北师大版八年级三角形证明课后题汇总.docx
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北师大版八年级三角形证明课后题汇总
第一章:
三角形
1.1等腰三角形
1、将下面证明中每一步的理由写在括号内:
已知:
如图,AB=CD,AD=CB.求证:
∠A=∠C.
证明:
连接BD.
在△BAD和△DCB中,
∵AB=CD( )
AD=CB( )
BD=DB( )
∴△BAD≌△DCB( )
∴∠A=∠C( )
2、已知:
如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:
∠A=∠D.
3、如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,求∠BAD的度数。
4、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E是AD上一点,连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。
5、如图,在△ABC中,AB=BC,点D,E都在BC上,且AD=AE,证明BD=CE.
1.2等腰三角形
1、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度?
2、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,点E,F分别在AB和AC尚,并且AE=AF.求证:
DE=DF
3、已知:
如图,D,E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点,且AD=CE。
求证:
CD=BE
4、如图,在一个风筝ABCD中,AB=AD,BC=DC
⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:
这两根彩线的长度相等。
⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?
如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?
由此你能得到什麼结论?
1.3等腰三角形
1、已知:
如图,∠CEA是△ABC的外角,AD平行BC,且∠1=∠2.求证:
AB=AC.
2、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP垂直于BC,垂足为P,EP交AB于点F。
求证:
△AEF是等腰三角形。
3、如图,一艘船从A处出发,以18kn的速度向北航行,经过10h到处B处。
分别从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°.求从B处到灯塔C的距离.
1.4等腰三角形
1、已知:
如图,△ABC是等边三角形,与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E,
求证:
△ADE是等边三角形。
2、屋梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=30º,AB=7.4m,点D是AB的中点,且DE⊥AC,垂足为E,求BC的长。
3、如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的三角形DEF,△DEF是等边三角形吗?
你还能找到其他的等边三角形吗?
点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点吗?
请证明你的结论.
(2)如果△DEF是等边三角形,点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点,那么△ABC是等边三角形吗?
请证明你的结论.
4、证明:
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
5、如图,ABCD是一张长方形纸片,且AD=2AB,沿过点D的折痕将A角翻折,使得点A落在BC上(如图中的点A、),折痕交AB于点E,那么∠ADE等于多少度?
你能证明你的结论吗?
(利用第4题的结论)
2.1直角三角形
1、如图,在四边形ABCD中,AB平行CD,E为BC上的一点,且∠BAE=45°,
2、一个直角三角形屋梁如图所示,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=10m,CB₁⊥AB,B₁C₁⊥AC,垂足分别为B₁,C₁,那么BC的长是多少?
B₁C₁呢?
3、小红想测量离A处30m的大树的高度,她站在A处仰望树顶B,仰角为30°(即∠BDE=30°),已知小红身高1.52m.求大树的高度.
4、如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A沿棱柱的表面到顶点C′处吃食物.那么它需要爬行的最短路程的长是多少?
5、DE⊥AC已知:
如图,点D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,且DE=DF.求证:
△ABC是等腰三角形.
6、已知:
如图,AB=CD,DE⊥于AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=BF。
求证:
(1)AE=CF;
(2)AB⁄⁄CD.
7、如图所示,把矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点F处,若AB=12cm,BC=16cm.
(1)求AE的长;
(2)求重合部分的面积.
8、如图所示,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处.
(1)求证B′E=BF;
(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给出证明.
3.1线段的垂直平分线
1、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。
2、如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长。
3、如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
你能画图说明吗?
4、
如图所示,在△ABC中,∠A
=90°,AC=8cm,AB=6cm,BC边的垂直平分线DE交BC于E,交AC于D,求△ABD的周长.
5、如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
4.1角平分线
1、已知,如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:
PD=PE.
2、已知:
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:
DF=EF.
3、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E和F,且DE=DF,求DE的长。
4、如图,在三角形ABC中,AC=BC,∠A=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证AB=AC+CD
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:
FE=FD.
6、已知:
如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线。
求证:
BD=2CD。
7、已知:
如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相较于点F.
求证:
点F在∠DAE的平分线上。
8、已知:
如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC垂直OA,PD垂直于OB,垂足分别为C,D,求证:
(1)OC=OD
(2)OP是CD的垂直平分线。
三角形证明单元总复习
1、已知:
如图,在三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上,且三角形ABD=三角形ACE,BD与CE相交于点O。
求证:
(1)OB=OC。
(2)BE=CD。
2、已知:
如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE。
求证:
△ABC是等腰三角形。
3、在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的度数之比是1:
2:
3,AB=
,求AC的长。
4、已知:
如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N,M,OM=ON,BM与AN相交于点P,求证:
PM=PN。
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D、E。
求证AE=2CE.
6、如图,在四边形BCDE中,∠C=∠BED=90°,∠B=60°,延长CD,BE,两线交于点A,已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积。
7、如图,在三角形ABC中,∠B=64°,∠BAC=72°,D为BC上一点,DE交AC于点F,且AB=AD=DE,连接AE,∠E=55°。
请判断△AFD的形状,并说明理由(证明)。
联系拓广
8、如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E。
已知△BCE的周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的长。
《三角形的证明》课外巩固培优练习题
1、如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F是OC上另一点,连接DF、EF。
求证:
DF=EF
2、如图,AF平分∠BAC,P是AF上任一点,过P向AB、AC作垂线PD、PE,D、E分别为垂足,连结DE,
求证:
AF垂直平分DE。
3、如图,点D是等边△ABC边AB上的一点,AB=3AD,DE⊥BC于点E,AE、CD相交于点F.
(1)求证:
△ACD≌△BAE;
(2)请你过点C作CG⊥AE,垂足为点G,探究CF与FG之间的数量关系,并证明.
4、如图,已知AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF
5、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,FE垂直平分AD,E为垂足,EF交BC的延长线于F,
求证:
∠CAF=∠B
6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°E为AB的中点,且DE⊥AB于F,∠CAD︰∠BAD=1︰2,
试求∠B和∠BAC的度数。
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,BD的垂直平分线交AB于P,PD交AC于E,
求证:
点P也在AE的垂直平分线上
8、如图所示,已知AD//BC,AE平分∠DAB,BE平分∠ABC,直线DC过点E交AD于点D,交BC于点C,
求证:
(1)E为DC的中点;
(2)AD+BC=AB.
2、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,
求证:
BC=3AD.
3、
中,
,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证:
。
5、在等边ΔABC中,AE=CD,BG⊥AD,求证:
BP=2PG。
6、已知:
如图6,在△ABC中,AD是高,CE是中线。
DC=BE,DG⊥CE,G为垂足。
求证:
(1)G是CE的中点;
(2)∠B=2∠BCE。
7、如图7,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连AE。
求证:
(1)∠AEC=∠C;
(2)求证:
BD=2AC。
9、如图,在
中,
,
,以
、
为边在
外侧作等边
和等边
,连结
交
于
.
求证:
12、 如图4,△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:
EF∥AB.
13、如图5,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D,DE交BC于E,求证:
CD=
BE.
14.如图2,在Rt△ABC中,∠C=900,AD∥BC,∠CBE=
∠ABE,求证:
DE=2AB