八年级数学不等式的解集4.docx

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八年级数学不等式的解集4

第三节不等式的解集

不等式的解集—目标导引

1.理解不等式的解与解集的意义.

2.掌握不等式的解集的数轴表示.

不等式的解集—内容全解

1、不等式的解

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

［例1］x=3，6，9中，哪一个是不等式2x－2.5≥15的解？

解：

把x=3代入不等式2x－2.5≥15中

2×3－2.5≥15，6－2.5≥15，3.5≥15

显然不成立.

∴x=3就不是此不等式的解.

把x=6代入得，

2×6－2.5≥15，

12－2.5≥15，

9.5≥15不成立.

∴x=6也不是此不等式的解.

把x=9代入得

2×9－2.5≥15，18－2.5≥15，15.5≥15

∴x=9是不等式2x－2.5≥15的一个解，就此问题继续探索一下，2x－2.5≥15的解是不是就是这一个x=9呢？

答案显然不是，由此我们得到：

2.不等式的解集定义

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.

3.不等式的解与解集的区别

解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的.

第三课时

●课题

§1.3不等式的解集

●教学目标

（一）教学知识点

1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.

3.会在数轴上表示不等式的解集.

（二）能力训练要求

1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.

2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.

（三）情感与价值观要求

从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造.

●教学重点

1.理解不等式中的有关概念.

2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

●教学难点

探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.

●教学方法

引导学生探索学习法.

●教具准备

投影片一张

记作（§1.3A）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.

［生］不等式的基本性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

［师］很好.

在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？

［生］记得.

能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.

求方程的解的过程，叫做解方程.

［师］非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？

本节课我们就来试一试.

Ⅱ.新课讲授

1.现实生活中的不等式.

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？

［师］分析：

人转移到安全区域需要的时间最少为

秒，导火线燃烧的时间为

秒，要使人转移到安全地带，必须有：

＞

.

解：

设导火线的长度应为xcm，根据题意，得

＞

∴x＞5.

2.想一想

（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？

（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？

［生］

（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.

（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.

［师］由此看来，6，7，8，9，10…都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢？

不等式的解唯一吗？

［生］可以.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如6、7、8都是x＞5的解.所以不等式的解不唯一，有无数个解.

［师］正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集（solutionset）.

请大家再类推出解不等式的概念.

［生］求不等式解集的过程叫解不等式.

3.议一议.

请你用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.

［生］不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示（图1－3），在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.

图1－3

不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示（图1－4），在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.

图1－4

［师］请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？

请举例说明.

［生］如x＞3,即为数轴上表示3的点的右边部分，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点.

x＜3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈.

x≥3，可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点，表示包括这一点.

x≤3，可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点.

4.例题讲解

投影片（§1.3A）

根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.

（1）x－2≥－4;

（2）2x≤8

（3）－2x－2＞－10

解：

（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2

在数轴上表示为：

图1－5

（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4

在数轴上表示为：

图1－6

（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8

根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4

在数轴上表示为：

图1－7

Ⅲ.课堂练习

1.判断正误：

（1）不等式x－1＞0有无数个解；

（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥

.

2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

（1）x＞4;

（2）x≤－1;

（3）x≥－2;（4）x≤6.

1.解：

（1）∵x－1＞0,∴x＞1

∴x－1＞0有无数个解.∴正确.

（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,

∴x≤

∴结论错误.

2.解：

图1－8

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容

1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念.

2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来.

Ⅴ.课后作业

习题1.3

Ⅵ.活动与探究

小于2的每一个数都是不等式x+3＜6的解，所以这个不等式的解集是x＜2.这种解答正确吗？

解：

不正确.

从解不等式的过程来看，根据不等式的基本性质1，两边都减去3，得x＜3.

所以不等式x+3＜6的解集为x＜3,而不是x＜2.当然小于2的值都在x＜3这个范围内，它只是解集中的一部分，不是全部，所以不能以部分来代替全部.

因此说x＜2是不等式x+3＜6的解是错误的.

●板书设计

§1.3不等式的解集

一、1.现实生活中的不等式（水费问题）；

2.想一想（类推不等式中的有关概念）；

3.议一议（如何把不等式的解集在数轴上表示出来）；

4.例题讲解.

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

参考练习

1.用不等式表示：

（1）x的3倍大于或等于1；

（2）x与5的和不小于0；

（3）y与1的差不大于6；

（4）x的

小于或等于2.

2.不等式的解集x＜3与x≤3有什么不同？

在数轴上表示它们时怎样区别？

分别在数轴上把这两个解集表示出来.

3.不等式x+3≥6的解集是什么？

参考答案

1.

（1）3x≥1;

（2）x+5≥0;

（3）y－1≤6;（4）

x≤2.

2.x＜3指小于3的所有数，x≤3指小于3的所有数和3；在数轴上表示它们时，x＜3不包括3，只是3左边的部分，x≤3不仅包括3左边的部分，而且还包括3.

在数轴上表示略.

3.x≥3.

●迁移发散

迁移

1.根据下列数量关系列出不等式：

（1）x的3倍大于1；

（2）x与5的和是负数；

（3）y与1的差是正数；（4）x的一半不大于8.

解：

（1）3x＞1；

（2）x+5＜0；（3）y－1＞0；（4）

x≤8.

2.在－4，－2，－1，0，1，2，3中找出使不等式成立的x的值.

（1）2x+5＞3；

（2）5－x≥3；（3）6≤3x+3.

解：

（1）0，1，2，3；

（2）－4，－2，－1，0，1；

（3）1，2，3.

3.在数轴上表示下列不等式的解集：

（1）x＞3；

（2）x≥0；（3）x＜－4.

解：

（1）

图1－9

（2）

图1－10

（3）

图1－11

4.不等式x≤5有多少个解？

有多少个正整数解.

答：

有无数个解.正整数解只有1、2、3、4、5.

5.某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%.那么商店要降多少元出售此商品？

请列出不等式.

点拨：

利润率=

.

解：

设要降价x元.

由题意列出不等式得：

≥10%.

发散

本节我们用到了以前学过的数轴.你还记得这些吗？

1.数轴定义：

规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴.

2.数轴上的点与实数的关系：

一一对应.

3.数轴上数的特点：

右边的总比左边的大.

●方法点拨

［例2］写出不等式x－5＜－1的3个解，并写出这个不等式的解集.

解：

3个解x=0，x=－1，x=1.

解集是x＜4.

4.求不等式解集的过程叫做解不等式.

5.不等式的解集在数轴上的表示.

①当不等式的解集是x＞a时.（如图1－1）

图1－1

在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈（表示不等于a）向右画一折线.表示数轴上a右边的数字，都比a大.

②不等式的解集是x≥a时.（如图1－2）

图1－2

在数轴上把表示a的这个点用实心圆点向右画一折线.

③当不等式的解集是x＜a时.（如图1－3）

图1－3

在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈向左画一条折线.

④当不等式的解集是x≤a时.（如图1－4）

图1－4

在数轴上把表示a的点用实心圆点向左画一折线.

［例3］用数轴表示下列不等式的解集.

（1）x≥－3

（2）x＜－3.5

解：

（1）如图1－5

图1－5

（2）如图1－6

图1－6

［例4］根据数轴判断不等式的解集.

（1）

图1－7

（2）

图1－8

解：

（1）不等式的解集为x＞－1.

（2）不等式的解集为x≤2.

3.不等式的解集

作业导航

理解不等式的解和不等式的解集的含义，会在数轴上表示不等式的解集.

一、选择题

1.下列说法中，正确的是（）

A.x=2是不等式3x＞5的一个解

B.x=2是不等式3x＞5的唯一解

C.x=2是不等式3x＞5的解集

D.x=2不是不等式3x＞5的解

2.不等式－4≤x＜2的所有整数解的和是（）

A.－4B.－6

C.－8D.－9

3.用不等式表示图中的解集，其中正确的是（）

图1

A.x＞－3B.x＜－3

C.x≥－3D.x≤－3

4.若不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＜1，那么a必须满足（）

A.a＜0B.a≤－1

C.a＞－1D.a＜－1

5.已知ax＜2a（a≠0）是关于x的不等式，那么它的解集是（）

A.x＜2

B.x＞－2

C.当a＞0时，x＜2

D.当a＞0时，x＜2;当a＜0时，x＞2

二、填空题

6.当a________时，x＞

表示ax＞b的解集.

7.不等式2x－1≥5的最小整数解为________.

8.如图2，表示的不等式的解集是________.

图2

9.大于________的每一个数都是不等式5x＞15的解.

10.如果不等式（a－3）x＜b的解集是x＜

，那么a的取值范围是________.

三、解答题

11.在数轴上表示下列不等式的解集：

（1）x＞3

（2）x≥－2

（3）x≤4

（4）x＜－

12.利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）－2x≥3

（2）－4x+12＜0

13.不等式的解集中是否一定有无限多个数？

不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？

不等式x2＞0和x2+4＞0的解集分别又是什么？

14.已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.

15.已知不等式

－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值.

参考答案

一、1.A2.D3.C4.C5.D

二、6.＞07.38.x＜29.310.a＞3

三、11.略

12.

（1）x≤－

（2）x＞3

13.不等式的解集中不一定有无数多个数.

|x|≤0的解集是x=0，x2＜0无解.

x2＞0的解集为x＞0或x＜0，x2+4＞0的解集为一切实数.

14.a＜－

15.2

●作业指导

随堂练习

1.解：

（1）√

（2）×

2.解：

（1）x＞4

图1－12

（2）x≤－1

图1－13

（3）x≥－2

图1－14

（4）x≤6

图1－15

习题1.3

1.解：

有无数个解.如x=15，14，13，…，0，－1.都是它的解

2.解：

（1）x≤0

图1－16

（2）x＞－2.5

图1－17

（3）x＜

图1－18

（4）x≥4

图1－19

§1.3不等式的解集

●温故知新

想一想，做一做

填空1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的__________.

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向__________.

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向__________.

4.规定了__________、__________、__________的直线叫做数轴.

5.数轴上的点与实数之间是__________的关系.

你做对了吗？

我们一起来对对答案：

1.方向不变2.不变3.变向4.正方向原点单位长度5.一一对应

看看书，动动脑

1.x=3能满足2x－1.5≥15吗？

2.填空①__________叫做不等式的解.

②__________组成不等式的解集.

③__________叫做解不等式.

§1.3不等式的解集

班级：

_______姓名：

_______

一、认真选一选

1.下列说法错误的是（）

A.－3x>9的解集为x<－3

B.不等式2x>－1的整数解有无数多个

C.－2是不等式3x<－4的解

D.不等式x>－5的负整数解有无数多个

2.如图1—3—1表示的是以下哪个不等式的解集（）

图1—3—1

A.x>－1B.x<－1

C.x≥－1D.x≤－1

3.把不等式x>2的解集表示在数轴上，以下表示正确的是（）

4.不等式－3≤x<2的整数解的个数是（）

A.4个B.5个

C.6个D.无数个

二、

请你填一填

1.如果3+2x是正数，则x的取值范围是________，如果3+2x是非负数，则x的取值范围是________.

2.不等式|x|<

的整数解是________.

3.x的3倍不大于－8，用不等式表示为________，其解集是________.

4.使不等式x>－

且x<2同时成立的整数x的值是________.

三、

请在数轴上表示下列不等式的解集

（1）x≥0

（2）x<－2.5

（3）－2

四、

请写出满足下列条件的一个不等式

（1）0是这个不等式的一个解.

（2）－2，－1，0，1都是不等式的解.

（3）0不是这个不等式的解.

（4）与x≤－1的解集相同的不等式.

（5）不等式的整数解只有－1，0，1，2.

参考答案

一、1.D2.D3.C4.B

二、1.x＞－

x≥－

2.－2,－1,0,1,23.3x≤－8x≤－

4.－1,0,1

三、

（1）

（2）

（3）

四、

（1）x＞－1（或x≥0,x＞－2等都可以）

（2）x＜2（或x≤1,x≥－2,x＞－5等均可）

（3）x＞1（或x＜－1等均可）

（4）2x≤－2（或x+1≤0,2x+2≤0等均可）

（5）－1≤x≤2（或－1.5＜x＜2.1等