0,则a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
答案 D
角度2 求切点坐标
【例2-2】
(1)(2019·聊城月考)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.3B.2C.1D.
(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析
(1)设切点的横坐标为x0(x0>0),
∵曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,
∴y′=-,即-=,
解得x0=3或x0=-2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.
(2)∵函数y=ex的导函数为y′=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=的导函数为y′=-,∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,
由题意知k1k2=-1,即1·=-1,解得x=1,又x0>0,∴x0=1.
又∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).
答案
(1)A
(2)(1,1)
角度3 求参数的值或取值范围
【例2-3】
(1)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,2)
C.(2,+∞)D.(0,+∞)
(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f
(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=________.
解析
(1)由题意知f′(x)=2在(0,+∞)上有解.
∴f′(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-.
因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
(2)f′(x)=1-,∴f′
(1)=1-a,
又f
(1)=1+a+b,∴曲线在(1,f
(1))处的切线方程为y-(1+a+b)=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2a+b,
根据题意有解得
∴a-b=-1-7=-8.
答案
(1)B
(2)-8
规律方法 1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:
①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
【训练2】
(1)(2019·东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )
A.(0,0)B.(1,-1)
C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________________.
解析
(1)由f(x)=x3+ax2,得f′(x)=3x2+2ax.
根据题意可得f′(x0)=-1,f(x0)=-x0,
可列方程组
解得或
当x0=1时,f(x0)=-1,
当x0=-1时,f(x0)=1.
∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).
(2)由题意得y′=.在点(0,0)处切线斜率k=y′|x=0=2.∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案
(1)D
(2)y=2x
[思维升华]
1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.
[易错防范]
1.求导常见易错点:
①公式(xn)′=nxn-1与(ax)′=axlna相互混淆;②公式中“+”“-”号记混,如出现如下错误:
′=,(cosx)′=
sinx;③复合函数求导分不清内、外层函数.
2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.
基础巩固题组
(建议用时:
35分钟)
一、选择题
1.下列求导数的运算中错误的是( )
A.(3x)′=3xln3
B.(x2lnx)′=2xlnx+x
C.′=
D.(sinx·cosx)′=cos2x
解析 因为′=,C项错误.
答案 C
2.(2019·日照质检)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于( )
A.e2B.eC.D.ln2
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.
答案 B
3.函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( )
A.y=xB.x=0
C.y=0D.不存在
解析 函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.
答案 C
4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-3t2+8t,那么速度为零的时刻是( )
A.1秒末B.1秒末和2秒末
C.4秒末D.2秒末和4秒末
解析 s′(t)=t2-6t+8,由导数的定义知v=s′(t),
令s′(t)=0,得t=2或4,
即2秒末和4秒末的速度为零.
答案 D
5.(2019·南阳一模)函数f(x)=x-g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-x-1,则g
(2)+g′
(2)=( )
A.7B.4C.0D.-4
解析 ∵f(x)=x-g(x),∴f′(x)=1-g′(x),又由题意知f
(2)=-3,f′
(2)=-1,
∴g
(2)+g′
(2)=2-f
(2)+1-f′
(2)=7.
答案 A
6.已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a=( )
A.B.C.D.
解析 ∵y′=aex+1,∴在点(1,ae+1)处的切线的斜率为y′|x=1=ae+1,又切线与直线2ex-y-1=0平行,
∴ae+1=2e,解得a=.
答案 B
7.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
解析 由y=f′(x)的图象知,y=f′(x)在(0,+∞)上是单调递减的,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也是单调递减的,故可排除A,C;
又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
答案 D
8.(2019·广州调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx相切,则实数k的值为( )
A.ln2B.1
C.1-ln2D.1+ln2
解析 由y=xlnx得y′=lnx+1,设切点为(x0,y0),则k=lnx0+1,∵切点(x0,y0)(x0>0)既在曲线y=xlnx上又在直线y=kx-2上,∴∴kx0-2=x0lnx0,∴k=lnx0+,则lnx0+=lnx0+1,∴x0=2,∴k=ln2+1.
答案 D
二、填空题
9.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为________.
解析 由题意得f′(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,
∴f(x0)=9,∴点M的坐标是(-2,9).
答案 (-2,9)
10.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f
(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为________.
解析 f
(1)=a,切点为(1,a).f′(x)=a-,则切线的斜率为f′
(1)=a-1,切线方程为:
y-a=(a-1)(x-1),令x=0得出y=1,故l在y轴上的截距为1.
答案 1
11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,则f′
(2)=________.
解析 因为f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,
所以f′(x)=2x+3f′
(2)+,
所以f′
(2)=4+3f′
(2)+=3f′
(2)+,
所以f′
(2)=-.
答案 -
12.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g
(2))处的切线方程为________________.
解析 由题意,知f
(2)=2×2-1=3,∴g
(2)=4+3=7,
∵g′(x)=2x+f′(x),f′
(2)=2,∴g′
(2)=2×2+2=6,
∴曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g
(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.
答案 6x-y-5=0
能力提升题组
(建议用时:
15分钟)
13.(2019·深圳二模)设函数f(x)=x++b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则ab=( )
A.1B.0C.-1D.-2
解析 由题意可得,f(a)=a++b,f′(x)=1-,所以f′(a)=1-,故切线方程是y-a--b=(x-a),将(0,0)代入得-a--b=(-a),故b=-,故ab=-2.
答案 D
14.已知函数f(x)=|x3+ax+b|(a,b∈R),若对任意的x1,x2∈[0,1],f(x1)-f(x2)≤2|x1-x2|恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析 当x1=x2时,f(x1)-f(x2)≤2|x1-x2|恒成立;当x1≠x2时,
由f(x1)-f(x2)≤2|x1-x2|得≤2,故函数f(x)在[0,1]上的导函数f′(x)满足|f′(x)|≤2,函数y=x3+ax+b的导函数为y′=3x2+a,其中[0,1]上的值域为[a,a+3],则有解得-2≤a≤-1.综上所述,实数a的取值范围为[-2,-1].
答案 [-2,-1]
15.函数g(x)=lnx图象上一点P到直线y=x的最短距离为________.
解析 设点(x0,lnx0)是曲线g(x)=lnx的切线中与直线y=x平行的直线的切点,因为g′(x)=(lnx)′=,则1=,∴x0=1,则切点坐标为(1,0),
∴最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,
即为=.
答案
16.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵f(x)=x2-ax+lnx,定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=x-a+.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,
即x+-a=0有解,
∴a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).
答案 [2,+∞)
新高考创新预测
17.(新定义题型)定义1:
若函数f(x)在区间D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在区间D上也可导,则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数,记作f″(x)=[f′(x)]′.
定义2:
若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正,即f″(x)>0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)=x3-x2+1在区间D上为凹函数,则x的取值范围是________.
解析 因为f(x)=x3-x2+1,因为f′(x)=3x2-3x,f″(x)=6x-3,令f″(x)>0,解得x>,故x的取值范围是.
答案